（北師大版）七年級上冊數學《第4章基本平面圖形》4.1線段、射線、直線知識點一知識點一線段、射線、直線相關概念◆1、線段、射線、直線（1）線段：繃緊的琴弦、筷子可以近似的看作線段.線段有兩個端點，不能向任何方向延伸.（2）射線：射向空中的光可以近似的看作是射線.在幾何上，我們把線段向一個方向無限延長就形成了射線.射線有一個端點，可以向一個方向延伸.（3）直線：向遠方延伸的鐵軌、公路可以近似的看作是直線.在幾何上，我們把線段向兩個方向無限延長就形成了直線.直線沒有端點，可以向兩個方向延伸.◆2、線段、射線、直線三者的聯系：（1）將線段向一個方向無限延長就形成了射線.（2）將線段向兩個方向無限延長就形成了直線.（3）線段和射線都是直線的一部分.◆3、線段、射線、直線的表示方法、聯系與區別直線射線線段圖形表示方法1用兩個大寫字母表示：直線AB或（直線BA）用它的端點和射線上的另一點來表示：射線OA用表示端點的兩個大寫字母表示：線段AB(或線段BA)2用一個小寫字母表示：直線m用一個小寫字母表示：射線d用一個小寫字母表示：線段a端點個數0個1個2個伸展性向兩個方向無限延伸向一個方向無限延伸不能延伸度量不可度量不可度量可度量◆4、點與直線的位置關系（1）點在直線上，也可以說直線經過該點.（2）點在直線外，也可以說直線不經過該點.示例：點與直線的位置關系如圖，點A在直線l上，點B在直線l外.或者說：直線l經過點A，直線l不經過點B(點B不在直線l上).◆5、基本事實：經過兩點有且只有一條直線.簡述為：兩點確定一條直線.知識點二知識點二兩點之間線段最短 ◆1、線段的基本事實：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短.◆2、兩點之間的距離的定義：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.知識點三知識點三比較兩條線段的長短 ◆比較兩條線段的長短方法一：度量法：分別測量線段AB、CD的長度，再進行比較；方法二：疊合法：將點A與點C重合，再進行比較；利用尺規作圖把其中的一條的線段移到另一條線段上作比較圖1圖2圖3①如圖1若點A與點C重合，點B落在C，D之間，那么AB＜CD.②如圖2若點A與點C重合，點B與點D重合，那么AB=CD.③如圖3若點A與點C重合，點B落在CD的延長線上，那么AB＞CD.知識點四知識點四作一條線段等于已知線段◆1、用尺規作圖的方法可以將一條線段移到另一條線段上.在數學中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖.◆2、線段的畫法：作一條線段（AB）等于已知線段（a）的作法：①畫射線AC；②在射線AC上截取AB=a.◆3、線段的和、差、倍、分（1）線段的和、差的意義及畫法在直線上畫出線段AB=a，再在AB的延長線上畫線段BC=b，線段AC就是a與b的和，記作AC=a＋b，如果在AB上畫線段BD=b，那么線段AD就是a與b的差，記作AD=a－b.（2）線段倍、分的意義：如圖，線段AB上有M、N、P三點，它們的長度關系是：AM＝MN＝NP=PB，則AN=2AM，AP=3AM，MN=12AN，NP=23知識點五知識點五線段的中點及等分點的概念◆1、線段的中點：如圖，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點M叫做線段AB的中點.◆2、等分線段（1）把一條線段分成三條相等的線段的點，叫做線段的三等分點.如圖點M、N是線段AB三等分點,則AM＝MN＝BN＝13（2）類似的，把一條線段分成四條相等的線段的點，叫做線段的四等分點.如圖點M、N、P是線段AB四等分點，則AM＝MN＝NP＝PB＝14題型一直線、射線、線段的表示方法解題技巧提煉直線、射線、線段的表示方法①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．②射線：是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如：射線l；用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．③線段：線段是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如線段a；用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．1．（2023秋?三元區期末）下列各圖中，表示“射線CD”的是（）A． B． C． D．2．（2023秋?孝南區期末）如圖，下列說法不正確的是（）A．直線AB與直線BA是同一條直線 B．線段AB與線段BA是同一條線段 C．射線OA與射線OB是同一條射線 D．射線OA與射線AB是同一條射線3．