第第頁題型一二次根式的概念、求二次根式的值題型二求二次根式中的參數題型三二次根式有意義的條件題型四利用二次根式的性質化簡題型五二次根式的乘除及混合運算題型六最簡二次根式題型七同類二次根式題型八二次根式的加減運算題型九二次根式的混合運算題型十分母有理化題型十一二次根式的化簡求值題型十二比較二次根式的大小題型十三二次根式的應用題型十四用勾股定理解三角形題型十五已知兩點坐標求兩點距離題型十六勾股樹（數）問題題型十七以直角三角形三邊為邊長的圖形面積題型十八勾股定理與網格問題題型十九勾股定理與折疊問題題型二十利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）題型二十一勾股定理的證明方法題型二十二勾股定理與無理數題型二十三勾股定理的應用題型二十四勾股定理的逆定理題型二十五利用平行四邊形的性質及其應用題型二十六平行四邊形的判定題型二十七平行四邊形的判定與性質綜合題型二十八三角形中位線題型二十九利用矩形的性質求解與證明題型三十求矩形在坐標系中的坐標題型三十一矩形與折疊問題題型三十二斜邊的中線等于斜邊的一半題型三十三矩形的判定題型三十四根據矩形的性質與判定求解題型三十五利用菱形的性質求解與證明題型三十六菱形的判定題型三十七根據菱形的性質與判定求解題型三十八利用正方形的性質求解與證明題型三十九正方形的判定題型四十根據正方形的性質與判定求解題型四十一中點四邊形題型題型四十二求陰影面積題型四十三（特殊）平行四邊形的動點問題題型四十四四邊形中的線段最值問題題型四十五變量與函數題型題型四十六函數的圖象題型四十七正比例函數題型四十八一次函數題型四十九一次函數圖象與坐標軸的交點問題題型五十一次函數的規律探究問題題型五十一一次函數圖象平移問題題型五十二一次函數與方程、不等式題型五十三求直線圍成的圖形面積題型五十四一次函數的實際應用題型五十五一次函數與幾何綜合題型五十六平均數、中位數、眾數題型五十七方差題型五十八數據分析中的決策問題第十六章二次根式1．（23-24八年級下·廣東惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求二次根式的值【分析】本題考查了二次根式的定義．根據形如的式子叫做二次根式，逐項分析即可求解．【詳解】解：A、是二次根式，A符合題意；B、，不是二次根式，B不符合題意；C、不是二次根式，C不符合題意；D、不是二次根式，D不符合題意．故選：A．2．（23-24八年級下·浙江溫州·期末）當時，二次根式的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【知識點】求二次根式的值【分析】本題考查二次根式，將已知數值代入原式并進行正確的運算是解題的關鍵．將代入二次根式中計算即可．【詳解】解：當時，原式，故選：C3．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）已知那么．【答案】81【知識點】求二次根式中的參數【分析】先求出x值，再求平方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：81．【點睛】本題考查了二次根式的意義，掌握二次根式的意義和運算方法是正確求解的基本方法．4．（24-25八年級下·河南信陽·期末）使式子有意義，則的取值范圍為．【答案】【知識點】二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數為非負數進行求解即可．【詳解】解：要使式子有意義，則，即．故答案為：5．（23-24八年級下·廣西河池·期末）化簡：＝．【答案】2024【知識點】利用二次根式的性質化簡【分析】本題考查了二次根式的性質，熟記“”是解題關鍵．直接利用二次根式的性質求解即可．【詳解】解：．故答案為：2024．6．（23-24八年級下·廣西河池·期末）計算：．【答案】【知識點】二次根式的乘法【分析】本題考查的知識點是二次根式的乘法，解題關鍵是熟練掌握二次根式的乘法運算法則．【詳解】解：根據二次根式的乘法可得：．故答案為：．7．（23-24八年級下·寧夏吳忠·期末）．【答案】2【知識點】二次根式的除法【分析】根據二次根式的除法法則進行計算即可．本題考查了二次根式的除法法則：，熟練掌握二次根式的除法法則是解題的關鍵．【詳解】解：故答案為：2.8．（22-23八年級下·吉林·期末）計算：．【答案】【知識點】二次根式的乘除混合運算【分析】根據二次根式的乘除法法則即可得．【詳解】原式【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法法則是解題關鍵．9．（23-24八年級下·貴州畢節·期末）下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】最簡二次根式的判斷【分析】本題考查最簡二次根式的判定，根據最簡二次根式的要求：被開方數不含能開得盡方的因數；被開方數不含分母，由這兩條逐項判定即可得到答案，熟記最簡二次根式的要求是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、，故不是最簡二次根式，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、中被開方數含有分母，故不是最簡二次根式，不符合題意；D、，被開方數含有分母，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選：B．10．（23-24八年級上·山東濱州·期末）下列各式化成最簡二次根式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】化為最簡二次根式【分析】本題考查了對最簡二次根式的定義的理解，先根據二次根式的性質化簡，再根據最簡二次根式的定義判斷是解此題的關鍵．【詳解】解：A.，化簡不正確；B.，化簡不正確；C.，化簡不正確；D.，化簡正確；故選D．11．（22-23八年級下·湖北咸寧·期末）當時，和兩個最簡二次根式是同類二次根式．【答案】3【知識點】已知最簡二次根式求參數【分析】根據同類二次根式的定義列一元一次方程求解即可．【詳解】解：∵和兩個最簡二次根式是同類二次根式，∴，解得：．故答案為3．【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，根據同類二次根式的定義列出一元一次方程是解答本題的關鍵．12．（23-24八年級下·安徽黃山·期末）與最簡二次根式是同類二次根式，則．【答案】【知識點】化為最簡二次根式、同類二次根式【分析】本題主要考查了同類二次根式和最簡二次根式等知識點，根據同類二次根式的定義得出，求出即可，能熟記同類二次根式的定義的內容是解此題的關鍵．【詳解】∵，∵與最簡二次根式是同類二次根式，∴，解得：，故答案為：7．13．（22-23八年級上·貴州銅仁·期末）計算：．【答案】【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，先化簡二次根式，再合并即可．【詳解】解：；故答案為：14．（23-24八年級下·安徽阜陽·期末）計算的結果是．【答案】【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先進行乘法運算并化為最簡二次根式，再進行加減運算，即可求解；掌握（，）和合并同類二次根式法是解題的關鍵.【詳解】解：原式；故答案為：．15．（23-24八年級下·廣東東莞·期末）計算：．【答案】．【知識點】二次根式的混合運算、利用二次根式的性質化簡【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先計算二次根式的乘法，再根據二次根式的性質進行化簡，最后計算加減即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．【詳解】解：．16．（23-24八年級下·甘肅平涼·期末）閱讀與思考：【閱讀理解】愛思考的小利在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：，，即，，．【任務】請你根據小利的分析過程，解決如下問題：(1)計算：___________；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)2【知識點】運用完全平方公式進行運算、二次根式的混合運算、分母有理化【分析】本題考查了二次根式混合運算，分母有理化，乘法公式等，熟練掌握分母有理化的方式是解題關鍵．（1）利用平方差公式分母有理化即可；（2）利用分母有理化可得，進而得到，，然后將代數式變形，代入計算即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：，，，即，，17．（22-23八年級下·山東煙臺·期末）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如，一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：．．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．請用分母有理化解答下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：．【答案】(1)(2)【知識點】分母有理化【分析】（1）根據分母有理數化簡即可；（2）根據分母有理數化簡即可．【詳解】（1）解：原式=；（2）解：原式==．【點睛】本題考查分母有理化，正確計算是解題的關鍵．18．（22-23八年級下·四川廣安·期末）已知，，則的值為．【答案】【知識點】已知字母的值，化簡求值【分析】由、的值直接代入求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵在于對原式進行恰當的化簡并代入求值．19．（22-23八年級下·山東威海·期末）（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）18；（2）【知識點】通過對完全平方公式變形求值、已知條件式，化簡求值、已知字母的值，化簡求值【分析】（1）根據二次根式的加法法則求出，根據二次根式的乘法法則求出，根據提公因式、完全平方公式把原式變形，代入計算即可；（2）根據完全平方公式把原式變形，計算即可．【詳解】解：（1），，，，則；（2），，，，，．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則、加法法則是解題的關鍵．20．（23-24八年級下·河北邢臺·期末）比較大小：．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】=【知識點】分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查分母有理化，二次根式的大小比較，掌握相應的法則是解題的關鍵．把分母有理化即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．21．（23-24八年級下·甘肅平涼·期末）已知矩形的長，寬．(1)求該矩形的周長；(2)若另一個正方形的面積與該矩形的面積相等，試計算該正方形的邊長．【答案】(1)(2)【知識點】二次根式的應用、二次根式的乘法、二次根式的混合運算【分析】本題考查二次根式的應用：（1）根據周長公式列式，利用二次根式的性質先化簡再求和；（2）先通過二次根式的乘法計算出矩形的面積，進而根據面積相等求出正方形的邊長．【詳解】（1）解：長方形的周長．（2）解：長方形的面積，根據面積相等，則正方形的邊長．22．（23-24八年級下·河北廊坊·期末）（1）設長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a，b．已知，，求S的值；（2）已知長方體的體積，高，底面相鄰兩邊，求a，b的值．【答案】（1）；（2），【知識點】二次根式的應用【分析】本題考查了二次根式的應用；（1）根據長方形的面積公式列式計算即可；（2）由已知得出，然后根據長方體的體積公式列式求出a，進而可得b的值．【詳解】解：（1）依題意，；（2），，，即∴，，，．第十七章勾股定理23．（24-25八年級上·廣東佛山·期中）如圖，在中，，若，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握勾股定理．根據勾股定理求解即可．【詳解】解：，，，，故選：D．24．（23-24八年級下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐標系中，點到原點的距離為（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【知識點】已知兩點坐標求兩點距離【詳解】本題主要考查了兩點間距離公式，根據兩點間距離公式進行計算，即可得出答案．【分析】解：由題意得，點P到坐標原點的距離為：．故選：D．25．（23-24八年級下·云南紅河·期末）下列各組數中，是勾股數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求一個數的算術平方根、勾股樹（數）問題【分析】本題考查的是勾股數，滿足的三個正整數，根據勾股數的定義解答即可．【詳解】解：A、不是正整數，故不是勾股數，不符合題意；B、0.3，0.4，0.5，不是整數，故不是勾股數，不符合題意；C、，是勾股數，符合題意；D、，故不是勾股數，不符合題意．故選：C．26．（23-24八年級下·貴州黔東南·期末）如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別為2、5、1、2．則最大的正方形的面積是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【知識點】勾股樹（數）問題【分析】此題考查勾股定理的利用，正確理解圖中幾個正方形與直角三角形的關系是解題的關鍵.根據直角三角形勾股定理解答得到E的面積是A、B、C、D四個面積的和，由此得到答案.【詳解】解：如圖，由圖知：正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積，正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積，∴正方形E的面積=正方形A的面積+正方形B的面積+正方形C的面積+正方形D的面積，故選：B.27．（23-24八年級下·河北張家口·期末）圖中三角形是直角三角形，所有四邊形都是正方形，最大正方形的邊長為，則圖中所有正方形的面積的和是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【分析】本題考查了勾股定理，根據勾股定理的幾何意義解答即可．熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關鍵．【詳解】解：根據勾股定理的幾何意義，可知：直角三角形兩直角邊所對應的兩個正方形的面積之和等于斜邊所對應的正方形的面積，則圖中所有正方形的面積的和為，故選：A．28．（23-24八年級下·河南駐馬店·期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，為半徑畫弧，交網格線于點D，則的長為（）A． B． C．3 D．無法確定【答案】A【知識點】勾股定理與網格問題【分析】此題考查了勾股定理，連接，從而根據勾股定理計算是解題的關鍵．【詳解】解：連接，則,∴，故選A．29．（22-23八年級下·河北保定·期末）如圖，在的正方形網格（每個小正方形的邊長都是1）中，標記格點A，B，C，D，則下列線段長度為的是（

