2024年2月烏江新高考協作體高二數學入學聯考試卷

2024.02

（分數：150分，時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知直線,過A。/）、網一1，3）兩點，則直線/的斜率為（）

A.-2B.2C.-1D.I

2.拋物線2/=），的焦點到準線的距離為（）

_L11I

A.16B.8c.4D.2

3.已知點A。"）為拋物線C：/=加（">°）上一點，〃為拋物線的焦點，則朋=（）

3^336365

A.8B.8c.16D.16

4.已知拋物線9=2*（/>0）的準線過雙曲線5一’」的一個焦點，則〃=（）

A.1B.2C.4D.8

5.已知A,"是拋物線上兩點，當線段AB的中點到）'軸的距離為3時，的最大值為（）

A.5B.5夜C.10D.10&

6.兩圓的半徑分別是方程f-"+12=0的兩個根，圓心距為3,則兩圓的位置關系是（）

A.相交B.外離C.內含D.外切

7.在楂長為I的正方體-中，已知E為線段綽7的中點，點F和點p分別滿足。尸=,

RP="D、B其中"內網,則下列說法不正確的是（）

2=1

A.當2時，三棱錐尸-EFQ的體積為定侑

19"

//=-..

B.當2時，四棱錐的外接球的表面積是4

5石

C.莊+班的最小值為了

D.存在唯一的實數對（無〃），使得砂上平面PDF

C:-r+>b>0)若離心率歸用，則

8.已知橢圓a~b~的左、右焦點分別為吊尸2,點尸在橢圓C上,

橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（曲）B.1吟）」制D.4

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求

的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.

9.下列方程能夠表示圓的是（）

A.丁+/=1B./-丁=2

Qx2+y2+2x=1口x2+y2+^-1=0

10.下列結論正確的是（）

A.平面內與兩個定點F1,好的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.

B,橢圓的離心率。越大，橢圓就越圓.

C,方程，—+〃）'2=1（〃?>0,心0,〃沖〃）表示的曲線是桶圓.

4+4=i4+-=i

D.b-（a>b>0）與右b-（a>6>。）的焦距相同.

11.在棱長為2的正方體A8CQ-A4CQ中，點Q為正方體表面上的一動點，則下列說法中正確的有（）

41

A.當尸為棱C；2的中點時，則四棱錐產一的外接球的表面積為W

B.使直線a與平面A8C0所成的角為45。的點的軌跡長度為兀+4夜

C.若尸是A片的中點，當P在底面A8CQ上運動，且滿足尸尸〃平面片CR時，尸產長度的最小值是石

D.點G是線段A。的中點，當點P在平面48。內，且R4+PG=2時，點尸的軌跡為一個圓

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C的方程為f十產_2辦_2瘋0,+3/=0,則圓C的半徑為

13.已知橢圓的一個焦點尸，若橢圓上存在一點滿足以橢圓短半釉為半徑的圓與線段尸尸相切于該

線段的中點，則該橢圓的離心率

22

K.如圖，已知橢圓/十立—"">","）,其焦距為4,過橢圓長軸上一動點尸（與，°）作直線交橢圓于〃、

N,直線4"、3N交于點°（馬，）'。），己知工內。=5,則橢|員的離心率為

2

匹、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某游樂園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一

C2

cos9=一

條北偏東為°的筆直公路，其中7.摩天輪近似為一個圓，其半徑為35m,圓心。到地面的距離為

4。《明其最高點為％，八點正下方的地面。點與公路的距禽為70m.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計

算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計）

⑴如圖所示，甲位于摩天輪的A點處時，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

⑵當甲隨著摩天輪轉動時，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

16.直線/經過拋物線）'2=4x的焦點尸，且與拋物線交于A8兩點（其中點A在x軸上方）.

⑴若|陽=4,求直線/的傾斜角;

V2

⑵若原點。到直線/的距離為工"，求以線段A8為直徑的圓的方程.

