第一章豐富的圖形世界知識要點

1、幾何圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

2、點、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

3、生活中的立體圖形

廠圓柱

「柱Y

生活中的立體圖形T球匚棱柱：三棱柱、四棱柱（長方體、正方體）、五棱柱、……

（按名稱分）匚徘，圓錐

［棱錐

球體：由球面圍成的（球面是曲面）

圓柱：圓柱的表面展開圖是由兩個相同的圓形和一個長方形連成。

圓錐：圓錐的表面展開圖是由一個圓形和一個扇形連成。

4、棱柱及其有關概念：

棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線，都叫做棱。

側棱：相鄰兩個側面的交線叫做側棱。

棱柱的上、下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方形

根據底面圖形的邊數，人們將棱柱分為三極柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底而圖形的

形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……

長方體和正方體都是四棱柱。

n棱柱有兩個底面，n個側而，共（n+2）個面：3n條棱，n條例棱；2n個頂點。

3-3型：1種

6、截一個正方體：用一個平面去截一個正方體，截出的面可能是三角形，四邊形，五邊形，六

邊形。

7、三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

第二章有理數及其運算知識點總結

1、有理數的分類正整數（自然數）

，正數1'正整數

r整,.正分數

數負鬃數飛

理<

有理數<

正分數1「負整數

、負數.L負分數

2、數軸：規定了原點、正方向和單徼長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的

三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數形結合的思想，并能靈活運用。

I）任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示

2）在數軸上表示的兩個數“右邊的數總比左邊的數大

3）正數都大于0,負數都小于0：正.數大于一切，負數；

3、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零

.1）數a的相反數是-a（a是任意一個有理,數）

2）0的相反數是0.

3）若a、b互為相反數，則a+b=0.

4、倒數：如果a與b互為倒數，則有ab=l,反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零

沒有倒數。

5、絕對值：在數釉上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。數a的絕對

值記作IaI

1）對任何有理數a,總有IaI>0.

2）零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數,若|a|=a,則淪0：若|a|=-a,則延0。

3）若a>0,則Ia|=a;若a<0.則IaI=-a;若a=0,則IaI=0;

6、有理數比較大小：1）正數大于零，負數小于.零，正數大于一切負數；

2）數軸上的兩個點所.表示的數，右邊的總比左邊的大：

3）兩個負數，絕對值大的反而小。

7、有理數的運算：

（1）五種運算：力n、減、乘、除、乘方

（2）有理數的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先律括號里面的，對只含乘除，

或只含加減的運算，應從左往右運算。

.（3）運算法則

1）有理數加法法則

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

,②界號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對

值：互為相反數的兩數相加得0：

2.）有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數.即a-b=a+（-b）

3）有理數的乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數同

0相乘，都得0.

①.幾個不等于0的數相乘，枳的符號由負因數的個教.決定，當負因數有奇數個時,

積為負；當因數有偶數個時，積為正.

2

②幾個數相乘，有一個因數為0,積就為0.

4府理數除法法則①除以一個數等于乘上這個數的倒數；

②兩數相除同號得正，異號得負，并把絕對值相除;0除以任何一個不等于0的數,

都得0.

5而理教的秉方

正數的任何次察都是正數；負數的奇次察是負數，負數的偶次幕是正數.

（4）運算律

加法交換律a+6=b+a

加法結合律（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交換律ab=ba

乘法結合律（ab）c=a（bc）

乘法對加法的分配律a（b+c）=ab+ac

《第三章整式及其加減》知識歸納

I.字母表示數

1）字母表示運算律.

2）字母表示計算公式；字母可以表示任何數.

2.代數式

I）概念：像4+3（x-l）,x+x+（x+1）,a+b,ab,2（m+n）,s/t等式子都是代數式，單獨?個數或?個

字母也是代數式，如-5,a,b等.

2）書寫要求：①字母與字母相乘時，乘號通常簡寫作“”或省略不寫；數字與字母相乘時，數字

在前；帶分數與字母相乘時，應先把帶分數化成假分數后再與字母相乘：數字與數字相乘仍用

“X”

②除法一般寫成分數形式

③如果代數式是積或商的形式，單位直接寫在后面；如果是和或差的形式，必須先把代數式用

括號括起來再寫單位。

3.整式

1）單項式：表示數字和字母的積，單獨的一個數或一個字母也是單項式.

①系數：單項式中的數字因數（包括其前面的符號）.

②次數：單項式中，所有字母的指數的和；單獨的數字是0次單項式.

注意：（I）單項式中數與字母之間都是乘積關系，凡字母出現在分母中的式子一定不是單項式,

如1/x不是單項式：（2）單項式中不含加減運算：（3）幾是常數，在單項式中相當于數字因數:

（4）定義中的“數”可以是小數，也可以是分數、整數.

2）多項式：兒個單項式的和：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫常數

3

項；一個多項式含有兒項，就叫幾項式；

次數：多項式里，次數最高項的次數，是多項式的次數；注意：（1）確定多項式的項時，不

要忽略它的符號；（2）關于某個字母的n次m項式，要求是合并同類項后的最簡多項式.

3）整式：單項式和多項式統稱為整式.

4）同類項：①概念：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項：與它們的系數大小無

關，與字母順序無關：幾個常數也是同類項.

②合并同類項法則：同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變.

4整式的加減:

1）整式加減是求幾個整式的和或差的運算，其實質是去括號，合并同類項

2）法則：幾個整式相加減，用拈號把每一個整式括起來，再用加減號連接，然后去括號，合并

同類項.

3）化簡求值：一是相加減化簡，二是用具體數值代替整式中的字母，三是按式子的運算關系計

算，計算其結果.