）

A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】B【知識點】勾股定理與網格問題【分析】根據勾股定理分別求解，，，，從而可得答案．【詳解】解：由勾股定理可得：，，，，故選：B．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，熟記勾股定理的解本題的關鍵．30．（22-23八年級下·廣西南寧·期末）如圖是課堂上同學們在探究勾股定理用到的圖形，已知網格中小正方形的邊長為1，則線段的長為（

）

A． B．5 C．9 D．13【答案】A【知識點】勾股定理與網格問題【分析】直接利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由勾股定理可得：，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，牢記勾股定理是解決問題的關鍵．31．（23-24八年級下·山東濟寧·期末）如圖，三角形紙片中，，，，沿和將紙片折疊，使點和點都落在邊上的點處，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】勾股定理與折疊問題【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．根據題意可得，，，可得，繼而設，則，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿紙片折疊，使點B落在邊上的點P處，∴，，∵折疊紙片，使點C與點P重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得∴，解得，即，∴，故選：B．32．（23-24八年級下·河南南陽·期末）如圖所示，有一張長方形紙片，，．現折疊該紙片使得邊與對角線重合，折痕為，點落在處，求．【答案】3【知識點】勾股定理與折疊問題【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；先利用勾股定理求出，然后根據折疊的性質得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理構建方程，即可求出．【詳解】解：∵，，，∴，由折疊得：，，，∴，，在中，，∴，∴，故答案為：3．33．（22-23八年級上·吉林長春·期末）如圖，將長方形紙片沿折疊，使點恰好落在邊上點處，若，，求的長．【答案】．【知識點】勾股定理與折疊問題【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理．根據折疊的性質及勾股定理求解．【詳解】解：由翻折可得，，四邊形為長方形，，，，在中，由勾股定理得，，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即．34．（22-23八年級下·云南昆明·期末）如圖所示，在中，，點D為邊上一點，將沿翻折得到，若點在邊上，，，求的長．【答案】【知識點】勾股定理與折疊問題【分析】由勾股定理求出，由折疊的性質得出，，，得出，，設，則，在中，由勾股定理得出方程，可求長，由勾股定理可求的長．本題考查了翻折變換的性質，勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．【詳解】解：由折疊可知：，，，在中，由勾股定理得：，，設，則，在中，由勾股定理得：，，，，，35．（22-23八年級下·山西大同·期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點A在的斜邊上，則的值為．

