第一部分函數圖象中點的存在性問題果以點A、C、E所組成的三角形與△ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標．將點A(2,4)代入得k＝8．＝－C兩點間的水平距離和豎直距離都是4．由于∠DAC+∠ACD＝45°,∠ACE+∠ACD＝45°,所以∠DAC=∠ACE．一般情況下，在坐標平面內計算圖形的面積，用割補法．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．次成為直角三角形，與△ABC相似．當AQ⊥CP時，△ACQ∽△CDP．PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．1．△BPQ與△ABC有公共角，按照夾角相等，對應邊成比例，分兩種情況列方程．3．PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然．△BPQ與△ABC相似，存在兩種情況：②如果，那么解得．445所以PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．如圖7，當⊙H與AB相切時，QP⊥AB，就是如圖9，當⊙H與AC相切時，直徑是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．1．第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的表示．3．第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經過點A與x軸垂直的直線上．4所以解得所以符合題意的點Q為 4第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．如圖中，圓與直線x＝1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB＝4OC矛盾．m（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．驗到，∠CBF保持45°,存在∠BFC=∠BCE的時刻．1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在2．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF=∠EBC＝45°,或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據夾角相等，兩邊對應成比例列關所以設對稱軸與x軸的交點為P，那么．②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于綜合①、②,符合題意的m為2+22．第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標后，根據兩點間的距離公式（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動到，如果∠GAF=∠GQE，那么△GAF與△GQE相似．意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數變形就可以了．2．第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證．3．第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方．（1）拋物線的對稱軸為直線x=1，解析式為頂點為（2）梯形O1A1B1C1的面積由此得到 軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE=∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF=∠GQE=∠PQD．第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，△DCA的面積最大．1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點式比較簡便．2．數形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．y=a(x-1)(x-4)，代入點C的坐標（02解得．所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為(x,-1(x-1)(x-4))．（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為22+如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．保持全等，△CMF與△CAE保持全等，△CEF保持等邊三角形的形狀．1．把圖形中所有30°的角都標注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點F有哪些用處呢？聯想到斜邊上的中線和中位線就有思路構造輔助線了．121在Rt△ADH中，DH＝AD．所以AE＝DH2因為點F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD=∠FDA．所以∠FAE=∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．121又因為AE＝AD，所以FM＝EA2又因為CM＝CA，∠CMF=∠CAE＝30°,所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF=∠ACE，CF＝CE．我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．和(a1)兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經過定點A(0,2)與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況．1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．坐標是相等的．（2）拋物線的解析式為，設點P的坐標為．已知A(0,2)，所以4所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經過定點B(0,1)，那么在點44離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y1相切．