第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第8節二項分布、超幾何分布與正態分布INNOVATIVEDESIGN1.理解二項分布、超幾何分布的概念,能解決一些簡單的實際問題.

2.借助正態分布曲線了解正態分布的概念,并進行簡單應用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時對點精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.n重伯努利試驗

將一個伯努利試驗(____________________的試驗)獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.2.二項分布 (1)概念:在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發生的次數,則X的分布列為P(X=k)=______________,k=0,1, 2,…,n,稱隨機變量X服從二項分布,記作___________. (2)期望與方差:E(X)=______,D(X)=_________.只包含兩個可能結果

X~B(n,p)npnp(1-p)

正態密度曲線x=μx=μ1⑤在參數σ取固定值時,正態曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖1所示.σ決定正態曲線的“胖瘦”:σ越大,曲線越“胖”;σ越小,曲線越“瘦”,如圖2所示.

X~N(μ,σ2)μσ2常用結論與微點提醒1.兩點分布是當n=1的二項分布,二項分布中的每次試驗的結果都服從兩點分布.2.當X~B(n,p)時,且P給定:若(n+1)p是整數,則k=(n+1)p或k=(n+1)p-1時,P(X=k)取得最大值.若(n+1)p非正整數,則k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整數)時,P(X=k)取得最大值.注:若均值為正整數,則當隨機變量k=np時,概率最大.3.若X~N(μ,σ2),則P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a).√

√√×B

C

考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一

二項分布例1

(2025·福州模擬)電子商務在我國發展迅猛,網上購物已經成為很多人的選擇.某購物網站組織了一次促銷活動,在網頁的界面上打出廣告:高級口香糖10元錢三瓶,有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味).小王點擊進入網頁一看,只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起,看不見具體口味,由購買者隨機點擊進行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶,且各種口味的瓶數相同,每點擊選擇一瓶后,網頁自動補充相應的口香糖). (1)小王花10元錢買三瓶,請問小王收到貨的組合方式共有多少種?

(2)小王花10元錢買三瓶,由小王隨機點擊三瓶,請列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數ξ的分布列,并計算其數學期望和方差.

所以ξ的分布列為ξ0123P

思維建模判斷某隨機變量服從二項分布的關鍵點(1)在每一次試驗中,事件發生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中,試驗的結果只有兩個,即發生與不發生.(4)隨機變量是n重伯努利試驗中事件發生的次數.ABC

(2)(2025·長沙調研)某綜藝節目中,有一個盲擰魔方游戲,就是玩家先觀察魔方狀態并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況,某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查;得到的情況如表所示:C用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]男性人數1522149女性人數511177以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率,代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率,每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試,其中用時不超過10秒的人數最有可能(即概率最大)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5

考點二

超幾何分布例2

(2025·杭州調研)某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人模型,它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話.聊天機器人模型的開發主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術,在測試它時,如果輸入的問題沒有語法錯誤,則它的回答被采納的概率為90%,當出現語法錯誤時,它的回答被采納的概率為50%. (1)在某次測試中輸入了7個問題,聊天機器人模型的回答有5個被采納,現從這7個問題中抽取4個,以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數,求ξ的分布列和數學期望;

ξ234P

(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為p,若聊天機器人模型的回答被采納的概率為80%,求p的值.解

記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B,記“回答被采納”為事件C,由已知得,P(C)=0.8,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.5,P(B)=p,P(A)=1-p,∵P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.9(1-p)+0.5p=0.9-0.4p,∴0.9-0.4p=0.8,解得p=0.25.思維建模1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數;(3)從中抽取若干個個體,考查某類個體數X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.

則隨機變量X的分布列為X0123P

考點三

正態分布

BC解析

由題意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841

3,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2,所以A錯誤,B正確;因為Y~N(2.1,0.12),P(Y<2.2)≈0.841

3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841

3-0.5=0.341

3,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341

3+0.5=0.841

3>0.8,所以C正確,D錯誤.(2)(2025·北京海淀區模擬)某企業生產一種零部件,其質量指標介于(49.6,50.4)的為優品,技術改造前,該企業生產的該種零部件質量指標服從正態分布N(50,0.16);技術改造后,該企業生產的同種零部件質量指標服從正態分布N(50,0.04).那么,該企業生產的這種零部件技術改造后的優品率與技術改造前的優品率之差約為

.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<σ)≈0.682

7,P(|X-μ|<2σ)≈0.954

5,P(|X-μ|<3σ)≈0.997

3)

0.271

8解析

記技術改造前,該企業生產的該種零部件質量指標的均值為μ1,標準差為σ1,技術改造后,該企業生產的該種零部件質量指標的均值為μ2,標準差為σ2,由題知μ1=μ2=50,σ1=0.4,σ2=0.2,(49.6,50.4)=(μ1-σ1,μ1+σ1)=(μ2-2σ2,μ2+2σ2),所以技術改造前的優品率約為0.682

7,技術改造后的優品率約為0.954

5,優品率之差約為0.954

5-0.682

7=0.271

8.思維建模解決正態分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸為x=μ.(2)標準差為σ.(3)分布區間.由μ,σ利用對稱性可求指定范圍內的概率值,使分布區間轉化為3σ特殊區間,從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.訓練3

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果服從正態分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是(

) A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D.σ越小,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D

解析

對于A,σ2為數據的方差,所以σ越小,數據在μ=10附近越集中,所以測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大,故A正確;

對于B,由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;

對于C,由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;

對于D,因為該物理量一次測量結果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.(2)(2025·東北四市調研)已知隨機變量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,則P(3<X<5)=

;若Y=2X+1,則Y的方差為

.

0.464解析

因為隨機變量X~N(4,42),所以P(X<3)=P(X>5)=0.3,所以P(3<X<5)=1-P(X<3)-P(X>5)=0.4,由題意可得D(X)=16.因為Y=2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=64.微點突破二項分布與超幾何分布的區別與聯系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布,學生對這兩種模型的定義不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的題型,就認為是超幾何分布,事實上,超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯系,但也有明顯的區別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取,各次抽取不獨立,二項分布的抽取是有放回抽取,各次抽取相互獨立.當超幾何分布所對應的總體數量很大時可以近似地看作二項分布.一、以總體個數有限與無限區分兩種分布例1

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況,隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位:克),質量的分組區間為[490,495],

(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如圖).(1)根據頻率分布直方圖,求質量超過505克的產品數量;解

質量超過505克的產品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以質量超過505克的產品數量為40×0.3=12(件).

X012P

Y012P二、以放回與不放回抽樣區分兩種分布例2

(多選)某工廠進行產品質量抽測,兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品,已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品,員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品,員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品.設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X,員工B抽取的3件產品中次品數量為Y,k=0,1,2,3.則下列判斷正確的是(

) A.隨機變量X服從二項分布 B.隨機變量Y服從超幾何分布 C.P(X=k)<P(Y=k) D.E(X)=E(Y)ABD

課時對點精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

B2.(2025·唐山模擬)某地區5

000名學生的數學成績X(單位:分)服從正態分布X~N(90,σ2),且成績在[90,100]的學生人數約為1

800,則估計成績在100分以上的學生人數為(

) A.200 B.700 C.1

400 D.2

500

解析

因為5

000名學生的數學成績X服從正態分布X~N(90,σ2),

所以成績在90分以上(包括90分)的學生人數約為2

500,

又數學成績在[90,100]的學生人數約為1

800,

所以估計成績在100分以上的學生人數為2

500-1

800=700.B

B

C

D

A7.若隨機變量X~N(1,σ2),且正態分布N(1,σ2)

的正態密度曲線如圖所示,則下列