第一輯解三角形（解答題）………01立體幾何（解答題）………07概率統計（解答題）……………………18導數及其應用（解答題）…………………32圓錐曲線（解答題）………43解三角形（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1513（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；已知兩角的正、余弦，求和、差角的正弦；三角形面積公式及其應用2024年新高考II卷1513（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．輔助角公式；正弦定理解三角形；正弦定理邊角互化的應用2023年新高考I卷1712（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．用和、差角的正弦公式化簡、求值；正弦定理解三角形；三角形面積公式及其應用2023年新高考II卷1712（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．三角形面積公式及其應用；余弦定理解三角形；數量積的運算律2022年新高考I卷1812（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．正弦定理邊角互化的應用；基本不等式求和的最小值2022年新高考II卷1812（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面積公式及其應用近三年新高考數學中，三角形相關解答題考查情況總結如下：考點方面：主要涉及正弦定理、余弦定理用于解三角形；三角函數的和差角公式、輔助角公式等進行化簡與求值；三角形面積公式及其應用；還涉及到三角恒等變換，如二倍角公式等。其中正弦定理、余弦定理及三角形面積公式是高頻考點。題目設置方面：通常設置兩問，第一問多為求角，常通過對已知條件進行邊角轉化，結合三角函數公式求解；第二問常涉及求邊、求三角形面積或周長、求邊上的高等，一般在第一問求出角的基礎上，利用正弦定理、余弦定理及面積公式等進一步計算。整體考點穩定且具有較強的關聯性與系統性。2025年新高考中，解三角形大概率仍會作為重點考查內容。以一道解答題（分值約13-15分）呈現。解答題通常設置兩問，有一定梯度，循序漸進引導解題。正弦定理、余弦定理依舊是核心。會給出邊與角的混合條件，要求考生熟練運用正、余弦定理進行邊角互化，求解三角形的邊、角、面積等基本量。正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形①②③④應用：邊角互化①②③或（舍）三角形中三個內角的關系，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫斯頓定理）（4）張角定理倍角定理在中,三個內角的對邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運用在中,三個內角A、B、C的對邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．典例2（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．典例3（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．典例4（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【名校預測·第一題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學高三3月綜合自主測試數學試題）在中，內角的對邊分別為.已知.(1)求角的大小；(2)已知.求的面積.【名校預測·第二題】（湖南省長沙市雅禮中學2025屆高三一模數學試題）記的內角，，的對邊分別，，，已知．(1)求；(2)設是邊中點，若，求．【名校預測·第三題】（重慶市南開中學校2025屆高三下學期高考模擬數學試題）在中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且(1)求B；(2)若，D為AC邊上的一點，且，，求AC的最大值．【名校預測·第四題】（山東省實驗中學2025屆高三第五次診斷考試數學試題）在銳角中，內角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.【名校預測·第五題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學高三4月綜合自主測試數學試題）在中，角的對邊分別為，若．(1)求；(2)若，證明：是直角三角形．(3)若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．【名師押題·第一題】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，且，求的最小值.【名師押題·第二題】已知的內角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，求周長的最大值．【名師押題·第三題】在中，內角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若.（i）求；（ii）過邊上一點作的垂線，垂足分別為，求的最小值.【名師押題·第四題】記的內角所對的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若平分交于點，且，求的最大值.【名師押題·第五題】在中，，，分別是內角，，的對邊，．(1)求角的大小；(2)設為邊上一點，若，且，求面積的最小值．立體幾何（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1715（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．證明線面平行；由二面角大小求線段長度或距離；證明面面垂直2024年新高考II卷1715（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．線面垂直證明線線垂直；面面角的向量求法；證明線面垂直；求平面的法向量2023年新高考I卷1812（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．空間位置關系的向量證明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量2023年新高考II卷2012（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．