十八列聯表與獨立性檢驗

強基礎練

（20分鐘45分）

一、選擇題（每小題5分，共25分，多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得（）

分）

1.（多選題）在一次惡劣氣候的飛行航程中，調查男女乘客在機上暈機的狀況,如下表所示:

暈機

性另lj合計

暈機不暈機

男ab=15a+b

女c=6dc+d

合計a+c2846

則下列說法正確的是（）

2

n[/ad-bc)\

附:參考公式:----------;-------;---------,其中n=a+b+c+d

(a+c)Q+d)(a+b)gd)

獨立性檢驗臨界值表

a().10.050.01

X?L2.7063.8416.635

a6

A.------->-------

a+bc+d

B.x2<2,706

C.在犯錯誤的概率不大于0.1,推斷惡劣氣候飛行中，暈機跟男女性別有關

D.沒有理由認為,在惡劣氣候飛行中,暈機與否跟男女性別有關

【解析】選ABD.由列聯表數據，知

B+6=Q+C

a=12

15+d=28

d=13

<Q+15=Q+b

<6+d=c+da+c=18,

a+b=27

a+c+28=46

c+d=19

a+b+c+d=46I

a12466

所以-------=->----=—,即A正確.

a+b279c+d19

暈機

性別

暈機不暈機

男121527

女61319

合計182846

46X(12X13-6X15)

所以x2=------------------------------------^0.775<2,706,即B正確，且沒有理由認為，在惡劣氣候飛行

18X28X19X27

中，暈機與否跟男女性別有關，即D正確.

2.支付寶和微信支付已經成為現如今流行的電子支付方式，某市通過隨機詢問100名居民(男

女居民各50名)喜爰支付寶支付還是微信支付,得到如下的2X2列聯表:

支付方式

性別合計

支付寶支付微信支付

男401050

女252550

合計6535100

n(ad-bc)

附表及公式：X-------；------；---------：一"T,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a1

).10.050.010.0050.001

10.82

Xat2.7063.8416.6357.879

8

則x?約為()

A.9.89B.8C.0.013D.0.099

【解析】選A.由2X2列聯表得到a=40,b=10,c=25,d=25,則代入

2

2n(ad-bc)

x(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

100X(1000-250)2

得xJ---------------------------------49.89.

50X50X65X35

3.某高校為調查畢業學生的就業狀況,抽查了100名學生畢業一個月能否就業的狀況，得到

2X2列聯表如下：

就業

性別合計

能就業不能就業

男生401050

女生302050

合計7030100

假如該高校認為畢業學生一個月能否找到工作與性別有關,那么犯錯誤的概率不會超過)

n(ad-bc)2

附:x?=-----------------------------------------

(alb)(c>d)加(b+d)

。).10.050.010.005D.001

10.82

XaL2.7063.8416.6357.879

8

A.0.1B.0.05C.0.005D.0.01

【解析】選B.由列聯表數據可得:

100(40X20-10X30)

---------------------七4.762>3.841=xo.05,

S0X50X30X70

戰犯錯誤的概率不會超過0.05.

4.在一次獨立性檢驗中，得出列聯表如下:

AA合計

B20080()1000

B180a180+a

合計380800+a1180+a

且最終發覺,兩個分類變量A和B沒有任何關系,則a的可能值是

A.200B.720C.100D.180

【解析】選B.由題意x2=

(1180+a)(200aT80X800)

380X(8001a)X(1801a)XlOOtf

(11804^200)(200X200-180X800)2

a=2O0時，x2=------------------------------------------------------------

380X(8001200)X(180^200)XI000

^130.37>3.841,此時兩個分類變量A和B有關系，

(11804^720)(200X720180X800)2

a=720時，x2=-0,

380X(800+720)X(180?720)XI000

此時兩個分類變量A和B沒有關系.

5.有甲、乙兩個班級進行教學考試,依據大于等于85分為優秀,85分以下為非優秀統計成果,

得到如表所示的列聯表：

成果

班級合計

優秀非優秀

甲班10b

乙班C30

合計105

2

已知在全部105人中隨機抽取1人,成果優秀的概率為一,則下列說法正確的是()

7

n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附表：

a0.0500.0100.001

Xo3.8416.63510.828

A.列聯表中c的值為30,b的值為35

B.列聯表中c的值為15,b的值為50

C.依據列聯表中的數據,若按犯錯誤的概率不大于0.05的要求,能認為“成果與班級有關系”

D.依據列聯表中的數據,若犯錯誤的概率不大于0.05要求,不能認為“成果與班級有關系”

2

【解析】選C.由題意知，成果優秀的學生數是105X-=30,成果非優秀的學生數是105-30=75,

7

所以c=20,b=45,選項A,B錯誤；依據列聯表中的數據，得到

105X(10X30-20X45)

%6.109>3.841=xm5,因此在犯錯誤的概率不大于0.05的要求

55X50X30X75

下，認為“成果與班級有關系”，選項C正確.