與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在2．解第（2）題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據相似三角形的傳遞性，轉化為探求等腰三（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM由∠PDQ＝90°,∠MDN＝90°,可得∠PDM=∠QDN．所以所以．此時所以此時所以在Rt△ABC中所以∠QPD=∠C．由∠PDQ＝90°,∠CDE＝90°,可得∠PDF=∠CDQ．當△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．此時所以所以．此時所以如圖6，當△CDQ是等腰三角形時，根據等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰6對稱軸．（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．稱軸上運動，觀察△MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關系，可以看到，點M有機會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線．2．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．＝－＝－設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)．（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．⊙O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線．為頂點的三角形是等腰三角形1．用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三如圖1，已知一次函數y＝－x＋7與正比例函數y4x的圖象交于點A，且與x軸交于的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．1．把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．論三種情況．因此，當t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．拖動E在射線CD上運動，可以體驗到，△AEG可以兩次成為直角三角形．1．第（1）題中的△CEF和△CAF是同高三角形，面2．第（2）題中的△ABC是斜邊為定值的形狀不確定的直角三角形．3．第（3）題中的直角三角形AEG分兩種情況討論．△CEF由CM//AB，得∠EMA=∠BAM．又因為AM平分∠BAE，所以∠BAM=∠EAM．所以∠FAG=∠B．所以∠GAB=∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH=2如果用四點共圓，那么很容易．如圖6，由A、C、E、G四點共圓，直接得到∠2=∠4．上海版教材不學習四點共圓，比較麻煩一點的思路還有：如圖8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°-2(∠4+∠5)，又因為∠CPE＝180°-(∠1+∠3)，所以∠1+∠3＝2(∠4+∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2=∠4=∠B．所以∠GAB=∠B．所以GA＝GB．像上，CD//AB，聯結AD．過點A作射線AE交二次函數的圖像于點E，AB平分∠DAE．（2）求證：為定值；（3）設該二次函數的圖像的頂點為F．探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，聯結GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一體驗到，點E、D、F到x軸的距離都為定值．點D的坐標也可以寫出來．點E的縱坐標為定值是算出來的．2．在計算的過程中，第（1）題的結論及其變形am2=1反復用到．3．注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數（5，3，4因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G．＝－如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．2所以可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．所以此時．如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側與y軸（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．2．第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結論．3．第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作線可以構造相似三角形．4第（3）題可以這樣解：設點Q的坐標為(x,(x+2)(x-8))4＝－（3）若直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M角形有且只有三個時，求直線l的解析式．....1．根據同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個．3．靈活應用相似比解題比較簡便．得拋物線與x軸的交點坐標為A(－4,0)、B(2,0)．對稱軸是直線x1．D到直線AC的距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D′．設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．由BD//AC，得∠DBG=∠CAO．所以．而D′H＝DH，所以所以D′的坐標為．（3）過點A、B分別作x軸的垂線，以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就根據對稱性，直線l還可以是．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM=∠CEO．