線面垂直證明線線垂直；面面角的向量求法；證明線面垂直2022年新高考I卷1912（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．求點面距離；面面角的向量求法2022年新高考II卷2012（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．證明線面平行；面面角的向量求法近三年新高考數學立體幾何解答題考查情況總結?空間位置關系證明：頻繁考查線面平行、線面垂直、面面垂直的證明。如通過線線平行證明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直進而證明面面垂直。?空間角計算：二面角的向量求法是重點，常給出相關幾何條件，要求考生建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的正弦值或余弦值。也涉及線面角相關計算。?距離與線段長度求解：包括求點到平面的距離、由二面角大小求線段長度等。常借助等體積法或向量法求解點面距離，根據幾何關系和空間向量運算求線段長度。?題目設置方面?通常設置兩問，第一問多為空間位置關系的證明，如證明線面平行或垂直等，考查對相關判定定理的理解和運用；第二問多為空間角的計算或線段長度、距離的求解，在第一問的基礎上，要求考生熟練運用空間向量方法或幾何方法進行計算，綜合性較強。整體考點穩定，注重對空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力的考查。題型與分值：預計2025年新高考中，立體幾何仍會以一道解答題（分值約13-15分）的形式出現，設置兩問，有一定難度梯度，循序漸進引導解題。?考查方向?空間位置關系：線面平行、線面垂直、面面垂直的證明依然是重點內容。可能會給出更復雜的幾何圖形，如組合體（棱柱與棱錐組合等），要求考生從復雜圖形中準確找出線線、線面、面面關系，運用判定定理進行證明。?空間角計算：二面角的向量求法仍是核心考點，可能會結合實際應用背景（如建筑設計中的角度問題）或與其他知識（如三角函數）綜合考查。也可能出現線面角、異面直線所成角的計算，考查考生建立空間直角坐標系、準確計算向量坐標和運用向量公式的能力。?距離與體積：點到平面的距離、幾何體的體積計算可能會有所涉及。可能需要考生靈活運用等體積法、向量法等方法求解距離，根據幾何圖形的特征計算體積，考查運算求解能力和轉化與化歸思想。?創新題型：可能會出現一些創新題型，如開放性問題（給出部分條件，讓考生補充條件并證明相關結論）、探究性問題（探究幾何圖形中某些元素的變化對空間位置關系或空間角的影響），考查考生的創新思維和綜合運用知識的能力。1.空間中的平行關系線線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行線面平行的性質定理若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別于另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行面面平行的性質定理性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行2.空間中的垂直關系線線垂直線面垂直的判定定理一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直線面垂直的性質定理性質定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行面面垂直的判定定理一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）面面垂直的性質定理兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面3.異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）4.直線與平面所成角，(為平面的法向量).5.二面角的平面角（，為平面，的法向量）.6.點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．典例2（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．典例3（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．典例4（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【名校預測·第一題】（重慶市南開中學校2025屆高三下學期高考模擬數學試題）如圖，三棱錐中，，．異面直線和所成角的余弦值為，點是線段上的一個動點．(1)證明：平面平面；(2)若二面角的正弦值為，求．【名校預測·第二題】（湖南省長沙市雅禮中學2025屆高三一模數學試題）在平行四邊形中（如圖1），，為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點在線段上，且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．【名校預測·第三題】（遼寧省東北育才中學2024-2025學年高三下學期二模數學試卷）如圖①，在矩形中，，，M為的中點，將沿折起，使A到處，平面平面，連接，（如圖②）．

(1)證明：平面；(2)已知Q是線段上的動點，且，直線與平面所成角的正弦值為，求．【名校預測·第四題】（安徽省合肥市第一中學2025屆高三下學期數學素質拓展試卷）如圖，在四棱錐中，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.(1)若，平面與平面是否互相垂直？如果垂直,請證明；如果不垂直，請說明理由.(2)若底面為正方形，當平面與平面夾角為時，求的值.【名校預測·第五題】（陜西省西北工業大學附屬中學2025屆高三第八次模擬考試數學試卷）如圖，在四棱錐中，平面，，，，M為棱的中點.(1)證明：平面.(2)已知.（i）求平面與平面夾角的余弦值.（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【名師押題·第一題】如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點在線段上.(1)求證：平面平面；(2)當直線與平面所成角的正弦值為時，求.【名師押題·第二題】如圖，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分別為AB，CD的中點，沿線段EF將四邊形AEFD翻折到四邊形MEFN的位置，連接MB，NC.已知，，，P為射線FN上一點.(1)若，證明：平面BCNM.(2)若直線FN與平面CEP所成角的正弦值為，求PF.【名師押題·第三題】在平面四邊形中，，，如圖1所示.現將圖1中的沿折起，使點到達點的位置，且平面平面，如圖2所示.

