第03講認識有理數（11個知識點+7種題型+過關檢測）知識點1：具有相反意義的量1.定義?在生活中存在各種各樣的量，其中有一類量，它們的屬性相同(即同類量)，但表示的意義卻相反，我們把這樣的量叫做具有相反意義的量.特別提醒：具有相反意義的量的“兩要素”：(1)具有相反意義的量是成對出現的，單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數量一定相等.2.用正數、負數表示具有相反意義的量為了更好地區分這些具有相反意義的量，若我們把其中一種意義的量用正數表示，則與它具有相反意義的量就可以用負數表示.特別提醒：用正數、負數表示具有相反意義的量時，一般地，向指定趨勢變化用正數表示，向指定趨勢的相反趨勢變化用負數表示.知識點2：正數、負數的定義1.定義正數：像2%,4,3.5這樣大于0的數叫做正數.有時,為了明確表達意義,在正數的前面加上“+”(正)號.如+2,+0.7。負數:像-3,-2.7%,-4.5這樣在正數前加上符號“-”(負)的數叫做負數注意：0既不是正數，也不是負數.數的符號?一個數前面的“+”“－”號叫做它的符號，其中“+”號可以省略不寫，而“－”號不能省略不寫.3.符號“+”“－”的雙重含義(1)作為運算符號是加減號；(2)作為性質符號是正負號.特別解讀1.正數的實質是大于0的數，它可以帶著“+”(正)號，也可以省略“+”號.2.負數就是在正數的前面加上“-”號的數.3.正數與負數的特征：(1)不為0；(2)含“+”“－”號.知識點3：有理數1.整數正整數、0、負整數統稱為整數,如-3,-2,0,1,2,3等2.分數正分數、負分數統稱為分數,如+1-,0.18,-1.35,-分數都可以化為有限小數或無限循環小數的形式,同時有限小數和限循環小數又都可以化為分數.無限不循環小數不能轉化成分數.3.有理數整數和分數統稱為有理數，“有理數都可以寫成分數的形式，4.幾個常用數學名詞的含義(1)正整數:既是正數,又是整數的數(2)負整數:既是負數,又是整數的數(3)正分數:既是正數,又是分數的數(4)負分數:既是負數,又是分數的數(5)非負數:正數和0.(6)非正數:負數和0.(7)非負整數(也叫自然數):正整數和0.(8)非正整數:負整數和0.(9)正有理數:正整數和正分數(10)負有理數:負整數和負分數(11)非正有理數:0、負整數和負分數(12)非負有理數:0、正整數和正分數特別提醒1.非負整數是在整數范圍內取非負數，包括正整數和0.2.引入負數后，奇數和偶數的范圍也相應地擴大了.奇數和偶數也可以是負數.3.自然數包括0和正整數.知識點4：有理數的分類1.有理數的分類：特別警示1.不管按什么標準分類，最終都將有理數分為五類：正整數、0、負整數、正分數、負分數.2.正有理數都是正數，但正數不一定都是正有理數.2.有理數分類的三原則(1)分類不重復：所分的各類應當互不包含.(2)分類無遺漏：所分各類之“和”必須是原來的全部.(3)標準要統一：必須按同一分類標準進行分類.知識點5：相反數1.定義只有符號不同的兩個數互為相反數；0的相反數是0.要點詮釋：（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反數是0”是相反數定義的一部分，不能漏掉.（3）相反數是成對出現的，單獨一個數不能說是相反數.（4）求一個數的相反數，只要在它的前面添上“-”號即可.2.相反數的性質（1）互為相反數的兩數的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等（這兩個點關于原點對稱）.（2）互為相反數的兩數和為0.知識點6：絕對值的意義1.定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.要點分析：（1）絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．即對于任何有理數a都有：（2）絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越?。?）一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的．知識點7：絕對值的性質1.性質：絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0．2.求法（1）0除外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數．（2）互為相反數的兩個數（0除外）的絕對值相等.（3）絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0．