【答案】【知識點】全等三角形綜合問題、利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【分析】根據常見的“手拉手全等模型”，結合勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

因為和都是等腰直角三角形，，即故故答案為：【點睛】本題綜合考查全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用．掌握相關幾何知識是解題的關鍵．36．（23-24八年級下·河北邢臺·期末）《勾股舉隅》為梅文鼎研究中國傳統勾股算術的著作，其中的主要成就是對勾股定理的證明和對勾股算術算法的推廣．書中的證明方法是將4個邊長分別為a、b、c的全等直角三角形拼成如圖1所示的五邊形，然后通過添加輔助線用面積法證明勾股定理．下面是小華給出的相關證明：如圖，延長交①于點G．用兩種不同的方法表示五邊形的面積S：方法一：將五邊形看成是由正方形與，拼成，則②．方法二：將五邊形看成是由③，正方形，，拼成，根據面積相等可以得到④，進而通過化簡驗證得出勾股定理．則下列說法錯誤的是（）A．①代表B．②代表C．③代表正方形D．④代表【答案】C【知識點】勾股定理的證明方法【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，根據題意用兩種方法表示出S，然后根據兩種表示方法表示的S相等，即可得到結論．【詳解】解：如圖所示，延長交于G，方法一：將五邊形看成是由正方形與，拼成，則；方法二：將五邊形看成是由正方形，正方形，，拼成，則，根據面積相等可以得到，即，故C選項錯誤，符合題意．故選：C．37．（23-24八年級下·青海西寧·期末）已知，，將它們按照如圖所示擺放在直線上，使點與點重合，連接，得到的四邊形是梯形．設的三邊分別為，，，請用此圖證明勾股定理．【答案】見解析【知識點】勾股定理的證明方法【分析】本題考查了全等三角形的性質，勾股定理的證明，首先求出，然后利用梯形的面積得到，進而求解即可．【詳解】證明：，，，即．38．（23-24八年級下·云南大理·期末）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間陰影部分是一個小正方形，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若，，則的面積為（

）A．20 B．24 C．36 D．48【答案】B【知識點】以弦圖為背景的計算題【分析】本題考查勾股定理的應用，利用中間小正方形的面積=大正方形的面積個全等的直角三角形的面積，求出即可．【詳解】解：有圖形可得：個全等的直角三角形的面積=大正方形的面積中間小正方形的面積，∴，∴，故選：B．39．（23-24八年級下·山東聊城·期末）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖1中的直角三角形的長直角邊為5，大正方形的面積為29，連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，求圖3中陰影部分的面積【答案】21【知識點】以弦圖為背景的計算題【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型．利用勾股定理，求出，從而得到，再由陰影部分的面積等于大正方形的面積減去空白部分面積，即可求解．【詳解】解：如圖，根據題意得：，，，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為．故答案為：2140．（23-24八年級下·湖北咸寧·期末）如圖，將圖1中的菱形紙片沿對角線裁剪成四個直角三角形，再將裁得的四個直角三角形分別拼成圖2和圖3，圖2中間正方形的面積是13，圖3中間正方形的面積是1，則圖1中菱形的面積是．

【答案】12【知識點】以弦圖為背景的計算題、用勾股定理解三角形、完全平方公式在幾何圖形中的應用【分析】本題考查了菱形，正方形的面積的計算，勾股定理的運用，完全平方公式的運用，掌握勾股定理是解題的關鍵．根據圖1的菱形與圖2中間正方形的面積可得菱形的邊長，設，由此可得圖3中正方形的面積和菱形的面積，根據勾股定理，完全平方公式的運用即可求解．【詳解】解：根據題意，圖1中的菱形，

∴，剪開后是四個全等的直角三角形，拼成了圖2的正方形，

∵圖2中間正方形的面積為，∴中間正方形的邊長為，即菱形的邊長為，設，則，∴圖3中，，圖1中菱形的面積為，∴，∴，∴圖1中菱形的面積為，故答案為：12．41．（23-24八年級下·廣東江門·期末）如圖是“趙爽弦圖”，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，如果，，那么等于．【答案】1【知識點】以弦圖為背景的計算題【分析】此題考查勾股定理．根據勾股定理求得，進而求得的值，即可．【詳解】解：∵，，∴，∵、、和是四個全等的直角三角形，∴，∴．故答案為：1．42．（24-25八年級上·海南海口·期末）把一個邊長為1的正方形如圖所示放在數軸上，以正方形的對角線為半徑畫弧交數軸于點A，則點A對應的數是（

