學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高三年級(jí)第十五次周測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題1．若集合,，則等于（）A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．，，三個(gè)學(xué)生參加了一次考試,，的得分均為70分，的得分為分．已知命題：若及格分低于70分，則，，都沒有及格．在下列四個(gè)命題中，為的逆否命題的是（）A．若及格分不低于70分，則，，都及格B．若,，都及格,則及格分不低于70分C．若，，至少有1人及格，則及格分不低于70分D．若,，至少有1人及格，則及格分高于70分4．在△中，，,的對(duì)邊分別是，,,若，，則△的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．5．若，則(）A．B．C．D．6．已知函數(shù),，給出下列3個(gè)命題:：若，則的最大值為16．：不等式的解集為集合的真子集．:當(dāng)時(shí)，若，,恒成立,則．那么,這3個(gè)命題中所有的真命題是()A．、、B．、C．、D．7．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3）2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A.1B。C。D。38．在三棱錐中，側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直，且，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的外接球的體積為,則（）A．B．C．D．9．，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為（)A．B．C．D．10．在△中,,,，邊上的高線為，點(diǎn)位于線段上，若，則向量在向量上的投影為（)A．B．C．或D．或11．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象,只需把的圖象上所有點(diǎn)(）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度12．已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(）A．B．C．D．二、填空題13．過兩點(diǎn),且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.14．設(shè)，變量在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則________。15．已知函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí),的面積是______________．三、解答題17．如圖，在四棱錐中，平面，，,，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線,所成角的余弦值；(2)點(diǎn)在線段上,且，若直線與平面所成角的正弦值為,求的值．18．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求△的面積的取值范圍．(選做）19．在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足,是邊上的一點(diǎn).（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若,，，求的長(zhǎng).（選做）20。記表示，中的最大值,如．已知函數(shù),．(1)設(shè)，求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);（2)試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

數(shù)學(xué)十五次周測(cè)參考答案1．A試題分析:由題意得，,故,故選A.考點(diǎn)：（1)一元二次不等式的解；（2）集合的運(yùn)算。2．A試題分析：由得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選A.考點(diǎn)：1。復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2.復(fù)數(shù)的幾何意義.3．C試題分析:“若，則"的逆否命題為“若,則”，“低于”的否定為“不低于";“都沒有”的否定為“至少有一人”，依次故選C。考點(diǎn)：原命題與逆否命題.4．D試題分析：由正弦定理得，即得，故的周長(zhǎng)為，故選D。考點(diǎn):正弦定理.5．D試題分析：由，得，故，故選D.考點(diǎn)：（1）兩角和的正弦；（2）三角恒等式。6．A試題分析：由得,故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故其最大值為，即為真；如圖所示作出的簡(jiǎn)圖,且由圖可知不等式的解集為集合的真子集，即為真；要使恒成立，只需即可,通過觀察圖象可知，即正確,故選A.考點(diǎn):（1）基本不等式；（2)恒成立問題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的解析式以及利用基本不等式求函數(shù)最值問題,同時(shí)還考查了數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的重要性，畫出函數(shù)、的簡(jiǎn)圖是判斷、正確性的關(guān)鍵所在;對(duì)于代入的解析式結(jié)合基本不等式可直接得到最大值；要使不等式成立，即的圖象始終在圖象的下方；恒成立,即在給定區(qū)間內(nèi)的最低點(diǎn)不低于的最高點(diǎn)。7．C試題分析：因?yàn)榍芯€長(zhǎng)的最小值是當(dāng)直線上的點(diǎn)與圓心距離最小時(shí)取得，圓心到直線的距離為,圓的半徑為，那么切線長(zhǎng)的最小值為,選C.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.【思路點(diǎn)晴】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系中直線與圓相切時(shí)切線長(zhǎng)最小問題，解決該試題的關(guān)鍵是分析出切線長(zhǎng)的最小值是在當(dāng)直線上的點(diǎn)與圓心距離最小時(shí)取得，先求出圓心到直線的距離為,又因?yàn)閳A的半徑為，那么切線長(zhǎng)的最小值為由勾股定理可求得切線長(zhǎng)為.8．A試題分析：由側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直知兩兩相互垂直，不妨設(shè)，,，則．三棱錐的外接球的直徑，所以，所以，故選A．考點(diǎn)：1、三棱錐的外接球；2、三棱錐與球的體積．9．B試題分析：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故選B．考點(diǎn)：1、定積分;2、數(shù)列的前項(xiàng)和；3、不等式．10．D試題分析：由題意可得,由等體積法，得,，設(shè)，則，，得或，故選D。考點(diǎn)：向量的數(shù)量積。11．A試題分析：由圖象可知，要得到函數(shù)的圖象，可將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度。考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬容易題。對(duì)于三角函數(shù),其圖象上相鄰兩對(duì)稱軸、相鄰對(duì)稱中心之間的距離都為半個(gè)周期，依次可確認(rèn)周期及，本題另一考點(diǎn)為三角函數(shù)圖象的變換，當(dāng)函數(shù)向左(右)平移（)個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),函數(shù)解析式為（).12．