二、填空題(每小題5分，共10分)

6.某醫療機構為了了解肝病與酗酒是否有關，對成年人進行了一次隨機抽樣調查，調查結果如

表：

肝病

酗酒合計

患肝病未患肝病

酗酒30170200

不酗酒20280300

合計50450500

從直觀上你能得到的結論是,依據最小概率值U=的獨立性檢驗,認為患肝病

與酗酒有關.

aD.10.050.010.0050.001

10.82

Xa2.7063.8416.6357.879

8

【解析】由已知數據可求得

500X(30X280-20X170)?

x2―=9.26>7.879-Xo005,

S0X4S0X200X300

所以在犯錯誤的假率不大于0.005的前提下認為患肝病與酗酒有關系.

答案：患肝病與酗酒有關系0.005

7.為了探討常常運用手機是否對數學學習成果有影響，某校高二數學探討性學習小組進行了

調查,隨機抽取高二年級50名學生的一次數學單元測試成果,并制成下面的2X2列聯表：

&

手機合計

及格不及格

很少運用

20525

手機|

常常運用

101525

手機

合計3020150

依據小概率值a的獨立性檢驗認為常常運用手機對數學學習成果有影響犯錯誤的概丞不大

于.

2

n(/ad-bc)\

參考公式：x-，其中n-a+b+c+d.

(a+b)(c+<O(a+c)(b+d)

a().10.050.010.0050.001

10.82

XaI2.7063.8416.6357.879

8

【解析】由題意，可得：

50X(20X15-10X5)25

x2=----------------------------------=-弋8.333>7.879=xaoo5,依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗,

30X20X25X253

認為常常運用手機對數學學習成果有第響犯錯誤的概率不大于0.005.

答案:0.005

三、解答題

8.(10分)為了推斷中學二年級學生選讀文科是否與性別有關，現隨機抽取50名學生，得如下

2X2列聯表：

科類

性別合計

理科文科

男1124

女9

合計2850

完成該2X2列聯表，試依據小概率值QR.05的獨立性檢驗，分析選讀文科與性別是否有關

系？

a0.10.050.010.0050.001

10.82

Xa2.7063.8416.6357.879

8

【解析】列聯表如下

性別科類合計

理科文科

男131124

女91726

合計222850

依據表中數據，經計算得到:

50X(13X17-11X9)

2=--------------------^1.936<3.841=xo.

24X26X22X28

依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，沒有充分的證據推斷％不成立，因此認為選讀文科與性

別無關.

居提升練

（25分鐘50分）

一、選擇題（每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得（）

分）

1.在一個2X2列聯表中，由其數據計算得到X2=13.097,臨界值表為：

C0.100.050.0100.0050.()01

Xn2.7063.846.6357.87910.828

則認為兩個變量間有關系犯錯誤的概率不大于（）

A.0.001B.0.05

C.0.1D.0

【解析】選A.因為X2=13.097>10.83=xo.ooi,

所以認為兩個變量有關系犯錯誤的概率不大于0.001.

2.在一次調查中，依據所得數據繪制成如圖所示的等高條形圖，則（）

A.兩個分類變量關系較強

B.兩個分類變量關系較弱

C.兩個分類變量無關系

D.兩個分類變量關系難以推斷

【解析】選A.從等高條形圖中可以看出，在x1中y?的比重明顯大于X2中yz的比重，所以兩個分

類變量的關系較強.

3.（多選題）某校安排在課外活動中新增攀巖項目，為了解學生喜愛攀巖和性別是否有關，面對

學生開展了一次隨機調查,其中參與調查的男女生人數相同，并繪制如下等高條形圖，則（）

2

n(ad-bc)

參考公式：x?n---------------------------,n=a+b+c+d.

(a^b)(c>d)(a+c)(b+d)

a0.05koi

Xa3.8416.635

A.參與調查的學生中喜愛攀巖的男生人數比喜愛攀巖的女生人數多

B.參與調查的女生中喜愛攀巖的人數比不喜愛攀巖的人數多

C.若參與調查的男女生人數均為100人，則認為喜愛攀巖和性別有關犯錯誤的概率不大于0.01

D.無論參與調查的男女生人數為多少,認為喜愛攀巖和性別有關犯錯誤的概率都不大于D.01

【解析】選AC.由題意設參與調查的男女生人數均為川人,則

攀巖

性別合計

喜愛攀巖不喜愛攀巖

男生0.8m12mm

女生0.3m3.7mm

合計1.1m19m2m

所以參與調查的學生中喜愛攀巖的男生人數比喜愛攀巖的女生人數多，A對B錯;

2m(0.56m2-0.06m2)50m

X2n匚.一■■一

1.Im?0.9m?mam99

,50m50x100

當m=100時，x2---------------、50.505>6.635,

9999

所以當參與調查的男女生人數均為100人，認為工愛新宗和性別有關，C對D錯.