17.在圖1所示的平面多邊形中，四邊形A8co為菱形，=2,/區40=6°右28。與.鳥。>均為等

達三角形.分別將△《人"△6%必48,例人。沿著48BGCD,DA翻折，使得不多小巴四點

恰好重合于點P,得到四棱錐P-ABCD,PM=%必（0<%<1）.

修P

3

故選:c

【點睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角.

2.C

【分析】先將拋物線方程變為標準方程：再寫出焦點坐標及準線方程即可求解.

2_1

【詳解】由拋物線2/二），可得”~2y,

貝!拋物線的焦點坐標為I8人準線方程為.8.

1-L1L1

所以拋物線2/2=丁的焦點到準線的距離為8I8J4.

故選：C.

3.D

【分析】利用點在拋物線上及拋物線的定義即可求解.

【詳解】將A。*）代入），=?,得々=4,

x1=—■yrfo,-1y=―--

所以拋物線C：4-,焦點I16人準線方程為16,

故選：D.

4.C

oc---V"=1

【分析】求出拋物線,'一二2px的準線方程和雙曲線3的焦點坐標，由條件列方程求L

,=-P-

【詳解】拋物線V=2庶（〃>0）的準線方程為A--2,

Y2_]

雙曲線7一’一的左焦點的坐標為（一2，°）,右焦點的坐標為（2，°）,

x2、

、---=1

因為拋物線）'=2內的準線過雙曲線3的一個焦點，

J

所以2,

所以〃=4,

故選：C.

5.C

【分析】如圖，畫出點AA，M到準線的距離，利用拋物線的定義可知

5

陷4陰+|陽=罔+即=2|例,求I明的最大值.

【詳解】設拋物線V=8.1的焦點為/，準線為/,線段AB的口點為M.如圖，分別過點A,B,"作

準線/的垂線，垂足分別為0,D,N,連接4"BF.因為線段48的中點到》軸的距離為3,拋物線

),2=8x的準線/：x=-2,所以|MN|=5,因為|AB|<|A目+忸F|=|AC|+|8q=2|MM=10,當且僅當A,

B,尸三點共線時取等號，所以恒w2=1°.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解拋物線的定義，并能應用三點共線解決最值問題.

6.C

【分析】由題意，解方程，求半徑之和與半徑之差，根據圓的位置關系，可得答案.

【詳解】???方程x2-8x+12=0,?'.可轉化為(x-2)(x-6)=0,解得xl=2,x2=6.

???兩圓半徑之和為8,兩圓半徑之差為4：

???圓心距d=3,6-2>3；???兩圓內含.

故選：C.

7.C

【分析】由線面平行的判定可知〃平面即。，知三棱錐P-瓦曾底面積和高均為定值，A正確；根據

正棱錐外接球的球法，可構造關于外接球半徑R的方程，求得R后知B正確；將C中問題轉化為在平面

ABCIR內求解莊+尸產的最小值，作E關于線段BR的對稱點耳，將問題轉化為片”長度的求解，根據

角度和長度關系可確定C正確；以。為坐標原點建立空間直角坐標系，假設線面垂直可構造方程組求得

兒〃，可知D正確.

2=1

【詳解】對于A,當一2時，F為GA中點，又E為片C中點，,,EF"BD\,

6

￡“u平面E/7).BRa平面EFD.BD"/平面EFD.

虹當產在線段3上移動時，其到平面EFD的距離不變，

???三棱錐七㈤的體積為定值，A正確；

對于B,當“一2時，取AC"。交點°,連接尸°,則四棱錐尸-48co為正四棱錐,

.?.PO_L平面ABCD,

設四棱錐P-A8CO的外接球的球心為。'，半徑為R,則O'在直線夕。上,

-oc=—OO'=--R-+=R2

2,2r2

2,2:.OC+OO=OC1即212),

R=—S=4nR:=—

解得：4,.?.四棱錐P-ABCD的外接球的表面積4,B正確;