所在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1,k)和點＝－（2）要使反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k當k＜0并且在拋物線的對稱軸左側，反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．當k＜0并且在拋物線的對稱軸左側，反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．1．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標可以知道，反比例函數的解析式就是題目2．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O．3．根據直徑所對的圓周角是直角，當Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．（1）因為反比例函數的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數的解析式是．當k＝－2時，反比例函數的解析式是．（2）在反比例函數中，如果y隨x增大而增大，當k＜0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大．2如圖4，已知經過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．如圖5，當A、C關于直線y＝x對稱時，AB與CD矩形．因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．（1）已知直線y=2x+4和點C(0，2)，則直線______和______是點C的直角線=6或OP＝1．分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上．②若點P從點O出發向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一=QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN（當點Q運動時，點M、N也隨之運動若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直腰直角三角形的邊有三個時刻可以共線．1．這個題目最大的障礙，莫過于無圖了．2．把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長．4．當兩個等腰直角三角形有邊共線時，會產生新的等腰直角三角形，列關于t的方程就可以求解了．如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，△PQN是等腰直角三角形，PQ=如圖3，當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，△PQC是等腰直角三角形，PQ=在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值．，．如圖6，當兩圓外切時時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，設AB=x．兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角；觀察函數的圖象，可以看到，圖象是一個開口向下的“U”形，當AB等于1.5時，面積達到最大值．1．根據三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關于x的不等式組，可2．分類討論直角三角形ABC，根據勾股定理列方程，根據根的情況確定直角三角形的存在性．類討論，分CD在三角形內部和外部兩種情況．因此當或時，△ABC是直角三角形．22h2(3x)2h2222綜合①②得，ΔABC的最大面積為2第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設AD=a，3x-4整理，得a=．所以x（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數表達式（其中k、b用含a的式子表示（3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．點H在y軸正半軸運動，觀察點Q和Q′，可以看到點Q和點Q′都可以落在拋物線上．1．過點E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個三角形．2．以AD為分類標準討論矩形，當AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP=D△AEF－S△CEFEF(x-x)-1EF(x-x)＝－＝－D②如圖3，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等．DD第（3）題也可以這樣解．設P(1,n)．①如圖2，當AD時矩形的邊時，∠QPD＝90°,所以即解得所以所以．＝－頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有四種情況．1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當M′N′＝MN＝4時，M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．3．M′N′＝4分兩種情況：點M′在點N′的上方和下方．＝－＝－＝－＝－（3）拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．那么以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2本題的拋物線C向右平移m個單位，兩條拋物線的交點為D，那么△MM′D所以＝－（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．有4次機會等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符線的對稱軸的左側的平行四邊形MNCB只有一個．2．第（3）題解方程MN＝yM－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側．＝－解得．所以拋物線的解析式是．如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．