知識點8：比較有理數的大小兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下：兩數同號同為正號：絕對值大的數大同為負號：絕對值大的反而小兩數異號正數大于負數－數為0正數與0：正數大于0負數與0：負數小于0要點分析：利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟：（1）分別計算兩數的絕對值；（2）比較絕對值的大小；（3）判定兩數的大?。R點9：數軸（重點）定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.要點歸納：（1）原點、正方向和單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可.（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據需要選取的代表“1”的線段，而長度單位是為度量線段的長度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．（3）原點、正方向、單位長度可以根據實際靈活選定，但一經選定就不能改動．知識點10：數軸上的點與有理數的關系（重點）數軸與有理數的關系：任何一個有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都表示有理教，還可以表示其他數，比如.要點歸納：（1）一般地，數軸上原點右邊的點表示正數，左邊的點表示負數；反過來也對，即正數用數軸上原點右邊的點表示，負數用原點左邊的點表示，零用原點表示.（2）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.知識點11：數軸法比較有理數的大小在數軸上表示出兩個有理數，左邊的數總比右邊的數小．如：a與b在數軸上的位置如圖所示，則a＜b．一．正數和負數（共5小題）1．（2023秋?大化縣月考）商店賣出一瓶水收入2元，可表示為元；則購水花費20元記為A．20 B． C． D．2．（2023秋?科左中旗期末）一次社會調查中，某小組了解到某種品牌的薯片包裝上注明凈含量為，則下列同類產品中凈含量不符合標準的是A． B． C． D．3．（2023秋?興隆縣期末）某品牌酸奶外包裝上標明“凈含量：”．隨機抽取四種口味的這種酸奶分別稱重如下表．其中，凈含量不合格的是種類原味草莓味香草味巧克力味凈含量295300310305A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味4．（2023秋?鎮江期末）下表是小辰的媽媽元旦當天的微信零錢收支明細（單位：元）微信轉賬如意水果店微信紅包便民菜場觀察表格信息，可知小辰的媽媽元旦當晚微信零錢余額和前一天相比A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了93元5．（2024?青秀區校級開學）如果向東走，記作，那么向西走，記作．二．有理數（共9小題）6．（2024?廣西模擬）下列四個數中，屬于負整數的是A． B． C．0 D．67．（2023秋?涼山州期末）A．是負數，不是分數 B．不是分數，是有理數 C．是負數，也是分數 D．是分數，不是有理數8．（2024?重慶模擬）在，，0，這四個數中，屬于負整數的是A． B． C．0 D．9．（2023秋?倉山區期末）定義：有序有理數，滿足，則稱有序有理數，為“共生有序有理數”．若有序有理數，是“共生有序有理數”，則下列各組有序有理數組合中一定屬于“共生有序有理數”的是A．， B．， C．， D．，10．（2023秋?廣陽區期末）下列說法正確的是A．所有的整數都是正數 B．整數和分數統稱有理數 C．0是最小的有理數 D．零既可以是正整數，也可以是負整數11．（2023秋?梁山縣期末）在3.14，，0，，0.1010010001中有理數的個數有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2024春?綏棱縣期末）既不是正數，也不是負數，它是正數與負數的分界線．13．（2023秋?涼州區校級期末）把下列各數填到相應的集合中．1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，．正數集合：；負數集合：；整數集合：；分數集合：．14．（2023秋?平陰縣期末）請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里．1，0.0708，，，0，3.14，，．正有理數集合：，負整數集合：，正分數集合：，非負整數集合：．三．數軸（共12小題）15．（2023秋?沈北新區期末）一名同學畫了四條數軸，只有一個正確，你認為正確的是A． B． C． D．16．（2024?欽州二模）如圖，在數軸上，手掌遮擋住的點表示的數可能是A．0.5 B． C． D．17．（2023秋?新賓縣期末）若數軸上的點表示的數是，則與點相距5個單位長度的點表示的數是A． B． C．3或 D．或718．