對于c,將問題轉化為在平面ABGA內求解小+刊7的最小值，

作E關于線段町的對稱點4,過目作HG//4.,交CR,AB于H,G,如下圖所示,

PE=PE、，；,PE+PF=PE、+PFNE、H(當且僅當「與“重合時取等號)，

7

?.ZE,BA=/ABD「ZD,BE=4ABD「ZD,8G

sinNgBA=sin(/ABD「NDg)=［用-付）

夜

Efi=B[E-sin3BA=BE?sinZE,BA，3=員答平

~6

5&

即PE+P尸的最小值為了，故C錯誤;

對于D,以/）為坐標原點，"為x?，z軸建立如圖所示空間直角坐標系,

則力（0.0,0）%，叼,尸（。41）,P（〃川一〃）

玖=[〃一于《一"J,OP=(〃.〃J_〃)，Ob=((M,1)

EP1DP

若研工平面尸￡尸，則但尸，。尸,

EPO尸=〃(〃一；,+〃(〃一1)+=0

￡PDF=2(//-l)+f1-x/>=0

解得:（舍）

‘--13-6、

26

.存在唯一的實數對I,使得石尸工平面包尸，故D正確.

故選：C.

8

8.D

e=-------Ipc'I_'

【分析】由題意可知歸周，結合橢圓的定義解得2"^+1,再由5C引PKK"+C求解.

【詳解】因為附I,所以附占出周，

由橢圓的定義得：儼用+1叫=2〃，解得仍用一7TT,

因為…工附區a+c,所以a*如…,

兩邊同除以a得e+l,解得

因為0<6><1,所以拉-14e<l,

所以該離心率。的取值范圍是［&-"）

故選：D.

9.AC

【分析】依次判斷各個選項中的方程所表示的曲線即可得到結果.

【詳解】對于A,/+）艙=1表示圓心為（。，0）,半徑為1的圓，A正確;

對于B,一一）'2=2不符合圓的方程，B錯誤；

對于C,由/+爐+2%=1得：a+l）'+V=2,則其表示圓心為（TO）,半徑為祀的圓，c正確;

對于D,/+）"+孫T=°含個項，不符合圓的方程，D錯誤.

故選：AC.

10.CD

【分析】根據橢圓的標準方程、定義、性質即可得到答案.

【詳解】對A,要使“平面內與兩個定點的距離的和等于常數的點的軌跡是橢圓”,

還需要這個常數大于兩個定點的距離，所以A錯誤.

對B,離心率-越小，這時人就越接近于“，橢圓就越圓，故B錯誤:

+=，

2,Tf

對C,方程‘九一+江=1（〃2〉0,〃>0,加￥〃）可化為機n

—+^-=1

1I11I1

—>—>0M—>—>A0

且由根〃>（）,〃-〃有機〃或，？m,即加〃是焦點在x軸或焦點在）'軸的橢圓的

標準方程，

故方程〃二十町'=1（機〉0,”>。，機工〃）表示的曲線是橢圓，選項C正確;

9

對D,由題意得兩個橢圓的焦距均為24^牙，故D正確；

故選：CD.

11.ABD

【分析】分別確定四邊形與三角形片的外接圓圓心，進而確定外接球球心與半徑,

A84A可判斷A

選項，由線面夾角為45。，可知/尸e=45。，進而確定點p軌跡長度，建立空間直角坐標系,利用坐標

ARC\PM?=—

法確定點夕的軌跡，進而判斷C選項，由4G_L平面設垂足為可確定點I48,即可確定

軌跡.

【詳解】A選項：由正方體可知平面平面A8&A,

又正方形A網A的中心為。I,所以球心。滿足°Q,平面4網4,

..〃DR_A尸+線尸一A4?_34

在AA8/中，AP=B\P=ECOSZA,-2APBF_5s,nZA?!=~^

o、p=.4黑——=-

所以外接圓半徑2S1I1/AP用4,且°。2_1平面人而。oo2=\

R=《OO；+O、p2=i總

所以四楂錐外接球半徑4

?._41兀

S=4兀R2=-----

所以外接球表面積4,A選項正確;