4.針對當下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜愛抖音是否有關”作了一次調查，其中

被調查的男女生人數相同，男生喜愛抖音的人數占男生人數的3女生喜愛抖音的人數占女生

3

人數的一,若認為喜愛抖音和性別有關犯錯誤的概率不大于0.05,則調查人數中男生可能有

S

人（）

C0.10.050.010.0050.001

x?2.7063.8416.6357.87910.828

,n(ad-bc)

附：X一二.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.25或45B.45

C.45或GOD.75或60

【解析】選C.設男生的人數為5n（MGN*）

依據題意列出2X2列聯表如表所示:

性別

抖音合計

男生女生

喜愛抖音4n3n7n

不喜愛抖

n2n3n

音

合計5n5nlOn

210nX(4nX2n-3nXn)10n

則

5nx5nx7nx3n21

因為認為喜愛抖音和性別有關犯錯誤的概率不大于0.05,則3.841Wx2<6.635,即

10n

3.841W----<6.635,得8.0661Wn<13.9335,

21

因為nGN；則n的可能取值有9,10,11,12,

因此，調查人數中男生人數的可能值為45或50或55或60.

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.在西非，“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經成為全球性的威逼，為了考察某種埃博拉

病毒疫苗的效果,現隨機抽取100只小鼠進行試驗,得到如下列聯表：

感染

疫苗合計

感染未感染

服用104050

未服JIJ203050

合計3070100

n(ad-bc)

(a+b)(c+d)加/c)(b+d)

QK).10.050.01

Xa|

2.7063.8416.635

依據上表，依據小概率值a=的獨立性檢驗，認為“小動物是否感染與服用疫苗有

關”.

【解析】由題中數據可得：

n(ad-bc)2

X2=----------------------------------------------------

(a+b)(e+d)(a+c)(b+d)

100(10X30-40X20)2100

--^4.762>3.841=xo05,

50X50X30X7021

所以認為小動物是否感染與服用疫苗有關犯錯誤的概率不大于0.05.

答案：0.05

6.有兩個分類變量X和Y,其中一組觀測值為如下的2X2列聯表:

Y

X合計

y172

Xia15~a15

X220-a30+a50

合計204565

其中a,15-a均為大于5的整數，則a=時,認為變量X與Y有關犯錯誤的概率不大于

0.01.

n(ad-bc)

附：xJ

(a+b)(c，d)(a+c)(b，d)

Q0.10.050.01D.005

2.7063.8416.6357.879

【解析】由題意知：X2>6.635,

則65[a(30+a)-(20-a)(15-a)J2

20X45X15X50

13(13a-6O)

---------635,

54C0

解得:aN8.65或aWO.58,

因為a>5且15-a>5,aez,

綜上得：8.65Wa<10,a￡Z,

所以：a=9.

答案：9

三、解答題(每小題1()分，共20分)

7.第十三屆全國人大常委會第卜一次會議審議的固體廢物污染環境防治法(修訂草案)中，提

出推行生活垃圾分類制度,這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃

圾分類怠識與政府相關法規宣揚普及的關系，對某試點社區抽取50戶居民進行調查，得到如下

的2X2列聯表.

分類意識

試點合計

分類意識強分類意識弱

試點后5

試點前

合計50

已知在抽取的50戶居民中殖機抽取1戶，抽到分類意識強的概率為0.58.

(1)請將上面的2X2列聯表補充完整;

(2)依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗,分析試點后分類意識是否比試點前分類意識強.

n(ad-bc)2

參考公式：x-=----------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(cfd)(a>c)(b+d)

下面的臨界值表僅供參考

0.010.00

a0.100.05D.001

05

2.703.846.637.8710.82

Xa

61598

【解析】(1)依據在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，抽到分類意識強的概率為0.58,可得分

類意識強的居民有29戶，故可得2X2列聯表如下：

分類意識

試點口H

分類意識強分類意識弱

試出后20525

試點前91625

合計292150

50(20X165X9)6050

(2)xJ------------------=------機9.93427.879=XO.3O5,依據小概率值a=0.005的獨立性

25X25X29X21609

檢臉，沒有充分證據推斷《不成立，因此認為H。成立，即認為試點后分類意識比試點前分類意識

強.

8.(2024?新高考全國I卷改編)為加強環境愛護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質

量進行調研,隨機抽查了1。0天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：Mg/m)得下表：

S02

PM2.5(50,(150,

[0,50]

150]175]

[0,35]32181

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計事務”該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S02濃度不超過150”的概率;

(2)依據所給數據,完成下面2X2列聯表：

S02

PM2.5

[0,150](150,47

5]

[0,75]

(75,115]

(3)依據⑵中的列聯表,依據小概率值a=0.01的獨立?.性檢驗,分析該市一天空氣中PM2.5濃

度與SO?濃度有關.

n(ad-bc)2

附：x::=---------------------------.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【解析】(1)依據抽查數據，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150

的天數為32+18+6+8=64,因此，該市一大空氣中PM2.5濃度不超過75,且S0?濃度不超過150的

64

稷率的估計值為——=0.64.

100

⑵依據抽查數據，可得2X2列聯表：

so2

PM2.5(150,47

[0,150]

_______1_

[0,75]6416

(75,115]10|l0

(3)依據⑵的列聯表得

100X(64X10-16X10)2

又J------------------------七7.484.

80X20X74X26

由于7.484>6.635,故依據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析該市一天空氣中PM2.5濃度與

S02濃度有