（2023秋?南明區期末）數軸上點表示，點表示3，則、兩點間的距離是A． B． C．7 D．119．（2024春?同安區期中）如圖，半徑為1個單位長度的圓從點沿數軸向右滾動（無滑動）兩周到達點，則點表示的數是A． B． C． D．20．（2024?海珠區校級二模）數軸上的點距原點5個單位長度，將點向右移動3個單位長度至點，則點表示的數是A．8 B．2 C．或2 D．8或21．（2023秋?南平期末）數軸上的點到原點的距離是4，則點表示的數為．22．（2024?興慶區校級一模）在一條可以折疊的數軸上，，表示的數分別是，4，如圖，以點為折點，將此數軸向右對折，若點在點的右邊，且，則點表示的數是．23．（2023秋?西城區校級期末）對于數軸上的點，線段，給出如下定義：為線段上任意一點，如果，兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為點，線段的“近距”，記作（點，線段；如果，兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點，線段的“遠距”，記作（點，線段．特別的，若點與點重合，則，兩點間距離為0．已知點表示的數為，點表示的數為3．例如，若點表示的數為5，則（點，線段，（點，線段．（1）若點表示的數為，則（點，線段，（點，線段；（2）若點表示數為，點表示數為．（點，線段是（點，線段的4倍，求的值．24．（2023秋?蒲城縣期末）已知數軸上表示的點到原點的距離為6，表示的點在原點的左側，求的值．25．（2024春?曲沃縣期末）綜合與探究已知，數軸上三點，，對應的數分別為，0，1，點為數軸上任意一點，其對應的數為．（1）的長為，的長為；（2）若，求的值；（3）數軸上，如果動點從點出發，以每秒1個單位的速度沿數軸正方向運動；同時動點和分別從點和點出發，分別以每秒3個單位和每秒2個單位的速度也沿數軸正方向運動．當點到點的距離等于點到點的距離時，直接寫出點所表示的數．26．（2023秋?鋼城區期末）郵遞員從郵局出發，先向西騎行到達村，繼續騎行到達村，然后向東行騎行到達村，最后回到郵局．（1）如圖，請在以郵局為原點，向東為正方向，為1個單位長度的數軸上表示出、、三個村莊的位置；（2）村離村有多遠？（3）郵遞員一共行駛了多少千米？四．相反數（共12小題）27．（2024春?薩爾圖區校級期末）若與2互為相反數，則．28．（2024春?固始縣期末）的相反數是．29．（2023秋?椒江區校級期末）若與互為相反數，那么．30．（2023秋?德化縣校級月考）化簡下列各數：①；②；③；④．31．（2024?思明區校級二模）的相反數是A．2 B． C． D．32．（2024?九臺區三模）下列各對數中，互為相反數的是A．和 B．和 C．和 D．和33．（2024?鹽城二模）如果與1互為相反數，那么A．2 B． C．1 D．34．（2024?惠州模擬）2024年央視春晚主題、主標識近日正式發布，本次龍年春晚主題為“龍行龖龖dá，欣欣家國”，請問2024的相反數是A． B． C．2024 D．35．（2024?旬陽市開學）如果一個數的相反數等于它本身，那么這個數是．36．（2023秋?銅川期末）如圖，數軸上，兩點表示的數是互為相反數，且點與點之間的距離為4個單位長度，則點表示的數是．37．（2023秋?珠海校級月考）已知與互為相反數，求的值．38．（2023秋?疏勒縣期中）如圖，圖中數軸的單位長度為1．請回答下列問題：（1）如果點、表示的數是互為相反數，那么點表示的數是多少？（2）如果點、表示的數是互為相反數，那么點、表示的數是多少？五．絕對值（共13小題）39．（2024?邗江區一模）絕對值等于2的數是A． B． C．2 D．40．（2023秋?撫州期末）適合的整數的值有A．4個 B．5個 C．7個 D．9個41．（2023秋?德化縣期末）下列說法正確的是A．有理數的絕對值一定是正數 B．如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等 C．如果一個數是正數，那么這個數的絕對值是它本身 D．如果一個數的絕對值是它本身，那么這個數是正數42．（2023秋?平泉市期末）若，則．43．（2023秋?青羊區校級期末）已知數，，在數軸上的位置如圖所示，且，化簡．44．（2023秋?長壽區期末）數，在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡．45．（2024春?楊浦區校級期末）的最小值．46．（2023秋?和平區校級期末）有理數，，在數軸上表示的點如圖所示，化簡．47．（2024?芝罘區一模）已知，則．48．（2023秋?鄆城縣校級月考）探索規律題試用“”、“”或“”填空：；；；；．49．（2023秋?余干縣期末）有理數、、在數軸上的位置如圖：（1）判斷正負，用“”或“”填空：0，0，0．（2）化簡：．50．（2023秋?天河區期末）我們記一對有理數，為數對．