B選項：由直線”與平面4BQ）所成的角為45。，且朋,平面48CQ,則‘2必=45。

可知點尸在以A頂點，AA為軸.2夜為母線長的圓錐表面，

所以當點「在平面A85同時，點Q的軌跡為線段人身，長度為2夜，

同理當點2在平面.ORA時，點2的軌跡為線段'R,長度為2夜,

蘭點P在平面A4GA時，由他1AP,所以AP=AA=2,

I1

4——x4n=it

點。的軌跡為以4為圓心，2為半徑的4圓上，長度為4

1()

點P在其他平面時不成立，綜上所述，點P的軌跡長度為2拒+2應+兀=4應+兀，B選項正確;

C選項：如圖所示，建立空間直角坐標系，設P（XK°）,0<x<2,0<^<2,

又用(2,0,2),C(2,2,0),0(022),尸(1,0,2),則勺。=(。2-2)BR=(-2,2,0)PP=(1,-)，,2)

2y「24=0

設平面SCR的法向量為"=（不）"）,則［-2%+2y=0,令耳=1,則”=。』」）,

又P尸〃平面BCR,貝［jPF-〃=］_%_.v+2=0,gyy=3-xf則］VxV2,

efiHPF=(l-x,x-3,2)|P+J(l-x)2+(x-3)，22=缶、8工+14W+6

//ItA，

所以當*=2時，PH取最小值為布，C選項錯誤；

D選項：由正方體可知平面A"。"平面BCR,所以平面A?。的法向量為〃=(i，i，i),

且AGJL平面AB。,又償=(0,0,2)G4,=(T-1,1),

...AA,-n2x/3GA,n6

AM=-p：—=-----GM=-pr—=——

所以點A與G到平面A6°的距離分別為制3,制3,

AP2=AM2+PM2=-+PM2PG?=GM?+PM?=-+PM2

所以3,3

yliAP1-PG2=(AP+PG)(AP-PG)=2(AP-PG)=\

AP-PG=-AP=-PG=-PM2=—PM=-

則2,所以4,4,所以48,12

II

乂由正方體可知==即ABO為正三角形，且M為“產°中心,

人加叵/旦＞叵二PM

所以點M到三角形三邊的距離為6312

氐

所以點尸在以M為圓心，12為半徑的圓上，D選項正確;

故選：ABD.

【點睛】(1)求直線與平面所戊的角的一般步驟：

①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成：

②計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解.

(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足

作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

12.H

【分析】將一般式轉化為標準式即可求解半徑.

［詳解］由/+),2_2"_2后0，+3/=0可得(尸。)2+()，-島『=/,

所以半徑為同，

故答案為：H

更

13.3

【解析】由中位線定理以及勾股定理求出P”,PF,再結合橢圓的定義以及離心率公式得出答案.

【詳解】設切點為M,右焦點為6

由題意可知°/=c,0M=%則尸尸=2后-/

因為憶。分別是咪的中點、，所以班=2。*2b

由橢圓的定義可知-y+勿=2々,即42一尸=a—b

12

兩邊平方得“-5

屏

V5

故答案為：3.

a=-b

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是由橢圓的定義得出2,進而得出離心率.

2后

R.5

2）

【分析】根據橢圓方程可證：對于橢圓不+鏟—上任一點仇右

均有

設以丫：.3沖+再,.加（小,）不仇》）,聯立方程利用韋達定理

可證

2

_b（xP-a）

八AMaAV_2/\2__4

“（與+與，進而根據直線的交點整理可得.二//=\即可求離心率.

,0

［詳解】對于橢圓/+F一?>">°）上任一點“（刈%），）'。*0,

A今1可得"等?-/）,

貝!