）

A．1 B． C． D．1.5【答案】B【知識點】實數與數軸、勾股定理與無理數【分析】本題考查的是勾股定理的應用、實數與數軸，掌握勾股定理是解題的關鍵．先運用勾股定理求出正方形的對角線長，從而得到的長，即可解答．【詳解】解：根據題意可得，正方形的對角線長為，∴，∴點A對應的數是．故選：B43．（24-25八年級上·四川成都·期末）如圖所示，數軸上的點表示的實數為，以點為圓心，為半徑畫弧交數軸于點，則點表示的數是．【答案】【知識點】勾股定理與無理數、實數與數軸【分析】本題考查實數與數軸，勾股定理．和均為半徑，根據勾股定理求出的長，從而得到點表示的數．【詳解】解：如圖，在中，，，點表示的數為，故答案為：．44．（23-24八年級下·湖北宜昌·期末）如圖，某隧道是一個雙向通車的隧道，隧道的截面是一個半徑為米的半圓形，一輛高米，寬米的卡車能通過該隧道嗎？為什么？【答案】一輛高米，寬米的卡車不能通過該隧道，理由見解析．【知識點】用勾股定理構造圖形解決問題【分析】本題考查了勾股定理．根據題意直接構造直角三角形，進而得出當時，的長，即可得出答案．【詳解】解：不能，如圖所示：當時，，，一輛高米，寬米的卡車不能通過該隧道．45．（23-24八年級下·甘肅武威·期末）如圖，一高層住宅發生火災，消防車立即趕到距大廈8米處（車尾到大廈墻面），升起云梯到火災窗口，已知云梯長17米，云梯底部距地面2米，問：發生火災的住戶窗口距離地面多少米？【答案】17米【知識點】用勾股定理構造圖形解決問題【分析】本題考查利用勾股定理解實際問題，讀懂題意，得到圖形中的相關線段長，在中，由勾股定理求出，數形結合，由代值求解即可得到答案，數形結合，熟練運用勾股定理是解決問題的關鍵．【詳解】解：如圖所示，結合題意，米，米，米，在中，，則由勾股定理可得（米），（米）．46．（23-24八年級下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層建筑的火災現場，執行滅火、疏散等救援任務．如圖，已知云梯最多能伸長到，消防車高．某次任務中，消防車在A處將云梯伸長至最長，消防員從高的處救人后，消防車需到達B處使消防員從24m高的處救人，求消防車從A處向著火的樓房靠近的距離．【答案】【知識點】用勾股定理構造圖形解決問題【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．由勾股定理求出、的長，即可解決問題．【詳解】解：由題意，易得，，A，B，D三點在同一直線上．，，．在中，由勾股定理，得．在中，由勾股定理，得．答：消防車從A處向著火的樓房靠近的距離為．47．（23-24八年級下·廣東惠州·期末）如圖1，一個梯子長為5米，頂端靠在墻上，這時梯子下端與墻角之間的距離是4米，將梯子的底端向方向挪動1米，如圖2，求梯子的頂端向上移動了多少米（即求的長）？【答案】梯子的頂端向上移動了1米．【知識點】求梯子滑落高度(勾股定理的應用)【分析】本題考查了勾股定理的應用．根據勾股定理可得米，在中由勾股定理可得的長，即而可得答案．【詳解】解：由題意可得，米，米，米，在中，，，∴米，答：梯子的頂端向上移動了1米．48．（23-24八年級下·全國·期末）數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央處有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的終點，它的頂端恰好到達池邊的水面．求水的深度和這根蘆葦的長度．【答案】水的深度為12尺，這根蘆葦的長度為13尺．【知識點】求旗桿高度(勾股定理的應用)【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．設這根蘆葦的長度為x尺，則水池的深度為尺．根據勾股定理可得方程，再解即可．【詳解】解：如圖，依題意得，，．∵G為的中點，設這根蘆葦的長度為x尺，則水池的深度為尺．在中，根據勾股定理可得，即解得，．答：水的深度為12尺，這根蘆葦的長度為13尺．49．（23-24八年級下·云南昭通·期末）如圖，在與水平面成角的斜坡上有兩棵一樣高的柳樹，兩棵樹水平距離，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（

）米．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【知識點】求小鳥飛行距離(勾股定理的應用)、含30度角的直角三角形【分析】本題主要考查含角的直角三角形的性質，勾股定理，根據，即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴∵，，∴（負值舍去）∴∴小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了8米故選：C．50．（22-23八年級下·江西贛州·期末）《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？”翻譯成數學問題：如圖，在中，，，，則的長為．【答案】【知識點】求大樹折斷前的高度(勾股定理的應用)【分析】本題考查了勾股定理的應用．熟練掌握勾股定理的應用是解題的關鍵．由勾股定理得，，即，計算求解即可．【詳解】解：由勾股定理得，，即，解得，，故答案為：．51．（23-24八年級下·吉林四平·期末）如圖,一種圓柱形的飲料杯，測得內部底面圓半徑為，杯高，點，點在內部底面圓上，線段經過杯子的內部底面圓心．將吸管一端放在點處，并讓吸管經過點（按如圖所示）放進杯里，要求杯門外面至少要露出長的吸管，問至少需要制作多長的吸管？【答案】至少需要制作長的吸管【知識點】解決水杯中筷子問題(勾股定理的應用)【分析】此題主要考查的是勾股定理的應用．在吸管(杯內部分)、杯底直徑、杯高構成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯內吸管部分的長度，再加上外露部分的長度即可求出吸管的總長．【詳解】解：由題意可知是直角三角形，，，線段為內部底面圓直徑，內部底面圓半徑為，，在中，，解得：或（舍去，不符合題意）答：至少需要制作長的吸管．52．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖、甲、乙兩艘船同時從港口O出發．甲船以9海里/小時的速度向北偏東方向航行，乙船向南偏東方向航行，兩小時后，甲船到達A島，乙船到B島．已知A，B兩島相距30海里，求乙船的速度．

【答案】12海里/小時【知識點】解決航海問題(勾股定理的應用)、求一個數的算術平方根【分析】本題考查了勾股定理的應用，理解題意，運用勾股定理是解題的關鍵．先求得，在中，由勾股定理求出，即可求出速度．【詳解】解：由題意得，，

∴，由題意得，，，∴在中，由勾股定理得，，∴乙船的速度為：海里/小時．53．（23-24八年級下·陜西渭南·期末）為實現核心素養導向的教學目標，走向綜合性、實踐性的課程教學變革，某中學推進項目式學習，組織八年級數學研學小組進行了“測量隧道長度”的項目式學習活動．項目主題測量隧道的長度測量工具測角儀、測距儀等測量示意圖

數據說明，米，米特別說明測量過程中注意保障人身安全！請你根據以上測量結果，計算隧道的長度．【答案】720米【知識點】求河寬(勾股定理的應用)、三角形內角和定理的應用【分析】該題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是讀懂題意．根據題意證明為直角三角形，再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：，，為直角三角形．米，米，（米）．即隧道的長度為720米．54．（23-24八年級下·江西宜春·期末）如圖是臺階的示意圖，若每個臺階的寬度都是，每個臺階的高度都是，連接，則的長度是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求臺階上地毯長度(勾股定理的應用)【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分別求得直角三角形的兩直角邊的長后即可利用勾股定理求得斜邊的長．【詳解】解∶如圖，由題意，得，，，∴，故選：B．55．（23-24八年級下·湖南湘西·期中）學生安全是近幾年社會關注的重大問題，其中交通安全隱患主要是超速．如圖，某校門前一條直線公路建成通車，在該路段限速，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設立了觀測點C，從觀點C測得一小車從點A到達點B行駛了．若測得，，．此車超速了嗎？請說明理由．【答案】此車沒有超速，詳見解析【知識點】判斷汽車是否超速(勾股定理的應用)、等腰三角形的性質和判定、含30度角的直角三角形【分析】此題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，含角直角三角形的性質，過點C作于點H．求出，得到，勾股定理求出，然后得到，，然后求出小車平均速度，然后比較求解即可．【詳解】解：過點C作于點H．∵∴∴，∴∵∴∴是等腰直角三角形∴∴∴小車平均速度而∴此車沒有超速．56．（23-24八年級下·云南曲靖·期末）如圖，某沿海城市接到臺風警報，在該市正南方向的處有一臺風中心正以的速度向方向移動，已知城市到的距離，那么臺風中心經過多長時間從點移到點？【答案】臺風中心經過小時從點移到點．【知識點】用勾股定理解三角形、判斷是否受臺風影響(勾股定理的應用)【分析】本題考查了勾股定理的應用，首先根據勾股定理計算的長，再根據時間路程速度進行計算，解題的關鍵是掌握勾股定理的應用．【詳解】在直角三角形中，根據勾股定理，得，時，，答：臺風中心經過小時從點移到點．57．（23-24八年級下·廣東珠海·期中）如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點相距，C，D為兩村莊，于A，于B．現要在上建一個中轉站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求的長．【答案】的長為【知識點】用勾股定理解三角形、選址使到兩地距離相等(勾股定理的應用)【分析】本題考查的是勾股定理，比較簡單，需要熟練掌握勾股定理的基礎知識．先設，則，再根據勾股定理計算即可得出答案．【詳解】解：設，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以，解得：即的長為．58．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，一個圓柱的高是，底面圓的周長是，一只螞蟻想從下底面的點A處沿圓柱側面爬到上底面的點B處，則螞蟻需要爬行的最短路程是．【答案】15【知識點】求最短路徑(勾股定理的應用)、幾何體展開圖的認識【分析】本題考查了圓柱的側面展開，最短路徑問題，勾股定理，先將圓柱側面展開，再根據兩點之間線段最短可知的長即螞蟻爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可．【詳解】、解：圓柱的展開圖如圖：根據題意，，，，∴，即螞蟻需要爬行的最短路程是，故答案為：15．59．（24-25八年級上·陜西西安·期末）在中，，，，求證：．【答案】見解析【知識點】判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關鍵是判斷三角形三邊是否滿足勾股定理逆定理的條件．通過計算三角形三邊的平方關系，依據勾股定理的逆定理來判斷三角形是否為直角三角形，進而證明的度數．【詳解】證明：中，，，，，為直角三角形，且．60．（23-24八年級下·廣西玉林·期末）如圖，在方格中作以為一邊的，要求點C也在格點上，這樣的能作出（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．7個【答案】C【知識點】圖形上與已知兩點構成直角三角形的點、在網格中判斷直角三角形【分析】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關鍵，當是斜邊時有四個，當是直角邊時有2個．【詳解】解：當是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、D、E、H四個；當是直角邊，A是直角頂點時，第三個頂點是F點；當是直角邊，B是直角頂點時，第三個頂點是G．因而共有6個滿足條件的頂點．故選C．61．（22-23八年級下·四川廣安·期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長都為1，