（2023秋?盧龍縣期中）如圖中射線OA與OB表示同一條射線的是（）A． B． C． D．4．（2023秋?襄城縣期末）如圖，小軒同學根據圖形寫出了四個結論：①圖中共有2條直線；②圖中共有7條射線；③圖中共有6條線段；④圖中射線BD與射線CD是同一條射線．其中結論錯誤的是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④5．（2023秋?泊頭市期末）如圖，已知三點A，B，C畫直線AB，畫射線AC，連接BC，按照上述語句畫圖正確的是（）A． B． C． D．題型二點與直線的位置關系解題技巧提煉點與直線的位置關系：①點經過直線，說明點在直線上；②點不經過直線，說明點在直線外．1．如圖，下列說法中，錯誤的是（）A．點B在直線MC上 B．點A在直線BC外 C．點C在線段MB上 D．點M在線段CB的延長線上2．下列幾何圖形與相應語言描述相符的是（）A．如圖1所示，點C在線段BA上 B．如圖2所示，射線BC經過點A C．如圖3所示，延長線段AB到點C D．如圖4所示，圖中共有4條射線3．（2023秋?鞍山期末）如圖，用適當的語句表述圖中點與直線的關系，錯誤的是（）A．點P在直線AB外 B．點C在直線AB外 C．直線AC不經過點M D．直線AC經過點B4．（2023秋?欒城區期中）下列說法錯誤的是（）A．直線l經過點A B．直線a，b相交于點A C．點C在線段AB上 D．射線CD與線段AB有公共點5．（2023秋?朝陽區期末）（1）讀語句，并畫出圖形：三條直線AB，BC，AC兩兩相交，在射線AB上取一點D（不與點A重合），使得BD＝AB，連接CD．（2）在（1）的條件下，回答問題：①用適當的語句表述點D與直線BC的關系：；②若AB＝3，則AD＝．題型三兩條直線相交解題技巧提煉兩條直線相交：當兩條直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點.1．（2023秋?漢陽區期末）如圖，對于直線AB，線段CD，射線EF，其中能相交的圖是（）A． B． C． D．2．（2023秋?天元區期末）下列幾何圖形與相應語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長線段BA到點C B．如圖2所示，射線BC經過點A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點3．（2023春?鋼城區期末）如圖，下列表述不正確的是（）A．直線AC和直線BC相交于點C B．點D在直線AB外 C．線段BD和射線AC都是直線CD的一部分 D．直線BD不經過點A4．直線AB，BC，CA的位置關系如圖所示，則下列語句：①點B在直線BC上；②直線AB經過點C；③直線AB，BC，CA兩兩相交；④點B是直線AB，BC的交點，以上語句正確的有（只填寫序號）5．根據下列語句，畫出圖形．已知四點A、B、C、D．①畫直線AB；②連接AC、BD，相交于點O；③畫射線AD、BC，交于點P．題型四線段的尺規作圖問題解題技巧提煉1、尺規作圖：在數學中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖.2、做一條線段等于已知線段，可以通過度量的方法，先量出已知線段的長度，再利用刻度尺畫條等于這個長度的線段，也可以利用圓規在射線上截取一條線段等于已知線段．1．（2023秋?灞橋區校級期中）尺，使MN＝2b﹣a．2．（2023秋?碑林區校級期末）如圖，已知線段a,b,請用尺規求作線段AB，使得AB=2a+b（不寫作法，保留作圖痕跡）．3．尺規作圖：如圖，已知線段a,b（a＞2b），求作線段AB，使得AB=a﹣2b.（不寫作法，但要保留作圖痕跡）4．（2023秋?灞橋區校級期中）尺，使MN＝2b﹣a．5．如圖，平面上有射線AP和點B，C，請用尺規按下列要求作圖：（1）連接AB，并在射線AP上截取AD＝AB；（2）連接BC，并延長BC到E，使CE＝2BC．題型五直線的基本事實的應用解題技巧提煉直線的性質：兩點確定一條直線（1）直線公理：經過兩點有且只有一條直線．簡稱：兩點確定一條直線．（2）經過一點的直線有無數條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．1．（2023秋?越秀區期末）小明想在墻上釘一根細木條，要使細木條固定，至少需釘的釘子個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024?新城區模擬）如圖，小亮為將一個衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個釘子進行固定，用數學知識解釋他這樣操作的原因，應該是（）A．過一點有無數條直線 B．兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離 C．兩點確定一條直線 D．兩點之間，線段最短3．（2023秋?霍林郭勒市期末）在下列生活、生產現象中，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是（）①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上；②把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程；④植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③4．（2023秋?長垣市期末）如圖，經過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實際應用的數學知識是．5．（2023秋?慈利縣期末）開學整理教室時，衛生委員總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，一會兒一列課桌就擺在一條線上，整整齊齊，其運用的數學原理是．題型六線段的基本事實的應用解題技巧提煉1、線段的性質：兩點之間線段最短2、線段公理：兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．1．（2023秋?羅莊區期末）如圖，用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，則剩下的樹葉周長小于原樹葉的周長，能解釋這一現象的數學道理是（）A．垂線段最短 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．經過一點有無數條直線2．（2023秋?晉州市期中）如圖所示，從學校到公園有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④3．（2023秋?遵化市期中）下列說法中，不能用“兩點之間，線段最短”來解釋的有（）①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③把彎曲的公路改直就能縮短路程．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（2024?船營區一模）如圖，利用隧道，把彎曲的公路改直，就能縮短兩地的路程，這其中蘊含的數學道理是．5．（2023秋?安鄉縣期末）如圖，從教室到圖書館總有少數同學不走人行道而橫穿草坪，雖然明知不對，可他們還是要這樣做，用我們所學的數學知識可以解釋他們的動機：．題型七線段的和、差、倍、分解題技巧提煉1、線段的中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點．2、線段的和、差、倍、分如圖，AC＝BC，C為AB中點，AC=12AB，AB＝2AC，D為CB中點，則CD＝DB=12AB＝4CD，這就是線段的和、差、倍、分．1．（2023秋?深圳期末）如圖，用圓規比較兩條線段AB和A′B′的長短，其中正確的是（）A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．沒有刻度尺，無法確定2．（2024?灤南縣校級模擬）如圖AB＝CD，則AC與BD的大小關系是（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．無法確定3．（2023秋?鐵西區期末）如圖，C是線段AB的中點，D是線段CB上一點，下列說法錯誤的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CD=12BC D．CD=14．（2023秋?柘城縣期末）如圖，點C是線段AB的中點，點D是線段CB上任意一點，則下列表示線段關系的式子不正確的是（）A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB C．CD＝AD?12AB D．AD=12（5．（2023秋?官渡區期末）已知A、B、C三點在同一條直線上，則下列：①AC+BC＝AB；②AC=12AB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判斷點C是線段A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④6．（2023秋?定遠縣期末）如圖，點C是AB的中點，點D是BC的中點，則下列等式中成立的有（）①CD＝AD﹣BD；②CD＝AD﹣BC；③2CD＝2AD﹣AB；④CD=1A．①② B．②③ C．①③ D．②④7．