可知A（—〃,0）,6（。，0）,

2

^AD'^BD九為a

所以%+Q~CCXQ-Q"

由題意可知：直線MN的斜率不為o,但可以不存在,

13

設M?V:%=/^y+A>,M(%,y),N(孫％),

x=tny+xf>

'x2y2_,,

聯立方程〔/+〃「，消去x得9L)y-+如*y+從芍-獷2=0,

.八2b2mxpb2xl-a2b2

△>o,+y=；—京，y戊=T―五丁

則2cr+m-b-cr+in'b',

k.=^!-.^2__>J_________h_

KAMRkAN,=,

可得k+ax2+afnyi+xp+amy2+xp+a

b2j(p-a2b-

=______________ZI22_______________=_________________"+〃丁

"-%+〃?(/+，)()%+%)+(?%+〃『-嗖[N叱+(4+/

cr+ni~h2'7a"+m~b~''

_lr[xp-a)

1

a(xp+a)

及

AN:y=*(x-a)=一一-(x-a)

可知直線AM：y=心”（x+a）直線a%

)'Q=如“(q+〃)

Qa*AN°',消去NQ可得(%+a)=-6(4-a),

聯立方程

7^^+a）=-，

貝!（小+。）,整理得"~=々%=5,即。=有,

又因為焦距為4,可得。=2,

x~?yz＞八0）

【點睛】關鍵點睛：i.根據橢圓方程可證：對于橢圓/‘"一"''?上任一點0（天，）'。）』產°,均

14

2

2,設取+與,加（/））2（”2）,聯立方程利用韋達定理可證4"八"a（xP+a）

15

15.⑴14

14+71?[

⑵24

tanZADB=

【分析】（1）設公路所在直線為/，過3點作/的垂線，垂直為D,由得答案；

（2）設甲位于圓°上的農點處，直線"垂直于°斗且交圓。于小點，射線OR可以看成是射線。尸繞著

°點按逆時針方向旋轉。角度得到.過火點正下方的地面7點向/作垂線，垂足為S.tanNRST取得最大值

88

r------sintz------sina

=777______

時，NRS7即為從乙看甲的最大仰角，tan/RST27-coscr淇中，7-cosa表示點（。。皿，9。）和

點I7J構成的直線。的斜率，根據直線與圓的位置關系即可求解.

【詳解】（1）如圖所示，設公路所在直線為，，過8點作/的垂線，垂直為。，3O=70m.

區為圓的半徑為35m,圓心°到地面的距離為40m,所以八3=75^

/…AB7515

tanZ.ADB=----=—=—

從甲看乙的最大俯角與一4。8相等，由題意得A8_L8。，則AD7014.

（2）如圖所示，設甲位于圓。上的R點處，直線。尸垂直于04且交圓。于尸點，射線可以看成是射

線O/繞著。點按逆時針方向旋轉a角度得到.

過R點正下方的地面丁點向,作星線，垂足為S.

當tanNRST取得最大值時，4S7即為從乙看甲的最大仰角.

15

35sina+4088

tanZ.RST=--------------sina+-(----sina

70-35cosax-=----------=——7

題意得:727-cosa27-cosa

8

其中，7—cosa表示點（80。，心。）和點（’構成的直線口的斜率,

當直線a的斜率取得最小值時，tanNRS7取最大值.

因為點（c^dsina）在單位圓/+）,2=］上，

所以當直線。與單位圓相切時.，斜率取得最大值或最小值.

v+1=^(x-7)

設過點I’7）的直線方程為:

第一岡T、T4土洞

由相切可得7.+犬，解得—84

_i4_>/r?T14+Vi?T

見直線。的斜率最小值為―84一,代入可得tanZRST取最大值是一24一.

【點睛】方法點睛：

〃、一sinx+4

求—8SX+匕的最值時，可轉化為求點（c°s及sinx）與（一仇-。）連線斜率的最值，

設出過點（一"'一〃）的直線方程，由點（c°sx，sinx）在單位圓上，根據直線與圓相切即可求解.

7T

16.⑴弓

⑵飆3）。（），+2）2=16或（-3『+（），-2）2=16

【分析】（1）由拋物線定義求出人尸的坐標，結合斜率與傾斜角的關系即可得解.

（2）設直線/的方程為“"〃"+乂'〃'。），聯立拋物線方程結合韋達定理、拋物線定義得以線段AB為直

旦

徑的圓的圓心、半徑，結合原點。到直線,的距離為2得參數”即可得解.