(1)求四邊形的面積；(2)求的度數．【答案】(1)(2)【知識點】勾股定理與網格問題、在網格中判斷直角三角形、利用網格求三角形面積【分析】本題考查的是利用網格求面積，勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．（1）利用正方形的面積減去四個頂點上三角形及小正方形的面積即可；（2）連接，根據勾股定理的逆定理判斷出的形狀，進而可得出結論．【詳解】（1）解：；（2）解：連接，

，，，∴，．62．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，已知A，B，C是海上的三座小島，島B在島A的北偏東方向上，距離為12海里，島C在島A的北偏東方向上，距離為13海里，島B和島C之間的距離為5海里，則島B在島C的北偏西方向上.【答案】/52度【知識點】根據平行線的性質求角的度數、利用勾股定理的逆定理求解、與方向角有關的計算題【分析】本題主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行線的性質，關鍵是根據勾股定理的逆定理得．先根據勾股定理的逆定理得，再根據方向角的定義和平行線的性質計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作海里，海里，海里，，，，，，，∵，，島在島的北偏西方向上．故答案為：．63．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖，甲船從港口O出發，以16海里/時的速度向北偏西方向航行，乙船同時從港口O出發，沿方向以12海里/時的速度航行，航行1小時后，兩船相距20海里．則乙船航行的方向是（

）A．南偏西方向B．西偏南方向C．西偏南方向 D．西南方向【答案】A【知識點】與方向角有關的計算題、勾股定理逆定理的實際應用【分析】本題考查了勾股定理的應用，方向角，連接，根據題意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，從而得，再利用平角的定義計算，最后根據方向角的概念可得答案．【詳解】解：如圖：連接，由題意得：（海里），（海里），（海里），，∵，即，∴，∴，∴乙船航行的方向是南偏西方向，故選：A．第十八章平行四邊形64．（22-23八年級下·河南新鄉·期末）如圖，在中，對角線相交于點O，，，，則的長為（

）A． B．6 C．7 D．【答案】A【知識點】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質求解【分析】本題考查勾股定理和平行四邊形的性質．先根據勾股定理求出，再根據平行四邊形的性質求出，再利用勾股定理求出．【詳解】解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，故選：A．65．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，在中，點E，F在對角線上，且，求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、利用平行四邊形的性質證明【分析】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，根據平行四邊形的性質，證明，即可得出結論．【詳解】證明：∵，∴，∴．在和中，，∴．∴．66．（23-24八年級下·廣東東莞·期末）為更好地開展勞動教育課程，學校計劃將一塊空地（如圖）修建一條筆直的小路（小路寬度忽略不計）．有兩個要求：經過邊上一點；分成面積相等的兩部分．則小路除了經過點外，還經過（

）A．點 B．的中點C．的中點 D．邊上的點，且【答案】B【知識點】平行四邊形性質的其他應用【分析】本題考查了平行四邊形的性質，根據平行四邊形的性質即可得出答案，熟練掌握平行四邊形的性質是解此題的關鍵．【詳解】解：由平行四邊形的性質結合題意得：小路除了經過點外，還經過的中點，故選：B．67．（23-24八年級下·廣東清遠·期末）如圖，已知四邊形，下列條件能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知識點】判斷能否構成平行四邊形【分析】本題考查了平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定定理逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：A.，，不能判定四邊形為平行四邊形，故該選項不符合題意；

B.，，不能判定四邊形為平行四邊形，故該選項不符合題意；

C.，，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形為平行四邊形，故該選項符合題意；

D.，，不能判定四邊形為平行四邊形，故該選項不符合題意；

故選：C．68．（23-24八年級下·北京順義·期末）如圖所示的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的兩個端點都在格點上，若線段為的一邊，的四個頂點都在正方形網格的格點上，則這樣的平行四邊形的個數為（