所以因為x＝3在對稱軸的右側（如圖4所以符合題意的點M的坐標為(1,)（如圖3）2第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．N時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t≥0（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經過的路徑長．點M的運動路徑是一條線段．拖動右圖中的點Q運動，可以體驗到，當PQ//AB時，四邊2．探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路3EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(AE),AP)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(2),t)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(3),5)＝－所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝25．第（3）題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設二次函數：所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動，同運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．△ECH′，可以體驗到，線段EQ的垂直Q、E、H為頂點的菱形有2個．點擊動畫按鈕的左部和中部，可得菱形的兩種準確位置。1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．2將代入拋物線的解析式（3）或的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．已知平面直角坐標系xOy（如圖1一次函數的圖象與y軸交于點A，點M（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖象上，點D在一次函數的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次機會落在拋物線上．但是對拋物線的位置要心中有數．2．根據MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟．3．第（3）題求點C的坐標，先根據菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．（3）如圖3，設四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．可以成為矩形，此時B、D重合在原點．觀察B、D的位置關系段AE的三等分點，存在兩種情況．平移過程中的坐標羅列出來．2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關3．根據矩形的對角線相等列方程．拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為(-m,3)，與x軸的兩個交點為A(-1-m,0)、B(1-m,0)，AB＝2．拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為(m,-3)，與x軸的兩個交點為①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而第（2）題②,探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因為AB＝2，AB邊上的高為3，所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當四邊形ANEM是矩形時，B、D兩點重合．如圖1，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與x軸交于點A(－1,0D為拋物線的頂點，直線AC與拋物線交于點C(5,6)．（3）若直角坐標系平面中的點F和點A、C、D構成直角和直線DA與x軸的夾角都是45°,△CAE∽△EAD存在兩種情況．1．由A、C、D三點的坐標，可以得到直線CA、直線DA與x軸的夾角都是45°,因此點E不論在點A的左側還是右側，都有∠CAE=要分兩種情況．每種情況又要討論對應邊的關系．因此不論點E在點A的左側還是右側，都有∠CAE=∠DAE．如果△CAE∽△DAE，那么它們全等，這是不可能的．（3）因為∠CAD＝90°,因此直角梯形存在兩種情況．解得DF＝22．此時F、D兩點間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．解得CF=此時F、C兩點間的水平距離、豎直距離都是，所以F(.如果第（3）題改為：點F在拋物線上，點F和點A、C、D構成梯形，求點F的坐標，那么就要分三種情況討論了．解得x=±5．此時點F的坐標為(－5,16)．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x＋2與x軸交于點A，點B是這條直線上第一象限內的一個點，過點B作x軸的垂線，垂足為D，已知△ABD的面積為18．（2）如果拋物線經過點A和點B，求拋物線的解析式；（3）已知（2）中的拋物線與y軸相交于點C，該拋物線對稱軸與x軸交于點H，P是拋物線對稱軸上的一點，過點P作PQ//AC交x軸于點Q，如果點Q在線段AH上，且AQ=CP，求點P的坐標．況，四邊形CAQP為平行四邊形或等腰梯形．1．△ABD是等腰直角三角形，根據面積可以求得直角邊長，得到點B的坐標．平行四邊形的情況很簡單，等腰梯形求點P比較復雜，于是我們要想起這樣一個經驗：平行于等腰三角形底邊的直線截兩腰，得到一個等腰梯形和一個等腰三角形．（1）直線y＝x＋2與x軸的夾角為45°,點A的坐標為(－2,0)．因為△ABD是等腰直角三角形，面積為18，所以直角邊長為6．所以拋物線的解析式為②如圖3，當四邊形CAQP是等腰梯形時，作AC的垂直平分線交x軸于點F，那么點解得所以．其實第（3）題還有一個“一石二鳥”的方法：（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．直距離等于7保持不變，∠DPE與∠PDH保持相等．畫出對稱軸就可以了．2．拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標，不變的是D、P兩點間的垂直距離等于點P向右平移到直線x＝3時，就停止平移．