【詳解】（1）由題意得拋物線F=4x的焦點，準線分別為"=

所以由拋物線定義可知何同=4=/+1,又），；二4勺，

所以解得％力=26（負值舍去），

勤=」一=述=石

直線/的斜率為"XA-XF2,

16

n

所以直線/的傾斜角為3.

（2）由題意直線/的斜率存在且不為0（若直線斜率不存在則原點。到直線/的距離為1,矛盾），

所以設直線/的方程為'町

聯立拋物線方程）'?=4x,化簡得）尸一4〃?），-4=0,顯然4>0,

22

y+%=4〃z,X[+七="，（y+y2）4-2=4m+2,\AB\=（xt+1）+（x,4-1）=4（z??4-1）=2r

所以以線段AB為直徑的圓的圓心、半徑分別為A2=+L2m）/=2（病+1）,

正

區為原點。到直線,的距離為2,

,1V2

d--===——

所以x/l+nr2,解得〃?=±1,

所以圓心、半徑分別為。（二拉卜"支

（>3）2+（），+2）2=]6或（1-3）2+（）-2）2=16

17.（1）證明見解析

A=-

⑵4

A=-

【分析】（1）當2時，可得/為期的中點，然后利用線面垂直證明幺,平面也加，從而證明

PA工MN,乂&MNMPC,從而可求證以

（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面MCO和平面4coi向法向量，然后由二面角CO-A的余

在

弦值為3,從而可求解工

2=-

【詳解】（1）證明：因為2,所以“為E4的中點.

由題可知，人8=人。=尸9=叨，所以尸

又BMcDM=M,平面所以Q4_L平面8DM.

取BO1AC=N,如圖，則MM7PC.由平面4/加，可得則PA1PC.

17

（2）連接AC,易證得8。/平面PAC,過點P作P01AC,垂足為°,則平面48co.

以。為坐標原點，0Aop所在直線分別為工軸、Z軸,建立如上圖所示的空間直角A

由A8=2,得00=2,40=25/5,”=2\/?,

“旭QP巫爪。呼行生）,o）,。-^-,i,o）,c^—Y~,O?O

從而33,則1、J1J

PM=APA=[^-A,O,-^-z\

則J，3』

“nonow（64+）、2瓜）261

MD-PDPM-334，323CD：

=（ALO）

設平面MCD的一個法向量為機=（乂乃z）,

彼.氈4V+尹（亞人區*。，

MD/?=0,33）（33

V

貝!由[S〃]=O,得|岳+y=0,

,〃/『瓜與季]

人丫一12A—2

令不一1,得/H1）.

由圖可知，平面ACO的一個法向量為〃=（°，°，1）,

在

因為二面角例-CO-A的余弦值為3,

丁+2必

\m-n\22-25/3

同網[卜5+2%3

所以如伽砌=V+[21-2）,角A=-

帛得4.

_1_

故九的值為I.

18

18.（1）［。"+同

⑵對于橢圓C上的任意點尸，都有理由見解析

【分析】（1）根據題意可得c=3、"6求出ib即可求出橢圓C的方程，進而求出“伴隨圓”方程，

得出點A坐標，設8（〃?，〃），以〃7，-〃），（-右<，〃<8）,利用平面向量數量積的坐標表示可得

312）,結合二次函數的性質即可求解；

（2）設易知尸土。時口4成立;當時設直線/方程為yT=?-s）,聯立橢圓方程,

消去y,由△=（）得GT'）公+2$伙+則//的斜率是方程的兩個根，根據韋達定理計算化

簡可得4&二-1,即可求解.

【詳解】（1）由題意知。=&,由短軸的一個端點到焦點的距離為⑺,

知。=+，=G,則〃=J/2_c2=1,

X"

+'一）其“伴隨圓”方程為f+丁=4

故橢圓C的方程為3

由題意,可設W肛/.（-6<m<我

m~■>,

—+