）A．3個 B．4個 C．8個 D．11個【答案】D【知識點】數圖形中平行四邊形的個數【分析】本題考查平行四邊形的判定，解題的關鍵掌握平行四邊形的判定定理，屬于中考常考題型．根據平行四邊形的判定定理，即可解決問題．【詳解】解：如圖，都可以成為平行四邊形的頂點，所以這樣的平行四邊形最多可以畫11個，故選：D．69．（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C的坐標是，點A的坐標是，點B不在第一象限，若以點O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點B的坐標是．【答案】或【知識點】坐標與圖形、求與已知三點組成平行四邊形的點的個數、由平移方式確定點的坐標【分析】此題考查了坐標與圖形的性質以及平行四邊形的性質，先建立平面直角坐標第，再分和兩種情況求解即可．【詳解】解：①當，時，如圖：∵點C的坐標是，點A的坐標是，∴，∵點B不在第一象限，∴點B坐標為，即①當，時，如圖：由坐標可知：點向下平移3個單位，向左平移1個單位到點O，∴由坐標可知：點向下平移3個單位，向左平移1個單位到點B，故點B坐標為：即，綜上所述：點B的坐標是或，70．（23-24八年級下·山東臨沂·期末）如圖，在中，點為對角線上一點，連接并延長到點，，則的長為（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【知識點】利用平行四邊形的判定與性質求解、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．過點F作，交于點G，可證明，可得，，再根據平行四邊形的性質可得，，從而得到四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】解：如圖，過點F作，交于點G，∴，∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴．∴．故選：A71．（23-24八年級下·廣東揭陽·期末）如圖，中，點E、F在對角線上，且．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見詳解【知識點】利用平行四邊形性質和判定證明【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定．連接交于，則可知，，又，所以，然后依據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】證明：連接交于，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴．即．∴四邊形為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．72．（24-25八年級下·全國·期末）如圖（1）所示是某校籃球架實物圖，如圖（2）所示是籃球架的側面示意圖，籃板邊側垂直于地面．八年級的“綜合與實踐”數學小組開展測量籃球架籃板高度的實踐活動．在不便于直接測量的情況下，小組設計了如下測量方法：如圖（3）所示，小組成員將竹竿垂直固定在地面上，小明從竹竿上的F點處觀察籃板底部B點，用測角儀測量視線與竹竿的夾角的度數為，接著將觀察點沿著竹竿向上移動到G點，使得從G點觀察籃板頂部A點的視線與竹竿的夾角的度數恰好等于的度數時，在竹竿上標注G點的位置，測量的長度為．活動分享時，小明說：“的長度就是籃板的高度”，你認為小明的說法是否正確，并說明理由．【答案】我認為小明的說法正確，見解析【知識點】平行四邊形性質和判定的應用【分析】本題主要查了平行四邊形的判定和性質，證明四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．根據題意可得，再由，得到，繼而得到四邊形是平行四邊形，即可解答．【詳解】解：我認為小明的說法正確．理由如下：∵，∴．∴．∵，∴．∴四邊形是平行四邊形．∴．∴的長度就是籃板的高度．73．（22-23八年級下·四川達州·期末）如圖，在中，對角線交于點，點是的中點．若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用平行四邊形的性質證明、與三角形中位線有關的求解問題【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線的性質，由平行四邊形的性質可得，進而由點是的中點可得為的中位線，根據三角形中位線的性質即可求解，掌握三角形中位線的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵點是的中點，∴，∴為的中位線，∴，故選B．74．（23-24八年級下·貴州畢節·期末）如圖，在中，，分別是邊，的中點，過點作，且，連接．求證：．

【答案】見解析【知識點】與三角形中位線有關的證明、利用平行四邊形性質和判定證明【分析】本題考查了中位線的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，先由，分別是邊，的中點，得出，且，結合，且，得出，且，證明四邊形是平行四邊形，即可作答．【詳解】證明：∵，分別是邊，的中點，∴，且，∵，且，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴．75．（23-24八年級下·湖南益陽·期末）如圖，A、B兩地是一座山的兩端，為修建高速公路需沿方向修一條隧道，工程測量隊在地面上確定點O，分別取的中點C、D，量得，則A、B之間的距離是m．【答案】1200【知識點】三角形中位線的實際應用【分析】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：點，分別是，的中點，，故答案為：120076．（23-24八年級下·遼寧大連·期末）如圖，四邊形為矩形，過點作交的延長線于點．求證：．【答案】見解析【知識點】利用平行四邊形性質和判定證明、矩形性質理解【分析】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質．由矩形的性質得出，，由，證出四邊形是平行四邊形，得出對邊相等，即可得出結論．【詳解】證明：四邊形是矩形，∴，，∵，四邊形是平行四邊形，，．77．（23-24八年級下·遼寧撫順·期末）如圖，如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：（1）對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．（2）再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕的同時，得到了線段．觀察所得的，和，這三個角之間的關系是．【答案】【知識點】折疊問題、利用矩形的性質求角度、等邊三角形的判定和性質【分析】本題主要考查了矩形的性質，軸對稱的性質，等邊三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．由矩形的性質可得，由軸對稱的性質可得，，，進而可得，于是可證得是等邊三角形，因而可得，然后根據角的和差關系即可得出結論【詳解】解：，理由如下：如圖，連接，四邊形是矩形，，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，，再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段，，，，是等邊三角形，，，，，故答案為：．78．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，為矩形的邊的中點，于點．若，，求的長．【答案】．【知識點】根據矩形的性質求線段長、用勾股定理解三角形【分析】此題主要考查了矩形的性質，勾股定理．連接，求得的面積為，再利用勾股定理求得的長，再利用三角形的面積公式得出答案．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，，，∴矩形的面積為，∵為矩形的邊的中點，∴的面積為，，∴，∵，∴，即，∴．79．（23-24八年級下·河南許昌·期末）如圖，矩形的邊上有一動點，連接，，以，為邊作平行四邊形．在點從點移動到點的過程中，平行四邊形的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【答案】D【知識點】根據矩形的性質求面積、利用平行四邊形的性質求解【分析】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的性質，掌握矩形的性質是解題的關鍵．由矩形的性質可得，由平行四邊形的性質可得，即．【詳解】解：四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，，，故選：D．80．（23-24八年級下·四川自貢·期末）如圖，在矩形中，是的中點，連接，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質和判定、利用矩形的性質證明【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定；（1）結合矩形的性質，證明，即可得證；（2）根據題意得出，是等腰直角三角形，根據，，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，，．，．．（2），，又，是等腰直角三角形，．在矩形中，，是等腰直角三角形．．同理，．在矩形中，，．81．（22-23八年級下·河南南陽·期末）如圖，矩形紙片中，，，將紙片沿折疊，使點C與點A重合，的長為．【答案】3【知識點】矩形與折疊問題、勾股定理與折疊問題【分析】本題考查了翻折變換的性質，矩形的性質，勾股定理．設根據折疊性質與矩形性質，用表示，在中，由勾股定理列出的方程便可求得答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊知，，，∠G=∠D=90°，設則在中，由勾股定理得，，解得，，，故答案為：3．82．（23-24八年級下·北京豐臺·期末）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，則的長為．【答案】/【知識點】利用二次根式的性質化簡、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題【分析】本題主要考查了矩形和圖形的折疊問題，勾股定理．根據矩形和折疊的性質可得，在中，根據勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由折疊的性質得：，在中，，∴．故答案為：83．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖，在直角三角形中，，，，為的中線，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查了勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質，熟練掌握勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質是解題的關鍵．先利用勾股定理算出，再利用直角三角形斜邊中線的性質求出．【詳解】解：∵，，，∴，∵為的中線，∴，故選：C．84．（23-24八年級下·云南德宏·期末）如圖，在中，于點D，，E是的中點，則等于．【答案】/度【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半、等邊對等角、三角形的外角的定義及性質、直角三角形的兩個銳角互余【分析】先由得出，再根據直角三角形兩銳角互余求出的度數，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，算出，最后結合三角形的外角性質作答即可．本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形外角性質，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質．【詳解】解：∵，∴，，在中，，∵E是的中點，∴∴故答案為：85．（23-24八年級下·甘肅隴南·期末）如圖，的對角線相交于點O，請你添加一個條件使成為矩形，這個條件可以是．【答案】（答案不唯一）【知識點】添一條件使四邊形是矩形【分析】本題主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定條件是關鍵．依據矩形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴當時，是為矩形，故答案為∶（答案不唯一）．86．（23-24八年級下·湖北宜昌·期末）如圖，在中，，，，，分別是，，的中點，連接，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)小明連接，交于點，作射線，他說“就是的平分線”，你能說明理由嗎？【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】含30度角的直角三角形、根據三線合一證明、與三角形中位線有關的證明、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、中位線定理以及等腰三角形的性質等知識點，掌握相關結論是解題關鍵．（1）根據題意可得，證四邊形是平行四邊形；結合即可求證；（2）根據題意可得是等腰三角形，結合即可求證；【詳解】（1）證明：，，分別是，，的中點，∴∴四邊形是平行四邊形．又，四邊形是矩形．（2）解：理由：，，．又是的中點，．∴是等腰三角形四邊形是矩形，平分．87．（23-24八年級下·廣東汕頭·期末）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點，點為直線上的兩個動點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)10【知識點】根據矩形的性質與判定求角度、利用平行四邊形性質和判定證明、判斷三邊能否構成直角三角形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，矩形的判定，全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理．（1）先證明得，再結合即可得出結論；（2）先用勾股定理的逆定理證明，得出四邊形是矩形即可．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形在和中又四邊形是平行四邊形；（2），四邊形是平行四邊形四邊形是矩形．88．（23-24八年級下·山東濱州·期末）如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為的中點，則的最小值為．【答案】1.2【知識點】根據矩形的性質與判定求線段長、斜邊的中線等于斜邊的一半、判斷三邊能否構成直角三角形【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性質和判定，直角三角形的性質，先說明是直角三角形，進而得出四邊形是矩形，可知當時，最小，然后根據面積相等得出答案．【詳解】解：連接，如圖．在中，，，，∴，∴是直角三角形，且．∵，∴四邊形是矩形，∴．∵M是的中點，∴．根據直線外一點到直線上任意一點的距離，垂線段最短，即時，最短，同樣最短．，即，∴．故答案為：1.2．89．（22-23八年級下·貴州黔南·期末）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，