(1)求證：；(2)若，二面角的大小為，求的值.【名師押題·第四題】如圖，在正方形中，，分別為中點，四邊形也是正方形，經過點的直線與平面的夾角為且，現將正方形沿直線平移至得到四棱臺．

(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值；(3)若平面平面，求四棱臺的體積．【名師押題·第五題】如圖，長方體中，，，，E，F分別為棱AB，的中點．

(1)過點C，E，F的平面截該長方體所得的截面多邊形記為S，求S的周長；(2)設T為線段上一點，當平面平面時，求平面TCF與平面CEF夾角的余弦值．概率統計（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考II卷1817（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？獨立事件的乘法公式；求離散型隨機變量的均值；利用對立事件的概率公式求概率2023年新高考I卷2112（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．求離散型隨機變量的均值；利用全概率公式求概率；等比數列的簡單應用2023年新高考II卷1912（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．頻率分布直方圖的實際應用；總體百分位數的估計2022年新高考I卷2012（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828獨立性檢驗解決實際問題；計算條件概率2022年新高考II卷1912（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.頻率分布直方圖的實際應用；由頻率分布直方圖估計平均數；利用對立事件的概率公式求概率；計算條件概率近三年新高考數學概率統計解答題考查情況總結?考點方面?概率計算：常考查獨立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，以及利用對立事件求概率。如通過分析投籃、抽簽等事件的獨立性或互斥性來計算相應概率。?離散型隨機變量：涉及離散型隨機變量的分布列、期望和方差的求解。要求考生確定隨機變量的可能取值，計算每個取值的概率，進而求出期望和方差。?統計圖表應用：對頻率分布直方圖的考查較多，包括根據頻率分布直方圖計算頻率、平均數、中位數等數字特征，以及利用頻率估計概率解決實際問題。?題目設置方面?通常設置多問，第一問可能是概率計算，如計算某一事件發生的概率；后續問題逐漸深入，可能涉及到隨機變量的分析、統計圖表的綜合應用或統計方法的運用等。整體考點豐富多樣，注重考查考生對概率統計知識的綜合運用能力以及數據分析能力。題型與分值：預計2025年新高考中，概率統計仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式呈現，題目設置多問，具有一定的梯度，從基礎概念考查逐步過渡到綜合應用。概率模型：繼續考查常見的概率模型，如獨立重復試驗、古典概型等。可能會結合實際生活背景，如體育比賽、抽獎活動等，構建更復雜的概率問題（條件概率、全概率），要求考生準確判斷概率模型并運用相應公式計算概率。隨機變量與分布：離散型隨機變量的分布列、期望和方差依舊是重點。可能會出現新的隨機變量類型或更復雜的取值情況，考查考生對隨機變量概念的深刻理解和計算能力。也可能與其他知識（如函數、不等式）綜合，求期望或方差的最值。?統計圖表與數據分析：頻率分布直方圖的應用仍會是考點。除了計算數字特征外，可能會要求考生根據圖表進行數據的進一步分析和推斷，如估計總體參數、進行假設檢驗等，突出對數據分析素養的考查。實際應用與創新：概率統計與實際生活的聯系會更加緊密，可能會出現一些跨學科或創新性的題目，如在醫學、經濟、環境科學等領域中運用概率統計知識解決實際問題，考查考生的數學建模和應用能力。等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．個互斥事件分別發生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．獨立事件A，B同時發生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).個獨立事件同時發生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率7.離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）;（2）.8.數學期望數學期望的性質（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標準差=.12.方差的性質(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關系.14.正態分布密度函數，式中的實數μ，（>0）是參數，分別表示個體的平均數與標準差.15.對于，取值小于x的概率..16.條件概率條件概率的定義條件概率的性質已知B發生的條件下，A發生的概率，稱為B發生時A發生的條件概率，記為P(A|B)．當P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當P(A)>0時，A發生時B發生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發生的條件下B發生的概率，后者是在B發生的條件下A發生的概率．17.條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡18.全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數，n(AB)為事件AB包含的樣本點數.（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題.19.貝葉斯公式一般地,設是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有20.