專題06對角互補模型基本模型：例題精講例1．（基本模型）在等邊中，點D為的中點，點F在延長線上，點E在射線上，．（1）如圖1，當點E與點B重合時，則與的數量關系是_________；（2）當點E在線段上時，（1）中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由；（3）如圖3，當點E在的延長線上時，，請直接寫出的長．例2．（基本模型2）已知：如圖，在等邊△ABC中，點O是BC的中點，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點O旋轉，角的兩邊與AB相交于點D，與AC相交于點E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數量關系是．(3)若點D在AB的延長線上，點E在線段AC上，如圖2，直接寫出BD，CE與BC的數量關系是．例3．（培優綜合）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，且與點B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當點D在線段BC上時，試探討CF與BD的數量關系和位置關系；②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立，請說明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC．上，且CF⊥BD時，如圖3，試求∠BCA的度數．【變式訓練1】問題發現：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉，線段，交于點，則與之間的關系是否仍然成立？請說明理由．【變式訓練2】已知：，，．(1)如圖1當點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【變式訓練3】在Rt△ABC中，，，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．(1)操作發現如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為______；線段BD、AB、EB的數量關系為______；(2)猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數量關系，并對圖2的結論進行證明；(3)拓展延伸若，，請你直接寫出△ADE的面積．【變式訓練4】在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系．(1)如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是；(2)如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（1）問的結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數量關系如何？并給出證明．課后訓練1．在中，，且E為邊的中點，連接，以為邊向上作等邊三角形，連接，則的長為_______．2．如圖在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交CB、DC延長線于E、F點且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，則EF＝__．3．已知四邊形中，，，，，，將繞點旋轉．(1)當旋轉到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，且，求證：；(2)當旋轉到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，且時，小穎猜想中的仍然成立，并嘗試作出了延長至點，使，連接，請你證明小穎的猜想；(3)當旋轉到如圖的位置，此時的兩邊分別交，于，，猜想線段、、之間的數量關系，并證明你的猜想．4．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；(2)將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．5．已知：在中，于點，．(1)如圖1，的度數為________度．(2)如圖2，點、分別在、上，且，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點，過點作于點，連接，點在延長線上，連接、，若，判斷線段與的數量和位置關系，并證明你的結論．6.（1）如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+DF，請你直接寫出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數量關系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+FD，請問：（1）中結論是否成立？若成立，請證明結論．（3）若（2）中的點E、點F分別在邊CB、CD的延長線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個關于∠EAF與∠BAD的關系式，哪個是正確的？請證明結論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．7．已知點D是△ABC外一點，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數式表示）．8．如圖1，等邊與等邊的頂點，，三點在一條直線上，連接交于點，連．(1)求證：；(2)求證：平分；(3)設，若，直接寫出a，b，c之間滿足的數量關系．9．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點放在處