如圖，C，D是線段AB上兩點，M，N分別是線段AD，BC的中點，下列結論：①若AM＝BN，則AC＝BD；②若AB＝3BD，則AD＝BM；③AB﹣CD＝2MN；④AC﹣BD＝3（MC﹣DN）．其中正確的結論是（填序號）．題型八線段的計算問題解題技巧提煉1、求線段的長，通常先將待求線段轉化成其它線段的和或差，在轉化時盡可能向已知長度的線段或與中點相關聯的線段.2、當已知幾條線段之間的比的關系或倍、分關系時，通常采用設未知數列方程的方法求解線段的長.3、當點的位置不確定時，我們要分情況畫圖分類討論，確定所有可能的情況，然后根據中點的概念以及圖形進行相關計算．1．（2023秋?興隆縣期中）如圖所示，點C是線段AB上的一點，點D是線段BC的中點，若AB＝10，AC＝6，則CD＝（）A．4 B．2 C．3 D．12．已知線段AB＝8cm，點P在直線AB上，AP＝2cm，則線段BP的長是（）A．6cm B．10cm C．12cm D．6cm或10cm3．（2023秋?深圳期末）如圖所示，若C為線段AB的中點，D在線段CB上，DA＝6，DB＝4，則CD的長度是．4．（2023秋?九龍坡區期末）線段AB＝12cm，點C在線段AB上，且AC=13BC，M為BC的中點，則AM的長為5．（2023秋?文山市期末）如圖，C是線段AB上一點，M是AC的中點，N是BC的中點．（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的長度．（2）若AB＝6，求MN的長度．6．（2023秋?隨縣期末）如圖，點C為線段AB上一點，AC＝12cm，AC=32CB，D、E分別為AC、AB7．（2023秋?伊川縣期末）線段AB＝12cm，點C為AB上的一個動點，點D、E分別是AC和BC的中點．（1）若點C恰好是AB中點，求DE的長？（2）若AC＝4cm，求DE的長．8．（2023秋?河池期末）如圖，已知點C為線段AB上一點，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點．求：（1）求AD的長度；（2）求DE的長度；（3）若M在直線AB上，且MB＝6cm，求AM的長度．題型九類比線段計數規律解決實際問題解題技巧提煉3.交點的個數：n（n≥2）條直線相交，最多有n(1．往返于甲、乙兩地的火車，中途停靠三站，每兩站間距離各不相等，需要準備（）種不同的車票．A．4 B．8 C．10 D．202．（2023秋?定西期末）由西安北站到蘭州西站的D2681號動車，運行途中停靠的車站依次是西安北—岐山—寶雞南—天水南—定西北—蘭州西，則鐵路運營公司要為這條線路（往返路線都包括）制作的車票共種．3．（2023秋?振興區校級期中）某高鐵線路為往返于A市和E市，全長106千米，全線共設A、B、C、D、E五個車站，任意兩站之間的距離都不相等，高鐵集團要為乘客準備種車票，有種票價．4．（2023秋?宜城市期末）【觀察思考】如圖，線段AB上有兩個點C、D，分別以點A、B、C、D為端點的線段共有條．【模型構建】若線段上有m個點（包括端點），則該線段上共有條線段．【拓展應用】若有10支球隊參加校級籃球比賽，比賽采用單循環制（即每支球隊之間都要進行一場比賽），請你應用上述模型構建，求一共要進行多少場比賽？5．（2023秋?宜城市期末）【觀察思考】如圖，線段AB上有兩個點C、D，分別以點A、B、C、D為端點的線段共有條．【模型構建】若線段上有m個點（包括端點），則該線段上共有條線段．【拓展應用】若有10支球隊參加校級籃球比賽，比賽采用單循環制（即每支球隊之間都要進行一場比賽），請你應用上述模型構建，求一共要進行多少場比賽？題型十動點問題解題技巧提煉解決線段的動點運動問題關鍵是化動為靜，以不變應萬變，查找突破口（動點速度，運動的路程等），設出未知數，建立所求的的等量關系式，求出未知數等等，有時還需要分類討論.一般的步驟：①畫圖形；②表線段；③列方程；④求正解.1．如圖，數軸上有三個點A，B，C，表示的數分別是﹣4，﹣2，3．（1）若使C、B兩點的距離是A、B兩點的距離的2倍，則需將點C向左移動個單位；（2）點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒a個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，設運動時間為t秒：①點A、B、C表示的數分別是、、（用含a、t的代數式表示）；②若點B與點C之間的距離表示為d1，點A與點B之間的距離表示為d2，當a為何值時，5d1﹣3d2的值不會隨著時間t的變化而改變，并求此時5d1﹣3d2的值．2．如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設P的運動時間為x秒．（1）當PB＝2AM時，求x的值；（2）當P在線段AB上運動時，