數字樣本特征眾數：在一組數據中出現次數最多的數中位數：將一組數據按從小到大（或從大到小）的順序排列，如果為奇數個，中位數為中間數；若為偶數個，中位數為中間兩個數的平均數平均數：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動程度，穩定程度和離散程度；越大，樣本波動越大，越不穩定；越小，樣本波動越小，越穩定；標準差：，標準差等于方差的算術平方根，數學意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值21.求隨機變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據分布列的性質對結果進行檢驗.還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態分布.（1）已知隨機變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知隨機變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質（，）進行計算；（3）若能分析出所給的隨機變量服從常用的分布（如：兩點分布、二項分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進行計算，若～,則，.22.求解概率最大問題的關鍵是能夠通過構造出不等關系，結合組合數公式求解結果典例1（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？典例2（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．典例3（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值．典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.【名校預測·第一題】（安徽省合肥市第一中學2025屆高三下學期數學素質拓展試卷）在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有m個白球，m個黑球，2個黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為．(1)從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；(2)從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設取出的黑球數量為X，求X的分布列與期望．【名校預測·第二題】（陜西省西北工業大學附屬中學2025屆高三第八次模擬考試數學試卷）投擲均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分．獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分．(1)設投擲2次骰子，最終得分為，求隨機變量的分布列與期望；(2)若投擲次骰子，記合計得分恰為分的概率為，求；(3)設最終得分為分的概率為，求數列的通項公式．【名校預測·第三題】（湖南省長沙市雅禮中學2025屆高三一模數學試題）現市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗一種新藥，在有關部門批準后，某醫院把此藥給100個病人服用．設藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨立．ABC（新藥）治愈率患者占比(1)記100個病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點；(2)設用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經用藥的患者中隨機抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結果用表示）(3)按照市場預測，使用新藥的患者占比能達到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計劃引入藥品的生產線，但生產線運行的條數受患者占比的影響，關系如下表：患者占比最多投入生產線條數123若某條生產線運行，年利潤為1000萬，若某條生產線未運行，年虧損300萬，欲使該藥企生產藥品的年總利潤均值最大，應引入幾條生產線？【名校預測·第四題】（山東省實驗中學2025屆高三第五次診斷考試數學試題）某工廠在改進生產技術后，針對新舊兩種技術所生產的電子元件實施質量檢測，現從每種技術生產的產品中各隨機抽取容量為40的樣本進行電壓測試.已知標準電壓為3.7V，誤差絕對值不超過0.1V的電子元件為優品，超過0.1V的電子元件為良品.(1)已知舊技術生產的40個樣本電子元件的電壓測量值近似服從正態分布的近似值為樣本均值3.7，的近似值為樣本標準差0.09.假設該工廠前期運用舊技術已生產電子元件40000個，試估算舊技術生產的電子元件電壓測量值高于3.88V的有多少個？(2)從新技術生產的40個樣本電子元件中隨機選取一個是優品的概率為.請補全以下列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為電子元件的優良情況與新舊技術有關？優品良品合計舊技術新技術合計16附：若隨機變量服從正態分布，則，..0.1000.0500.0250.0052.7063.8415.0247.879【名校預測·第五題】（遼寧省東北育才中學2024-2025學年高三下學期二模數學試卷）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，因俄國數學家安德烈?馬爾科夫而得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第n次的狀態有關，與第，，，…次狀態無關．已知有A，B兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現從A，B兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行次這樣的操作后，記A盒子中紅球的個數為，恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球的概率為．(1)求，的值；(2)證明：是等比數列，并求的通項公式；(3)求的數學期望．