2023北京西城初三（上）期末

數(shù)學(xué)

滿分100分，考試時間120分鐘.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.二次函數(shù)y=（x—2/+3的最小值是（）

A.3B.2C.-2D.-3

2.中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的文化底蘊，是中華民族文化的一個組成部分，在中國傳統(tǒng)社會中，扇面形狀

的設(shè)計與日常生活中的圖案息息相關(guān)，下列扇面圖形中，既是相對稱圖形，乂是中心對稱圖形的是

()

3.下列事件中是隨機事件的是（）

A.明天太陽從東方升起

B.經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈

C.平面內(nèi)不共線的三點確定一個可

D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是540。

4.如圖，在中，弦A3，C。相交于點P,ZA=45°,Z4PD=8O°,則NT?的大小是()

A.35°B.450C.60°D.70°

5.拋物線），=-2/+1通過變換可以得到拋物線）,=-2（X+1『+3,以下變換過程正確的是（）

A.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

D.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

6.要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都只賽一場），計劃安排15場比賽，如果設(shè)邀請

x個球隊參加比賽，那么根據(jù)題意可以列方程為（）

A.2x=\5B.x（x+l）=15C.x（x-l）=15D.”（丁）二15

7.如圖，在等腰“SC中，NA=120。，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)二（0°<=<90。）得到4。。石，當(dāng)

點A的對應(yīng)點。落在上時，連接況，則的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.55°D.75°

8.下表記錄了二次函數(shù)y=e￡+—+2（。工0）中兩個變顯x與〉的5組對應(yīng)值，其中百</<1.

???-5%13???

y???tn020m???

根據(jù)表中信息，當(dāng)-]<x<。時，直線），=%與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，則火的取值范圍是

（）

7

A.-<k<2B.-<k<2C.2<k<-D.2<k<-

6633

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.一元二次方程16=0的解是.

10.已知的半徑為5,點P到圓心。的距離為8,則點夕在。。（填“內(nèi)”“上”或“外”）.

11.若關(guān)于x一元二次方程f+3jv+c、=0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為.

12.圓心角是6（）。的扇形的半徑為6,則這個扇形的面積是.

13.點M（3,〃?）是拋物線），=/?不上一點，則加的值是____，點M關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是

14.已知二次函數(shù)滿足條件：①圖像象過原點；②當(dāng)人>1時，）隨x的增大而增大，請你寫出一個滿足上

述條件的二次函數(shù)的解析式：.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以點4（及,0）為圓心，I為半徑畫圓，將OA繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)

a（00<a<180。）得到使得oA與y軸相切，則。的度數(shù)是

16.如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點，且A5_LOC，?為圓上一動點，加為AP的中點，連

接CM,若的半徑為2,則CM長的最大值是.

三、解答題（共68分，第17?18題，每題5分，第19題6分，第20?23題5分，第24?26

題，每題6分，第27?28題，每題7分）

17.解方程：x2—4x+2=0

18.己知：點A,B,C在。。上，且NBAC=45°.

求作：直線/,使其過點C,并與。O相切.

作法：①連接0C；

②分別以點“，點。為圓心，。。長為半徑作弧，兩弧交于。。外一點。；

③作直線CO.

直線C。就是所求作直線/.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面證明.

證明：連接OB,BD，

?：OB=OC=BD=CD,

???四邊形030。菱形，

???點A,B,C在。。上，且NBAC=45。，

A/BOC=______°（）（填推理的依據(jù)）.

???四邊形O8OC是正方形，

AZOCD=90°,即0CJ_C力，

???。。為半徑，

???直線。。為OO的切線（）（填推理的依據(jù)）.

19.已知二次函數(shù)-2x-3.

（1）將），=——2x—3化成y=—力的形式，并寫出它的頂點坐標(biāo)；

（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；

（3）當(dāng)-l<xv2時，結(jié)合圖象，直接寫出函數(shù)值》的取值范圍.

20.如圖，A8是。。的一條弦，點C是A8的中點，連接0C并延長交劣弧A8于點。，連接。8,

DB，若AB=4,CD=1,求公3。￡）的面積.

21.在學(xué)習(xí)《用頻率估計概率》時，小明和他的伙伴們設(shè)計了一個摸球試驗：在一個不透明帆布袋中裝有

白球和紅球共4個，這4個球除顏色外無其他差別，每次摸球前先將袋中的球攪勻，然后從袋中隨機摸出

1個球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回，在老師的幫助下，小明和他的伙伴們用計算機模擬這個摸

球試驗，下圖顯示的是這個試驗中摸出一個球是紅球的結(jié)果.

紅球頻數(shù)八

0.758

0.756

0.754

0.752

0.750,

0.748

0.746

0.744

6—10002000300040005000600()700()800090001000)摸球哀數(shù)/次

（1）根據(jù)所學(xué)的頻率與概率關(guān)系的知識，估計從這個不透明的嘰布袋中隨機摸出一個球是紅球的概率是

,其中紅球的個數(shù)是;

（2）如果從這個不透明的帆布袋中同時摸出兩個球，用列舉法求摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是

白球的概率.