第四章基本平面圖形知識梳理（北師大七年級上冊）

一、知識梳理：

1、線段：繃緊的琴弦，人行橫道線都可以近似的看做線段，線段有兩個端點，可以

度量；射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線，射線有一個端點，不可度

量；

直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線，直線沒有端點，不可度量.

2.點、直線、射線和線段的表示：

一個點可以用一個大寫字母表示；A

一條直線可以用一個小寫字母表示或用直線上兩個點的大寫字母表示：

一條射線一般用兩個大寫字母表示，用端點和射線上另一點來表示（端點字母寫在

前面）；

一條線段可以用一個小寫字母表示或用它的端點的兩個大寫字母來表示.

3.點和直線的位置關系有兩種：①點在直線上，或者說直線經過這個點；

②點在直線外，或者說直線不經過這個點.

4、直線的性質：

①經過兩個點有且只有一條直線（兩點確定一條直線）；

②過一點的直線有無數條.

5、線段的性質：

4

①兩點之間的所有連線中，線段最短（兩點間線段最短）.

②兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離.

③線段的中點到兩端點的距離相等。（線段上點M把線段AB分成相等的兩條相等的

線段AM與BM,點M叫做線段AB的中點.

6、角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角

的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊。或：角也可以看成是一條射線繞著它的端

點旋轉而成的。

7、角的分類：

平角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做

平角；

周角：一條射線繞著它的端點旋轉一周，終邊與始邊重合時，所形成的角叫做周角.

8、角的表示：

①用一個大寫英文字表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如NB等：

②用三個大寫英文字母表示任一個角，如NBAD,ZBAE,ZCAE等（注意：用三個

大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側）；

③用數字表示單獨的角，如/I,Z2,N3等；

④用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如Na,NB,Zy,N。等.

9、角的度量：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用”

表示，1度記作1°;

把廣的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作1'；

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作1”.

換算：1°=60',V=60"

直角三角板（45°,45°,90°,30°,600,900）可畫出

15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等，都是15的倍數。

10、角的性質:

①角的大小與邊的長短無關；

②角的大小可以度量，可以比較；

③角可以參與運算.

例：8點15分時，時針與分針的夾角是多少度？

5

解析一：8點15分記作8DC11時，夾角為：8?30-15?6=157.544

解析二：由于時針與分針每分鐘差5.5°,故夾角為：8?30-15?5.5=157.5

若結果大于180°,另一角度用360°減這個角度。

11、角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，

這條射線叫做這個角的平分線.

12、多邊形：由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形，

叫做多邊形。

從一個邊形的同一個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個n邊

形分割成(n-2)個三角形。

過n邊形一個頂點有(n-3)條對角線，n邊形共n(n-3)條對角線.2

15、圓：平面上一條線段繞著固定的一個端點旋轉一周，另一個端點形成的圖形叫

做圓，固定的端點稱為圓心；

弧：圓上A、B兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

扇形：由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。

圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角。

《第五章一元一次方程》知識歸納

(一)、方程的有關概念

1.方程：含有未知數的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個未知數(元)x,未知數x的指數都是1(次)，這樣的方程叫做一

元一次方程.

例如：1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.

3.方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解.

注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實質上是求得的結果，它是一個數

值(或幾個數值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程.⑵方程的解的

檢驗方法，首先把未知數的值分別代入方程的左、右兩邊計算它們的值，其次比較兩邊的

值是否相等從而得出結論.

(二)、等式的性質

等式的性質(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個數(或式子)，結果仍相等.

等式的性質(1)用式子形式表示為：如果a=b,那么a±c=b±c

等式的性質(2)：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等，等式的性

6

質（2）用式子形式表示為：如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（c#））,那么q=2.

cc

（三）、移項法則：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.

（四）、去括號法則

I.括號外的因數是正數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同.

2.括號外的因數是負數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號改變.

（五）、解方程的一般步臊

1.去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數）.

2.去括號（按去括號法則和分配律）.

3.移項（把含有未知數的項移到方程一邊，其他項都移到方程的另一邊，移項要變號）.

4.合并（把方程化成ax=b（a，O）形式）

5.系數化為1（在方程兩邊都除以未知數的系數a,得到方程的解x=，.

一、列一元一次方程解應用題的一般步驟

（1）審題：弄清題意.

（2）找出等量關系：找出能夠表示本題含義的相等關系.

（3）設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找

出的等量關系列出方程.

（4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值.

（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫

出答案.

二、一元一次方程的實際應用

I.和、差、倍、分問題：增長量=原有量x增長率現在量=原有量+增長量

（1）倍數關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾,增長率……”

來體現.

（2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現.

2.等積變形問題：（1）“等積變形”是以形狀改變而體積不變為前提.常用等量關系為：①

形狀面枳變了，周氏沒變；②原料體積=成品體積.

（2）常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變.①圓柱體

2

的體積公式V二底面積乂高=541=111'

②長方體的體積V=Kx寬＞：高=28

3.工程問題：

工程問題：工作量=工作效率x工作時間

7

完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1

4.行程問題：

路程=速度x時間時間=路程+速度速度=路程+時間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順水（風）速度=靜水（風）速度+水流（風）速度

逆水（風）速度=靜水（風）速度一水流（風）速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關系.

5.商品銷售問題

（1）商品利潤率=商品利潤/商品成本價xlOO%

（2）商品銷售額=商品銷售價x商品銷售量

（3）商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）x銷售量

（4）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價

的80%出售.有關關系式：商品售價=商品標價x折扣率

（5）商品利潤=商品售價一商品進價=而品標價x折扣率一商品進價

6.儲蓄問題

⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存

入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅

⑵利息=本金x利率x期數本息和二本金+利息利息稅=利息x稅率（20%）

（3）利潤=每個期數內的利息/本金x100%

7.數字問題

（1）要搞清筵數的表示方法：一般可設個位數字為a