C試題分析：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且,當(dāng)，或時(shí),，故,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．兩直線重合的充要條件是①，②，由①及得，由①②得，令，則,且,設(shè),（），則，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)可知，在恒成立，故單調(diào)遞增,即，即,可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)，處的切線重合，的取值范圍是．故選：C．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)在點(diǎn)、處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件:斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出的表達(dá)式，構(gòu)造,（），最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出的取值范圍．13．（Ⅰ）；(Ⅱ)。試題分析：（Ⅰ)利用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角的正弦公式化簡(jiǎn)條件等式，由此可求得角的大小；（Ⅱ)首先由余弦定理求得的值,從而求得與的大小,然后利用正弦定理求解即可。試題解析:（Ⅰ）由，得，即,根據(jù)正弦定理,，所以，又，所以.6分(Ⅱ）在中,，，,由余弦定理得，所以，，9分在中，，，，由正弦定理,得，所以考點(diǎn)：1、正弦定理與余弦定理；2、兩角的正弦函數(shù).【方法點(diǎn)睛】利用正弦定理與余弦定理解三角形，主要有兩種題型:(1)給出三角形的邊與角的關(guān)系解三角形,解答時(shí)主要采取的手段是是“邊化角”與“角化邊"；(2）在一個(gè)具體的三角形中給出相關(guān)的條件解三角形，解答時(shí)注意選擇正弦定理與余弦定理.14．（1）；(2）.試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)列關(guān)于的方程組,解出的值,就可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為（）．由消去并整理得，先求得線段的垂直平分線的方程，進(jìn)而得，進(jìn)而，可得結(jié)果。試題解析：(1）設(shè)橢圓的方程為（)，則解得故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為（）．由消去并整理得．易知，設(shè)，，則,，設(shè)是的中點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為，令，得．因?yàn)?所以,因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵键c(diǎn):1、待定系數(shù)求橢圓方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系和三角形面積公式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和三角形面積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上,還是在軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能;②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組;④得方程:解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求。15．（1）（2）．試題分析：（1)利用空間向量求線線角，先根據(jù)題意確定空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),表示直線方向向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值，最后根據(jù)線線角與向量夾角關(guān)系得線線角余弦值（2）利用空間向量求線面角，先根據(jù)題意確定空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組求面的法向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系列等量關(guān)系,解出的值．試題解析：(1）因?yàn)槠矫妫移矫妫?，又因?yàn)椋詢蓛苫ハ啻怪保謩e以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由,可得，，，，,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．所以，，…………2分所以,所以異面直線，所成角的余弦值為．…………5分(2）因?yàn)?所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，解得,，所以是平面的一個(gè)法向量．……………7分因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，解得，所以的值為．10分考點(diǎn)：利用空間向量求空間角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破"：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”,準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)"。16．（1)個(gè)；（2）存在,。【解析】試題分析：(1）設(shè),利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求出，可得,則,結(jié)合圖象可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）可將題意轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,分別求和成立即可.試題解析：（1)設(shè),，令,得，遞增；令，得，遞減．∴,∴，即，∴．設(shè)，結(jié)合與在上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．(2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，（i）設(shè)，，令，得，遞增；令，得,遞減．∴．當(dāng)，即時(shí),,∴，∵，∴．故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．當(dāng),即時(shí),在上遞減，∴．∵，∴故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．（ii）若對(duì)恒成立,則，∴．由（i)及（ii）得，．故存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立，且的取值范圍為．考點(diǎn)：（1）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。17．試題分析：的中點(diǎn)為，斜率為,所以的垂直平分線的方程為，化簡(jiǎn)得,聯(lián)立，解得圓心坐標(biāo)為,半徑為，故圓的方程為。考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系。18．【解析】試題分析：作出可行域如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，解之得或（舍去),所以.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【方法點(diǎn)晴】求二元一次函數(shù)的最值，利用其幾何意義,通過求的截距的最值間接求出的最值，要注意:當(dāng)時(shí),截距取最大值時(shí),也有最大值