(1)求證：；(2)若點E、F分別為線段的中點，連接，，，求的長及四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)6，48【知識點】根據矩形的性質與判定求面積、與三角形中位線有關的求解問題、用勾股定理解三角形【分析】（1）證明四邊形是矩形，即可；（2）根據三角形中位線定理可得，從而得到，再由勾股定理可得的長，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，∴，∴．（2）解：∵點E、F分別為線段的中點，，∴，又∵四邊形是矩形，∴，又，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定和性質，三角形中位線定理，勾股定理是解題的關鍵．90．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖，在菱形中，，對角線交于點，為的中點，連接，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、利用菱形的性質求角度【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理．由菱形的性質求得，，根據三角形中位線定理得到，求得，據此求解即可．【詳解】解：∵在菱形中，，∴，，O為的中點，∵E為的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，故選：B．91．（22-23八年級下·江西贛州·期末）如圖，菱形的對角線、相交于點O，過點D作于點H，連接，，若菱形的面積為，則的長為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半、利用菱形的性質求線段長【分析】由菱形的性質得，，，再求出，然后由菱形面積求出，即可解決問題．本題考查了菱形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵菱形的面積，∴，故答案為：．92．（23-24八年級下·云南德宏·期末）如果菱形的兩條對角線的長分別為a和b，且a，b滿足，那么菱形的面積等于（

）A．5 B．4 C．3 D．【答案】D【知識點】利用菱形的性質求面積、利用算術平方根的非負性解題【分析】本題考查了菱形的性質求面積以及利用算術平方根的非負性解題，先由得出，因為菱形的兩條對角線的長分別為a和b，所以菱形的面積等于，即可作答．【詳解】解：∵∴∴∴∵菱形的兩條對角線的長分別為1和5∴故選：D93．（22-23八年級下·山東濟南·期末）如圖，若O是菱形對角線的交點，作交于點E，試判斷四邊形的形狀？請說明理由．【答案】矩形，理由見解析【知識點】證明四邊形是矩形、利用菱形的性質證明【分析】根據矩形的判定定理，首先可證四邊形是平行四邊形，再由菱形的對角線互相垂直平分可得，即可證明平行四邊形是矩形．此題主要考查了菱形的性質和矩形的判定的綜合運用．【詳解】解：四邊形是矩形．理由：，，四邊形是平行四邊形，又四邊形是菱形，，，平行四邊形是矩形．94．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在中，E、F、D分別是邊上的點，且，在不改變圖形的前提下，請你添加一個條件，使四邊形是菱形，并寫出證明過程．【答案】添加的條件為：（答案不唯一），證明見解析【知識點】添一個條件使四邊形是菱形【分析】本題考查了平行四邊形和菱形的判定，熟練掌握菱形的判定方法是解題關鍵．先根據平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，再根據菱形的判定即可得．【詳解】解∶添加的條件為∶（答案不唯一）證明∶∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．95．（23-24八年級下·北京朝陽·期末）如圖，在矩形中，相交于點O，E為的中點，連接并延長至點F，使，連接．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【知識點】證明四邊形是菱形、利用矩形的性質證明【分析】本題主要考查了菱形的判定，矩形的性質，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形先證明四邊形是平行四邊形，再由矩形對角線相等且互相平分得到，由此即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：∵E為的中點，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是菱形．96．（23-24八年級下·四川綿陽·期末）如圖，在中，與交于點，點為中點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據菱形的性質與判定求角度、根據等角對等邊證明邊相等【分析】此題考查了菱形的性質和判定，等角對等邊等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．根據等角對等邊和中點的概念得到，然后求出，證明出是菱形，然后利用菱形的性質求解即可．【詳解】∵∴∵點為中點∴∴∴∵∴∴∴∴是菱形，∴故選：D．97．（23-24八年級下·廣東云浮·期末）如圖，矩形的對角線、相交于點O，，．若，則四邊形的周長為．【答案】8【知識點】根據菱形的性質與判定求線段長、根據矩形的性質求線段長【分析】本題考查了矩形的性質，菱形的判定和性質，靈活運用這些性質進行推理是解題的關鍵．由矩形的性質可得，通過證明四邊形是菱形，可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴四邊形的周長，故答案為：8．98．（23-24八年級下·廣西百色·期末）如圖，在四邊形中，對角線交于點O，．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識點】根據菱形的性質與判定求面積、用勾股定理解三角形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用二次根式的性質化簡【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質：（1）證明，即可求證；（2）先證明四邊形是菱形，再根據勾股定理可得，然后根據菱形的面積公式計算，即可求解．【詳解】（1）證明：在和中，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴四邊形的面積為．99．（23-24八年級下·福建廈門·期末）如圖，四邊形是正方形，直線l是正方形的一條對稱軸，E是邊的中點，F是邊的中點，點G在邊上，且，則點E關于直線l的對稱點可能是（）A．點C B．點D C．點F D．點G【答案】C【知識點】畫對稱軸、正方形性質理解【分析】本題主要考查了正方形的對稱性，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．畫出正方形的對稱軸，根據圖象即可判斷求解．【詳解】如圖，正方形有4條對稱軸，由圖可知，E關于直線l的對稱點可能是點，故選：C．100．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖，在正方形外側作等邊，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】等邊三角形的性質、根據正方形的性質求角度【分析】此題主要考查了正方形和等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握它們的性質是解題的關鍵；由四邊形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：四邊形是正方形，，，又是正三角形，，，是等腰三角形，，．故選：C．101．（23-24八年級下·甘肅隴南·期末）如圖，正方形的邊長為6，點為上一點，連接，過點作的垂線交于點，連接．若，則的長為（