所以拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3．②過點P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH=∠DPE．所以S梯形因為CD//AB，所以∠CDB=∠ABO．OB、OD在x軸上．已知點A(1，2)，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F．拋平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點（3）若△AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．請打開幾何畫板文件名“12衢州24”，拖動點P在線段AB的左側，存在等腰梯形ABPM．拖動點A′在線段AC上運動，可以體驗到，Rt△A′OB′、AB的左側，存在AM=BP．拖動點A′在線段AC上運動，發現S最大值為0.375．1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側的線段長線段．3．求△OEH的面積時，如果構造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為4．設點A′移動的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．解方程得所以所以第（3）題也可以這樣來解：設點A′的橫坐標為a．＝－點P，與x軸的另一交點為點B．求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；對折，得到△P1MN．在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式．達PO的中點前，重疊部分是三角形；經過中點以后，重疊部分是梯形．1．第（2）題可以根據對邊相等列方程，也可以根據對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO的中點．解得所以二次函數的解析式為y=(x-4)2-4=x2-8x+12，頂點P的坐標為（4412=(x-2)(x-6)，知點B的坐標為（6，0＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(假設在等腰梯形OPB),由兩點間的距離公式)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(D),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(點),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(D),6)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(的坐標),解得)＝－積．由于所以S△第（2）題最好的解題策略就是拿起尺、規畫圖：方法一，按照對角線相等畫圓．以P為圓心，OB長為半徑畫圓，與直線y＝2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點．方法二，按照對邊相等畫圓．以B為圓心，OP長為半徑畫圓，與直線y＝2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點．而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值．請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；請直接寫出所有“好點”的個數，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標．1．第（2）題通過計算進行說理．設點P的坐標，用兩點間的距離公式表示PD、PF（1）拋物線的解析式為．（2）小明的判斷正確，對于任意一點P，PD－PF＝2．說理如下：在△PDE中，DE為定值，因此周長的最小值取決于FD＋PE的最小值．長最小（如圖2因此S是x的二次函數，拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝－6．（2）點P從點A出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動，同時點時，另一個點也停止運動．當△PBQ存在時，求運動多少秒時△PBQ的面積最大，最大面下方的拋物線上運動，觀察度量值，可以體驗到，有兩個時刻面積比為2.5．＝－所以拋物線的解析式為55△CBK28△CBK△CBK=.1212（2）連結BC，過點A作直線AE//BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，坐標點P從A經過C到達B，數一數面積的正整數值共有11個．點P從A經過C到達B，數一數面積的正整數值共有11個．再數一數個數．注意排除點A、C、B三個時刻的值．2＝－所以拋物線的解析式為因此當P在BC下方時，△PBC的最大值為4．將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°,得到三角形A′B′O．（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該（2）設點P是第一象限內拋物線上的一個動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質．體驗到，當四邊形PB′A′B是等腰梯形時，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積體驗到，當四邊形PB′A′B是等腰梯形時，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積3．過點向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形．（1）△AOB繞著原點O逆時針旋轉90°,點A′、B′的坐標分別為(－1,0)、(0,2)．所以該拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．所以S（3）如圖3，四邊形PB′A′B是等腰梯形，它的性質有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經過兩底中點的直線．所以S甚至我們可以更大膽地根據拋物線的對稱性直接得到點P：面積的4倍．因此點E就是要探求的點P．