【名校預測·第六題】（重慶市南開中學校2025屆高三下學期高考模擬數學試題）甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數較低的類問題以及難度系數較高的類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為，甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個問題相互獨立．(1)當進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數學期望．(2)設甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為．（ⅰ）證明：為等比數列．（ⅱ）求的最大值以及對應n的值．【名師押題·第一題】某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓練情況并將成績（滿分100分）統計如下表所示.成績區間頻數100200300240160(1)求上表中成績的平均值及上四分位數（同一區間中的數據用該區間的中點值為代表）；(2)該運動員用分層抽樣的方式從的訓練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設成績落在區間的次數為X，求X的分布列及數學期望；(3)對這1000次訓練記錄分析后，發現某項動作可以優化.優化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優化動作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績標準是80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時p的取值范圍.【名師押題·第二題】某校組織“一帶一路”答題抽獎活動，凡答對一道題目可抽獎一次.設置甲、乙、丙三個抽獎箱，每次從其中一個抽獎箱中抽取一張獎券.已知甲箱每次抽取中獎的概率為，乙箱和丙箱每次抽取中獎的概率均為，中獎與否互不影響.(1)已知一位同學答對了三道題目，有兩種抽獎方案供選擇：方案一：從甲、乙、丙中各抽取一次，中獎三次獲得價值50元的學習用品，中獎兩次獲得價值30元的學習用品，其他情況沒有獎勵.方案二：從甲中抽取三次，中獎三次獲得價值70元的學習用品，中獎兩次獲得價值40元的學習用品，其他情況沒有獎勵；通過計算獲得學習用品價值的期望，判斷該同學選擇哪個方案比較合適？(2)若一位同學答對了一道題目.他等可能的選擇甲、乙、丙三個抽獎箱中的一個抽獎.已知該同學抽取中獎，求該同學選擇乙抽獎箱的概率.【名師押題·第三題】為測試某人工智能機器人在動態環境中執行路徑規劃的能力，命令該人工智能機器人在動態環境中執行路徑規劃任務，任務規則如下：該機器人需要依次通過5個關鍵區域，成功通過3個區域即認為其完成任務，每個區域存在動態障礙物，機器人成功通過一個區域的概率為，被障礙物阻擋的概率為．每成功通過一個區域得6分，每被障礙物阻擋一次扣3分，每個區域的測試結果相互獨立，若機器人累計成功通過3個區域，任務提前結束，若機器人被障礙物阻擋的次數達到3次，則任務無法完成，任務結束．(1)若任務在過第4個區域后終止且人工智能機器人完成任務，求此事件的概率；(2)記任務結束時該人工智能機器人的總得分為X，求X的分布列和數學期望.【名師押題·第四題】一電動玩具汽車需放入電池才能啟動.現抽屜中備有6塊規格相同的電池，其中3塊為一次性電池，另外3塊為可反復使用的充電電池.每次使用時隨機取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.(1)在已知第2次取出一次性電池的條件下，求第1次取出的是可充電電池的概率；(2)設X，Y是離散型隨機變量，X在給定事件條件下的期望定義為，其中為X的所有可能取值的集合，表示事件“”與“”均發生的概率.設X表示玩具汽車前4次使用中取出一次性電池的塊數，Y表示前2次使用中取出可充電電池的塊數，求；(3)若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用次后，所有一次性電池恰好全部用完的概率為，求數列的通項公式.【名師押題·第五題】某科技公司招聘技術崗位人員一名.經初選，現有來自國內三所高校的10名應屆畢業生進入后面試環節.其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機抽取1，2，3，...10號的面試序號.(1)若來自校的4名畢業生的面試序號分別為，且，來自校的4名畢業生的面試序號分別為，且，來自校的2名畢業生的面試序號分別為，，且.（i）求概率；（ii）記隨機變量，求的均值.(2)經面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現人事部門設計了以下面試錄用新規則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規則面試這10名畢業生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業生之一被錄用的概率不小于0.59.導數及其應用（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1817（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．判斷或證明函數的對稱性；利用導數研究不等式恒成立問題；簡單復合函數的導數；利用導數證明不等式2024年新高考II卷1615（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．求在曲線上一點處的切線方程（斜率）；根據極值求參數2023年新高考I卷1912（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．利用導數研究不等式恒成立問題；含參分類討論求函數的單調區間2023年新高考II卷2212（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．利用導數研究不等式恒成立問題；根據極值點求參數；利用導數求函數的單調區間（不含參）；利用導數研究函數的零點2022年新高考I卷2212（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．