如果數對使等式成立，則稱之為“有趣數對”．（1）如果數對是“有趣數對”，那么是“有趣數對”嗎？請說明理由；（2）如果數對是“有趣數對”，求的值；（3）如果和互為相反數，那么是“有趣數對”嗎？請說明理由．51．（2023秋?閩侯縣期末）閱讀下列材料：，即當時，，當時，，運用以上結論解決下面問題：（1）已知，是有理數，當時，則；（2）已知，，是有理數，當時，求的值；（3）已知，，是有理數，，且，求的值．六．非負數的性質：絕對值（共3小題）52．（2023秋?潁泉區校級月考）若，求的值．53．（2023秋?涼州區期末）若與互為相反數，求的值．54．（2023秋?確山縣期末）請根據圖示的對話解答下列問題．（1），．（2）已知，求的值．七．有理數大小比較（共6小題）55．（2023秋?射陽縣期末）在數軸上表示下列各數，并比較它們的大?。?，，，0，2.5，．56．（2023秋?東莞市校級期末）有理數、、在數軸上的位置如圖．（1）用“”或“”填空：0，0，0．（2）化簡：．57．（2023秋?南關區校級月考）已知有理數，，在數軸上的位置如圖所示，（1）分別判斷以下式子的符號（填“”或“”或“”0；0；（2）化簡：．58．（2023秋?仙居縣期末）如圖的數軸上，每小格的寬度相等．（1）填空：數軸上點表示的數是，點表示的數是．（2）點表示的數是，點表示的數是，請在數軸上分別畫出點和點的位置．（3）將，，，四個點所表示的數按從大到小的順序排列，用“”連接．59．（2023秋?遂川縣期末）有理數，，在數軸上的位置如圖所示．（1）填空：；0；0；（填“”，“”或“”（2）化簡：．60．（2024春?東坡區期末）有理數、、在數軸上的位置如圖：（1）請用“”比較、、、四個數的大小為．（2）化簡：．一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?湖北期末）中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．若把氣溫為零上記作，則表示氣溫為A．零上 B．零下 C．零上 D．零下2．（2023秋?荔灣區期末）有四個數，其中最小的是A．4 B． C． D．03．（2024?江海區一模）、是數軸上兩點，在線段上的點表示的數中，有互為相反數的是A． B． C． D．4．（2023秋?康縣期末）下列說法：①符號相反的數互為相反數；②一定是一個負數；③正整數、負整數統稱為整數；④一個數的絕對值越大，表示它的點在數軸上離原點越遠；⑤當時，總是大于0，正確的有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2023秋?撫順縣期末）排球的國際標準指標中有一項是排球的質量，規定排球的標準質量為，現隨機選取8個排球進行質量檢測，結果如表所示：序號12345678質量275263278270261277282269則僅從質量的角度考慮，不符合要求的排球有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023秋?德化縣期末）下列說法正確的是A．有理數的絕對值一定是正數 B．如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等 C．如果一個數是正數，那么這個數的絕對值是它本身 D．如果一個數的絕對值是它本身，那么這個數是正數二．填空題（共8小題）7．（2023秋?蜀山區期末）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊薄啊保?．（2023秋?鄭州期末）月球表面的白天平均溫度為零上，記作；夜間平均溫度為零下，記作．9．（2024?太原開學）一瓶飲料，飲料瓶瓶身標注的凈含量是，測得實際凈含量為，記作“”，那么“”表示．10．（2023秋?遼中區期末）在有理數、、0、1中，最小的數是．11．（2023秋?射陽縣期末）數軸上，若，表示互為相反數的兩個數且在的右側，并且這兩點的距離為9，則點表示的數是．12．（2023秋?淮安區校級月考）在數軸上，將表示的點向左移動4個單位后，對應點表示的數是．13．（2023秋?無為市期末）如圖1，點，，是數軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數為，，4，某同學將刻度尺如圖放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點，發現點對應刻度，點對齊刻度．則數軸上點所對應的數為．14．（2023秋?長垣市期末）有理數、在數軸上的位置如圖所示，化簡：．三．解答題（共5小題）15．（2023秋?泉港區期末）某市為培育青少年科技的創新能力，舉辦了設計比賽．小明設計了移動視頻巡檢車在直線軌道上做運動的一個雛形．規定：巡檢車運動前的位置為原點，向前運動為正方向．巡檢車從開始運動至停止的記錄為：，，，，．問：當巡檢車運動停止時，停在哪