點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、②連結PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三體驗到，PD隨點P運動的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當C是AB的中點時，PD達到最大值．觀察面積比的度量值，可以體驗到，左右兩個三角形的面積比可以是9∶10，3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積滿分解答解得5第（3）題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高>1)作x軸的平行線分別交曲線和于M、N兩點．（3）是否存在實數p，使得S△AMN＝4S△AMP？若若不存在，請說明理由．線MN經過（0，2）點時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，MN＝4MP存在兩種情況．1．第（2）題準確畫圖，點的位置關系盡在圖形中．△AMP轉化為MN＝4MP，按照點M與線段NP的位置關系分兩種情況討論．代入點A(1，0)和點B(2，1)，得解得所以直線l的解析式為y=x-1．（2）由點P(p,p-1)(p＞1)的坐標可知，點P在直線y=x-1上x軸的上方．如圖2，（3）△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．2情形一，如圖5，∠AMN＝90°,此時點M的坐標為（1，2點P的坐標為（3，2情形二，如圖6，∠MAN＝90°,此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面部分的面積；若改變，請說明理由．疊部分的形狀是菱形，面積不變．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換．在AB邊上時，要利用割補法求△ODE的面積．3．第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形．4．圖形翻著、旋轉等運動中，計算菱形的邊長一般用勾股定理．②如圖3，當E在AB上時，把y＝1代入可么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形．把本題中的矩形OABC繞著它的對稱中心旋轉，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖55那么這個菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為3，如圖7所示．交于點C，其中點A的坐標為(－3,0)，點（1）求這條拋物線的解析式，并求出拋物線的對稱軸；（3）設點M在線段AB上，點N在線段BC上，如果線段MN被直線CD垂直平分，直平分MN時，∠NDC=∠ADC=∠ACD，此時DN//AC．1．準確描繪A、B、C、D的位置，把相等的角標注出來，利于尋找等量關系．2．第（3）題在圖形中模擬比劃MN的位置，近似DC垂直平分MN時，把新產生的等角與前面存在的等角對比，思路就有了．解得．所以拋物線的解析式為拋物線的對稱軸為直線x＝1．（3）如圖3，因為AD＝AC，所以∠ACD=∠ADC．如果線段MN被直線CD垂直平分，那么∠ADC=∠NDC．這時∠ACD=∠NDC．所以DN//AC．解第（3）題畫示意圖的時候，容易誤入歧途，以為M就是點O．這是放大還原事實的真相，如圖4所示．5②若⊙A′與以D為圓心、DO為半徑的⊙D相切，求xOA相切于點H，⊙A′與⊙D可以外切一次，不能內切．1．把不變的量先標記出來，圓心A到直線OB的距離AE＝3，翻折以后的圓心A′的位2．若⊙A′與直線OA相切，那么圓心A′到直線OA構造出垂線，以AA′為斜邊的直角三角形的三邊長就是確定的．3．探究兩圓相切，在羅列三要素R、r、d的過程中，發現先要突破圓心距A′D．5作A′H⊥OA，垂足為H．若⊙A′與直線OA相切，那么半徑等于解方程5得解得所以兩圓不可能內切．2此時因此兩圓的半徑和大于圓心距，此時兩圓是相交的（如圖5如圖1，已知⊙O的半徑長為3，點A是⊙O上一定點，點P為⊙O上不同于點A的動當時，求AP的長；（3）在（2）的條件下，當tan時（如圖3存在⊙M與⊙O相內切，同時與⊙Q相外切，且OM⊥OQ，試求⊙M的半徑的長．距圍成一個直角三角形．同時與⊙Q相外切．拖動點P使得，拖動點M使得⊙M的半徑約為9，⊙M與⊙O、1．第（1）題的計算用到垂徑定理和勾股定理．2．第（2）題中有一個典型的圖，有公共底角的兩個等腰三角形相似．3．第（3）題先把三個圓心距羅列出來，三個圓心距圍成一個直角三角形，根據勾股定理列方程．解得所以如圖7，設⊙M的半徑為r．O解得同樣的，設⊙M的半徑為r．O（1）這條拋物線的對稱軸是________，直線PQ與x軸所夾銳角的度數是_____；11AC與直線PQ交于點D，求：圖物線上運動，觀察圖像“＋隨P”和“3隨P”，可以體驗到，當點P運動到拋物線的頂點時，點P與點Q重合，此時PD＋QD最大，PD2QD也最大．線段OA的分點的位置，從而得到直線PQ與y軸的交點坐標．2．第（3）題中，△CQD保持等腰直角三角形的形狀．△△時設直線PQ與x軸交于點H，那么（3）①如圖4，由A(4,0)、C(2又因為直線PQ與x軸的夾角為45°,所以△CDQ是等腰直角三角形．此時PQ′的最大值為62，即PD＋DQ的最大值為62．因此所以當時，PD2QD的最大＝－于是PD＋DQ＝2(x-x)+2(x-x)＝2(2x-x-x)構成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明位置是確定不動的，這是因為點P、C是確定不動的落在線段AB′′上時，四邊形的周長最小．2．直徑的兩個端點與圓內一點圍成的三角形是鈍角三角形．3．求兩條線段的和最小，是典型的“牛喝水”問題．本題的四條線段中，有兩條的長是定值，把不定的兩條線段通過“平行且相等”連接起來，就轉化為“牛喝水”問題．＝－＝－，．所以頂點為C(3,-25)所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO=∠DBO．當點P在x軸下方圓的內部時，∠APB（3）若m＞3，當∠APB為直角時，點P與點D關于拋物線的對稱軸對稱，因此點P2C′四點所構成的四邊形中，AB和P′C′的長是確定的．如圖4，線段AB′′與直線的交點，就是四邊形周長最小時點C′的位置．如圖2，點P(3,－2)先向左平移3個單位，再向下平移9個單位得到點C(3,-25)，如圖3，點B(4,0)先向左平移3個單位，再向下平移9個單位得到點B'(5,-9)．所以點B′′的坐標為(5,-41)．2由于，所以拋物線向左平移了個單位．