利用導數研究方程的根；由導數求函數的最值（含參）2022年新高考II卷2212（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．利用導數證明不等式；利用導數研究不等式恒成立問題；含參分類討論求函數的單調區間近三年新高考數學導數及其應用解答題考查情況總結?考點方面?函數性質研究：利用導數判斷函數的單調性、求函數的極值與最值是核心考點。常通過求導分析導函數的正負，進而確定函數單調區間，求解極值點和最值點。?不等式相關問題：包括利用導數證明不等式恒成立或存在性問題，通過構造函數，將不等式問題轉化為函數的最值問題進行求解；還會考查根據不等式恒成立求參數的取值范圍。?函數的切線與對稱性：求曲線在某點處的切線方程，涉及到導數的幾何意義；判斷或證明函數的對稱性，如中心對稱等，考查對函數性質的深入理解。?含參函數分析：對于含參數的函數，常需進行分類討論，分析參數對函數單調性、極值、最值等性質的影響。?題目設置方面?通常設置多問，第一問相對基礎，多為求函數的導數、討論函數單調性等；后續問題逐漸深入，可能涉及到利用導數證明不等式、根據函數性質求參數范圍等，綜合性強，對考生的邏輯推理、運算求解以及數學抽象等核心素養要求較高。題型與分值：預計2025年新高考中，導數及其應用仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式出現，題目設置2-3問，具有一定的難度梯度。?函數性質綜合考查：繼續圍繞函數的單調性、極值、最值展開，可能會出現更復雜的函數形式，如指數函數、對數函數與三角函數的復合函數等，考查考生對導數工具的熟練運用以及對函數性質的綜合分析能力。?不等式證明與參數問題：不等式的證明和根據不等式恒成立或有解求參數范圍仍是重點。可能會結合一些高等數學的思想方法，如放縮法等，增加證明的難度；參數問題會更加注重對參數取值范圍的精確討論和求解。?創新題型與跨模塊綜合：可能會出現一些創新題型，如函數的零點個數探究、函數圖象的交點問題等；也可能與其他知識模塊（如數列、解析幾何）進行綜合，考查考生的綜合應用能力和創新思維。?實際應用背景：導數在實際問題中的應用可能會有所體現，如最優化問題（成本最小化、利潤最大化等），將實際問題抽象為數學模型，利用導數求解最值，考查考生的數學建模和應用意識。恒成立問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數；為參數，為其表達式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）能成立（有解）問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數；為參數，為其表達式，（1）若的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比），則只需要端點效應的類型1.如果函數在區間上,恒成立,則或.2.如果函數在區問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數在區問上,恒成立,且(或,則或.洛必達法則：法則1若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型極值點偏移的含義眾所周知，函數滿足定義域內任意自變量都有，則函數關于直線對稱；可以理解為函數在對稱軸兩側，函數值變化快慢相同，且若為單峰函數，則必為的極值點.如二次函數的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變為不等，則為極值點偏移：若單峰函數的極值點為，且函數滿足定義域內左側的任意自變量都有或，則函數極值點左右側變化快慢不同.故單峰函數定義域內任意不同的實數滿足，則與極值點必有確定的大小關系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.極值點偏移問題的一般題設形式1.若函數存在兩個零點且，求證：（為函數的極值點）；2.若函數中存在且滿足，求證：（為函數的極值點）；3.若函數存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數中存在且滿足，令，求證：.極值點偏移的判定定理對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏；（2）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，則函數的單調遞增（減）區間為，單調遞減（增）區間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數極（小）大值點右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）對數平均不等式兩個正數和的對數平均定義：對數平均與算術平均?幾何平均的大小關系：（此式記為對數平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．只證：當時，．不失一般性，可設．證明如下：（I）先證：……①不等式①（其中）構造函數，則．因為時，，所以函數在上單調遞減，故，從而不等式①成立；（II）再證：……②不等式②（其中）構造函數，則．因為時，，所以函數在上單調遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對，都有對數平均不等式成立，當且僅當時，等號成立．運用判定定理判定極值點偏移的方法（1）求出函數的極值點；（2）構造一元差函數；（3）確定函數的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續；（2）f（x）在開區間（a，b）內可導．則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得．拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數．顯然，當時，．典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．典例2（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．