）A．8 B． C． D．【答案】C【知識點】根據正方形的性質求線段長、用勾股定理解三角形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理．由可證，可得，由勾股定理可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，故選：C．102．（23-24八年級下·全國·期末）四邊形具有不穩定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內角度數發生變化時，其形狀也會隨之改變．如圖，改變正方形的內角，正方形變為菱形．若，則菱形的面積與正方形的面積之比是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【知識點】含30度角的直角三角形、根據正方形的性質求面積【分析】該題主要考查了角直角三角形的性質，菱形和正方形的面積，解題的關鍵是得出菱形的高等于的一半．根據角所對的直角邊等于斜邊的一半可知菱形的高等于的一半，再根據正方形的面積公式和平行四邊形的面積公式即可得解．【詳解】解：如圖，過點作，∵，∴，∴菱形的面積為，正方形的面積為．∴菱形的面積與正方形的面積之比是．故選：B．103．（22-23八年級下·山東煙臺·期末）如圖，將正方形紙片折疊，為折痕，點落在對角線上的點處，則的度數為．

【答案】【知識點】正方形折疊問題、直角三角形的兩個銳角互余【分析】先由正方形的性質得到，再由折疊的性質可得，則可得．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質可得，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，直角三角形的性質，靈活運用所學知識是解題的關鍵．104．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，四邊形是正方形，點在的延長線上，且，是上一點，連接，作交射線于點．(1)如圖①，連接，當時，判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，當時，寫出線段之間的數量關系，并證明．【答案】(1)等腰直角三角形，見解析(2)，見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定、根據正方形的性質證明【分析】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）連接，根據題意得到，可證明，即可得到結論；（2），過點作，交于點，得到，可證明，得到，即可得到．【詳解】（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：如圖，連接．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，即，在和中，，，，，是等腰直角三角形；（2）解：，如圖，過點作，交于點，則，由（1）得，，，，在中，．由（1）得，，同（1）得，在和中，，，，．105．（21-22八年級下·海南省直轄縣級單位·期末）在矩形中，，，對角線與相交于點，要使得矩形是正方形，則還需要增加的一個條件是（填一個即可）．【答案】（答案不唯一）【知識點】添一個條件使四邊形是正方形【分析】本題考查了添一個條件使四邊形是正方形，熟練掌握正方形的判定方法是解題的關鍵．根據正方形的判定方法即可直接作答．【詳解】解：由正方形的判定方法可知：要使得矩形是正方形，則還需要增加的一個條件是：（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．106．（23-24八年級下·山東淄博·期末）小剛在學習了正方形之后，給同桌小宇提出了一個問題.如圖，在中，連接對角線，，請從下列四個條件：①；②；③；④中選兩個作為補充條件，使為正方形，并給予證明請你完成小剛給小宇提出的這個問題(1)你選擇的兩個補充條件是______（只填寫一種所選兩個補充條件的序號）；(2)請用（1）中你所選的兩個補充條件作為已知條件，證明為正方形【答案】(1)①②（答案不唯一）(2)見詳解【知識點】證明四邊形是正方形、添一個條件使四邊形是菱形、利用平行四邊形的性質求解【分析】此題主要考查了正方形的判定以及平行四邊形的性質、菱形的判定方法，正確掌握正方形的判定方法是解題關鍵．（1）依題意：選擇的兩個補充條件是①②；（2）先證明平行四邊形是菱形，結合，即可作答．【詳解】（1）解：依題意：選擇的兩個補充條件是①②；（答案不唯一）（2）解：四邊形是平行四邊形，∵∴平行四邊形是菱形，∵∴菱形是正方形，107．（23-24八年級下·湖南益陽·期末）小智根據四邊形的不穩定性制作了一個探究特殊四邊形的學具，他用四根長度相同的木條在兩端用螺栓兩兩連接，構成一個可以活動的四邊形．他先將學具成為圖1所示的四邊形，并測得，對角線，再將學具成為圖2所示四邊形，并測得，則圖2中對角線的長為（

）A．20cm B．40cm C． D．【答案】C【知識點】根據正方形的性質與判定求線段長、根據菱形的性質與判定求角度、用勾股定理解三角形、等邊三角形的判定和性質【分析】本題考查了菱形的判定和性質，正方形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，掌握特殊四邊形的性質是關鍵．連接、，由題意可知，圖1中四邊形是菱形，圖2中四邊形是正方形，進而證明是等邊三角形，得出，再根據勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，連接、，由題意可知，圖1中四邊形是菱形，圖2中四邊形是正方形，，，是等邊三角形，，，在中，，故選：C．108．（23-24八年級下·山西呂梁·期末）如圖，正方形的周長為，順次連接正方形各邊中點、、、，得到四邊形的面積等于．

【答案】【知識點】根據正方形的性質與判定求面積、與三角形中位線有關的證明、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了正方形的性質，三角形的中位線的判定及性質的運用，勾股定理的運用，解答時利用三角形的中位線的性質求解是關鍵．連接，，根據三角形的中位線的性質，可以得出四邊形為正方形，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】解：連接，，

∵點、、、是正方形各邊的中點，∴是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴，，，，又∵，∴，∴四邊形是菱形，又∵，，，∴，∴四邊形是正方形∵正方形的周長為，，∴，在中，由勾股定理，得，，∴∴四邊形的面積．故答案為：．109．（21-22八年級下·河北保定·期末）如圖，在中，點D，E，F分別是的中點，連接．(1)試猜想四邊形的形狀，并說明理由．(2)若，試判斷線段與的關系，并說明理由．【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)，，見解析【知識點】根據正方形的性質與判定證明、與三角形中位線有關的證明、證明四邊形是平行四邊形【分析】（1）根據中位線定理，可以得出，，即可證明猜想；（2）證明四邊形為正方形，即可得出結論．【詳解】（1）解：猜想四邊形是平行四邊形，理由如下，∵點D，E，F分別是的中點∴是的中位線∴，∴四邊形是平行四邊形（2）解：，理由如下，∵，點E，F分別是的中點，∴∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形為菱形，又∵∴為正方形∴，【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，正方形的判定和性質，熟練掌握性質是本題的關鍵．110．（23-24八年級下·河南新鄉·期末）如圖，點E，