第（2）題不可回避要證明∠ADB＝90°,也可以根據勾股定理的逆定理證明．第（3）題的運算量實在是太大了，很容易折磨同學們的自信．求點B′的坐標，我們用了坐標平移的方法，比較簡便．求點C′的坐標，我們用了相似比的方法，回避了待定系數法更為繁瑣的計算過程．在平面直角坐標系中，已知點A(－2,0)，B(0,4)，點E在OB上，且∠OAE=∠OBA．②當A′B＋BE′取得最小值時，求點E′的坐標（直接寫出結果即可小值．小值．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感覺是用勾股定理列關于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感覺是典型的“牛喝水”問題——軸對稱，兩點之間線段最短．（1）由∠OAE=∠OBA，∠AOE=∠BOA，得△AOE∽△BOA．此時點A′是AO的中點，點E′向右平移了1個單位，所以E′(1,1)．②如圖4，當A′B＋BE′取得最小值時，求點E′的坐標為(,1)7當A′、B、E′′三點共線時，A′B＋BE′′取得最小值，最小值為線段A′E′′．解得此時．（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM＋OM的最小值．可以體驗到，當M落在線段AB上時，根據兩點之間線段最短，可以知道此時AM＋OM最第二部分函數圖象中點的存在性問題（1）求拋物線的解析式，并寫出y<0時，對應x的（2）設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線②設動點A的坐標為(a,b)，將矩形ABCD的周長L表示為a的函數并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由．察L隨a變化的圖像，可以體驗到，有兩個時刻，L取得最大值，這兩個時刻的點A關于拋物線的對稱軸對稱．1．先用含a的式子表示線段AB、AD的長，再把L表示為a的函數關系式．2．點A與點D關于拋物線的對稱軸對稱，根據對稱性，點A的位置存在兩個情況．D如圖3，根據對稱性，點A的坐標也可以是(5,-5)。1段OC的長為y．之間的函數關系式，并寫出函數的定義域；（3）當∠OCA=∠OPC時，求⊙P的半徑．保持相似，∠OCA的大小保持不變．兩圓外切和內切，各存在一次∠OPC=∠OCA．從圖像中可以體驗到，當兩圓外切時，y隨x的增大而增大．2．第（2）題構造直角三角形，使得y成為斜邊長，再用勾股定理．3．第（3）題兩圓外切可以直接用第（2）的結論，兩圓內切再具體分析．所以AH=EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(1),3)AC=x整理，得定義域為x＞0．（3）①如圖3，當⊙P與⊙O外切時，如果∠OCA=∠OPC，那么△OCA∽△如圖5，圖6，如果∠OCA=∠OPC，D、B三點作⊙Q，與y軸的另一個交點為E，延①求證：∠BDE=∠ADP；（3）請你探究：點P在運動過程中，是否＝－（2）①如圖2，∠BDE=∠CDE=∠ADP；②如圖3，∠ADP=∠DEP+∠DPE，如圖4，∠BDE=∠DBP+∠A，因為∠DEP=∠DBP，所以∠DPE=∠A＝45°.所以∠DFE=∠DPE＝45°.因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到4因此D(0,)．再由直線CD與直線AB求得交點P(2,2)435點與對邊的垂直平分線的位置關系，可以體驗到，點O和點P可以落在對邊的垂直平分線上，點M不能．請打開超級畫板文件名“12徐匯25”，分別點擊“等腰”按鈕的左部和中部，觀察三個角度的大小，可得兩種等腰的情形．點擊“相切”按鈕，可得y關于x的函數關系．2．分三種情況探究等腰△OMP，各種情況都有各自特殊的位置關系，用幾何說理的方法比較簡單．公共直角邊的直角三角形．過點M作MD⊥AB，垂足為D．因此MD＞MP，⊙M與直線AB相離．圖4EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(3),2)當兩圓外切時，半徑和等于圓心距，所以ON＝x＋y．EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(4),5)于是得到①當MO＝MP＝1時，方程沒有實數根．14（1）若⊙P與AC邊的另一個交點為D，設AP＝x，△PCD的面積為y，求y關于x的函數解析式，并直接寫出函數的定義域；（2）若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長相等，求AP的長；2．若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長相等，那么對應的弦心距相等．CMPN中，利用勾股定理列關于x(⊙P的半徑）的方程．4EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(15),4)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(15),6)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(15),2)（2）若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長相等，那么對應的弦心距PF＝PE．因此四邊形AEPF是正方形（如圖3設正方形的邊長為m．2解得．（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解O或Q在拋物線上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；疊部分的形狀依次為等腰直角三角形、等腰梯形和五邊形．點O′和點Q′各有一次機會落在拋物線上．2．試探取不同位置的點P，觀察重疊部分的形狀，要分三種情況討論．解得所以2頂點M的坐標為．因此，當時，點O′落在拋物線上（如圖2當t＝1時，點Q′落在拋物線上（如如圖1，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一的圖像與y軸、x軸的交點，點B在二次函數的圖像上，且該二次函數圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形．①當P運動到何處時，由PQ⊥AC？像，可以體驗到，當S最小時，點Q恰好是AC的中點．像，可以體驗到，當S最小時，點Q恰好是AC的中點．1．求拋物線的解析式需要代入B、D兩點的坐標，點B的坐標由點C的坐標得到，點D的坐標由AD＝BC可以得到．2．設點P、Q運動的時間為t，用含有t的式＝－（2）①設點P、Q運動的時間為t．44.