沅澧共同體屆高三第一次模擬考試（試題卷）數學時量：120分鐘滿分：150分命題單位：常德外國語學校一擇題：本題共8小題，每小題5分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復數為實數，則實數a等于（）A．-2B．C．1D．22．設集合，，則集合中元素的個數為（）A．6B．5C．4D．33．已知冪函數在上單調遞增，則m的值為（）A．1B．-3C．-4D．1或-34．已知直線與圓交于A，B兩點，且為直角三角形，則m的值為（）A．B．C．D．5．已知等差數列的首項為2，公差不為0，且成等比數列，則等于（）A．B．C．D．6．亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風景的重要點綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側面積為（）A．B．C．D．7．已知函數的圖象如圖所示，圖象與軸的交點為，與軸的交點為，最高點，且滿足．若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應的函數為，則（）A．B．0C．D．8是定義在在上的解集為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是A．數據1，2，3，5，8，9的中位數小于平均數B．數據0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的標準差大于方差C．在相關分析中，樣本相關系數r越小，線性相關程度越弱D．已知隨機變量X服從正態分布且，則10.所對的邊分別為、、，則“是直角三角形”的充分條件是（）A．B．C．D．已知，是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，則（）A．時，滿足的點有2個B．的周長等于C．時，滿足的點有4個D．的最大值為a2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若非零向量滿足，，則．13.已知點在拋物線上，的焦點為，則．14.在.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）在2025年春節檔電影中，由餃子導演的《哪吒之魔童鬧海》電影在國內外受到一致好評，票房也一路飆升同學為了了解學生喜歡哪吒角色是否與性別有關，他對全班50人進行了問卷調查，得到如下列聯表：喜歡哪吒角色不喜歡哪吒角色總計女生10男生5總計50已知從全班50人中隨機抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學生的概率為0.6．（1）請將上面的列聯表補充完整，根據小概率值=0.01的獨立性檢驗，試判斷學生喜歡哪吒角色與性別是否有關；（2）從喜歡哪吒角色的同學中，按分層隨機抽樣的分式，隨機抽取6人做進一步的問卷調查，再從這6人中隨機選出3人采訪發言．設這3人中男生人數為，求的分布列及期望值．附：，.0.100.050.012.7063.8416.6351615分）已知的內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求周長的最大值．17如圖1，平面四邊形為“箏型”，其中，將平面沿著翻折得到三棱錐（如圖2為的中點．（1）證明：平面平面；（2）如圖2，若，，求平面與平面的夾角的正弦值．1817分）已知雙曲線的左、右頂點分別為，離心率為2.（1）求雙曲線的方程；（2）且斜率不為0的直線交雙曲線于在交雙曲線于點，證明：.1917分）已知函數,．（1）求函數在處的切線方程；（2）求證：當時，；（3）求證：.沅澧共同體年上學期高三第一次模擬考試（答案）數學時量：120分鐘滿分：150分命題單位：常德外國語學校8小題，每小題5分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案CCACBBDA3小題，每小題6分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.題號91011答案ABDBDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.113.214.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）解：（1）因為從全班50人中隨機抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學生的概率為0.6，所以喜歡哪吒角色的學生人數為，其中女生10人，則男生20人.不喜歡哪吒角色的人數為，其中男生5人，則女生153分列聯表補充如下，喜歡哪吒角色不喜歡哪吒角色總計女生101525男生20525總計302050零假設為：學生喜歡哪吒角色與性別無關聯，根據列聯表中的數據，計算可得5分根據小概率值斷犯錯誤的概率不大于0.01.6分（2）由題意，按分層隨機抽樣抽取的6人中，男生人數為，女生人數為.7分表示從這6人中隨機選出3人中男生的人數，所以的所有可能取值為1，2，3.8分則，，.11分所以的分布列為123數學期望.13分16.（本小題滿分15分）解：（1）由正弦定理及，得2分4分，6分，7分（2）設的外接圓半徑為，由及正弦定理，得8分，.10分由余弦定理得，13分，當且僅當時取等號，，周長的最大值為9.15分17.（本小題滿分15分）解：（1），，D為的中點，，2分，平面，平面，平面.4分又平面，平面平面.6分（2）如圖，以點為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為軸、軸，過點且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系.取中點，連接PE，，.由（1）可知平面，平面，7分又，平面，平面，故平面8分，，D為的中點，.又，E為的中點，.則，，，，，，所以，，9分設平面的一個法向量為，則，令，則，所以.11分設平面的一個法向量，則，令，則，所以.13分設平面與平面的夾角為，則，所以.所以，平面與平面的夾角的正弦值是.15分18.（本小題滿分17分）解：（1）由題意可得3分解得，5分所以雙曲線的方程為.6分（2）證明：設直線，點，，則.聯立，得9分，11分，，則13分，16分所以.17分19.（本小題滿分17分）解：（1）因為，所以，2分所以切線斜率為4分所以函數的在處的切線方程為，即5分（2）要證，只需要證明，其中，設，6分設，7分因為函數、在上均為減函數，則在區間8分因為，，所以，，使得，當.時，；當時，.所以在區間內單調遞增，在區間9分又因為，，，，使得，當時，