典例3（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．典例4（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【名校預測·第一題】（2025·湖南長郡中學模擬）已知函數．(1)當時，求的單調性；(2)若函數在處取得極小值，求實數的取值范圍．【名校預測·第二題】（2025·湖南雅禮中學模擬）設函數．(1)當時，證明：．(2)當時，證明：．【名校預測·第三題】（重慶市南開中學校2025屆高三下學期高考模擬數學試題）已知函數．(1)若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；(2)若是函數的極值點，求證：．【名校預測·第四題】（陜西省西北工業大學附屬中學2025屆高三第八次模擬考試數學試卷）已知函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)若函數有兩個極值點，且，求a的取值范圍．【名校預測·第五題】（安徽省合肥市第一中學2025屆高三下學期數學素質拓展試卷）設函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區間上單調遞增，求的取值范圍；(3)當時，，求的取值范圍．【名校預測·第六題】（遼寧省東北育才中學2024-2025學年高三下學期二模數學試卷）已知函數．(1)當時，證明：在上單調遞增；(2)當，時，求的零點；(3)當，時，若在上有2個零點，求b的取值范圍．【名師押題·第一題】已知函數.(1)討論的單調性；(2)若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.【名師押題·第二題】已知函數(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求證．【名師押題·第三題】已知函數．(1)若，求的極值；(2)若，討論的單調性．【名師押題·第四題】已知函數.(1)當時，若不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個零點，，且.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【名師押題·第五題】已知函數，.(1)討論函數的單調性；(2)若函數的圖象不在直線的上方，求實數的值；(3)若，討論函數的零點個數.圓錐曲線（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1615（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．求橢圓的離心率或離心率的取值范圍；根據韋達定理求參數；根據橢圓過的點求標準方程；橢圓中三角形（四邊形）的面積2024年新高考II卷1917（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數列是公比為的等比數列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數，.由遞推關系證明等比數列；求直線與雙曲線的交點坐標；向量夾角的坐標表示2023年新高考I卷2212（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．求平面軌跡方程；求直線與拋物線相交所得弦的弦長；由導數求函數的最值（不含參）；基本（均值）不等式的應用2023年新高考II卷2112（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.直線的點斜式方程及辨析；根據a、b、c求雙曲線的標準方程；雙曲線中的動點在定直線上問題2022年新高考I卷2112（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題；根據韋達定理求參數2022年新高考II卷2112（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.根據雙曲線的漸近線求標準方程；根據韋達定理求參數；求雙曲線中的弦長；由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數近三年新高考數學圓錐曲線解答題考查情況總結?考點方面?曲線方程與性質：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程求解，離心率、漸近線等幾何性質的考查是核心。如根據已知點坐標求橢圓離心率，由雙曲線焦點和離心率求標準方程。?直線與曲線的位置關系：常考查直線與圓錐曲線相交的弦長、面積計算，利用韋達定理處理交點坐標關系。例如通過直線與橢圓相交求三角形面積，或根據直線與雙曲線相交的條件求參數。?綜合應用與證明：涉及數列與圓錐曲線的綜合（如證明數列是等比數列），以及點在定直線上的證明等。還包括軌跡方程的求解，如根據幾何條件求拋物線的軌跡方程。?題目設置方面?通常設置兩問或多問，第一問相對基礎，多為求曲線方程、離心率等基本量；第二問深入考查直線與圓錐曲線的綜合問題，如面積、定點定值、參數范圍等，對運算求解和邏輯推理能力要求較高，且可能與其他知識模塊（如數列）綜合，體現較強的綜合性。題型與分值：預計2025年新高考中，圓錐曲線仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式出現，題目設置2-3問，具有一定的難度梯度。?考查方向?曲線方程與性質：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程和幾何性質依然是考查重點。可能會給出更隱蔽的條件，如通過曲線的幾何特征（焦點、頂點、漸近線關系等）求方程，或結合離心率的取值范圍考查對性質的深入理解。?直線與曲線的綜合：直線與圓錐曲線的位置關系仍是核心考點。可能會出現面積的最值、弦長的定值、定點問題等，計算量較大，需要熟練運用韋達定理、設而不求等技巧。也可能與向量結合，通過向量關系轉化為坐標運算。?創新與綜合題型：可能會出現條件開放型題目，如給定多個條件選擇合適的條件進行證明（類似2022年新高考Ⅱ卷）；或與數列、函數等知識綜合，考查學生的綜合應用能力。還可能涉及一些實際背景的問題，如軌跡在實際場景中的應用。?計算與推理能力：圓錐曲線解答題對計算能力和邏輯推理能力要求較高。2025年可