22.如圖，在四邊形A8CO中，AC,8。是對角線，將點8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到點E，連接

AE,BE,CE.

（1）求NC8E的度數(shù)；

（2）若△4?。是等邊三角形，EZABC=30°,A3=3,BD=5,求8E的長.

23.已知關(guān)于x的方程x?-2mx+m?-9=0.

（I）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根：

（2）設(shè)此方程的兩個根分別為陽，/，且若2%=9+5,求加的值.

24.如圖，在中，AB=AC,N8AC=90。，點。是AC上一點，以。為圓心，OA長為半徑作

圓，使與3C相切于點。，與AC相交于點￡.過點8作B/〃AC,交。的延長線于點尸.

（1）若AB=4,求。。的半徑：

（2）連接80,求證：四邊形3莊。是平行四邊形.

25.跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項FI之一，如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳經(jīng)空中飛行后落在

著陸坡上的點。處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分，這里04表示起跳點A到地面

。8的距離，OC表示著陸坡的高度，08表示著陸坡底端5到點。的水平距離，建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度）'（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿

足函數(shù)關(guān)系：y=-^-x2-^bx+c,已知。l=70m,OC=60m,落點2的水平距離是40m,豎直高度

16

是30m.

(1)點A的坐標(biāo)是,點。的坐標(biāo)是;

(2)求滿足的函數(shù)關(guān)系)，=一3/+版+。；

16

(3)運動員在空中飛行過程中，當(dāng)他與著陸坡8c豎直方向上的距離達到最大時，直接寫出此時的水平距

離.

26.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線丁=奴2+以+(.(。工0)的對稱軸為直線工="且

3a+2/?+c=0.

(1)當(dāng)c=0時，求Z的值；

(2)點(一2,凹)，(1,%)，(3,%)在拋物線上，若a>c>0,判斷%，當(dāng)與),3的大小關(guān)系，并說明理

由.

27.如圖，在A/WC中，AC=BC,48=90。，ZA依=45。，連接CP,將線段CP繞點。順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段CQ,連接AQ.

(1)依題意，補全圖形，并證明：AQ=BP；

(2)求NQ4P度數(shù)；

(3)若N為線段A8的中點，連接NP,請用等式表示線段NP與。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.給定圖形W和點尸，Q,若圖形W上存在兩個不重合的點M,N,使得點P關(guān)于點M的對稱點與

點。關(guān)于點N的對稱點重合，則稱點尸與點。關(guān)于圖形W雙對合.在平面直舛坐標(biāo)系工。丫中，已知點

4(-1,-2),8(5,-2),C(-l,4).

(1)在點。(-4,0),七(2,2),“(6,0)中，與點。關(guān)于線段A8雙對合的點是；

(2)點K是工軸上一動點，OK的直徑為1.

①若點A與點T(Oj)關(guān)于?K雙對合，求t的取值范圍：

②當(dāng)點K運動時，若上存在一點與OK上任意一點關(guān)于OK雙對合，直接寫出點K橫坐標(biāo)々的

取值范圍.

參考答案

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】二次函數(shù)y=（x-2）2+3,

當(dāng)x=2時,最小值是3,

故選A.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心史稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形：中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果

旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐

一判斷即可.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心時稱圖形，故A選項不合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C選項合題意：

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對

稱圖形的定義.

3.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)隨機事件的定義，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A.明天太陽從東方升起，是必然事件，故本選項不符合題意；

B.經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，故本選項符合題意；

C.平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓，是必然事件，故本選項不符合題意：

D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是540。，是不可能事件，故不選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟練掌握必然事件指在一定條件

下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在

一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得NC+NA=NA/Y),求得NC,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即

可.得到答案.

【詳解】解：vZC+ZA=ZAPD,Z4=45°,Z4PD=80°,

/.ZC=ZAPD-ZA=80°-45°=35°,

."="=35。，

故選:A.

【點睛】本題考查了圓周角定理及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】

【分析】由平移前后的解析式，結(jié)合平移法則即可得解；

【詳解】解：拋物線y=-2f+l通過先向左平移1個單位，再向上平移2個單位可以得到拋物線

y=-2(x+l)2+3,

故選擇：D

【點睛】本題考查拋物線的平移.熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】

【分析】賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，x個球隊比賽總場數(shù)=gx(x-1),由此可得出方

程.

【詳解】解?：設(shè)邀請x個隊，每個隊都要賽(1-1)場，但兩隊之間只有一場比賽，

由題意得="7)=15.

2

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球

隊之間的關(guān)系.

7.【答案】B

【解析】

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得/4笈。=幺6=30。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得

BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形內(nèi)角和定理得

/CBE=NCEB=^(180°-30°)=75°,即可求得NBED=NBEC-Z.CED.

【詳解】解：???AB=AC,Z4=120%

.-.ZAOC-zTACB-300,

由旋轉(zhuǎn)得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,

/.ZCBE=ZCEB=g(180°-30°)=75°,

ABED=ZBEC-ZCED=75°-30°=45°,

故選:B.

【點睛】本題考杳了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)

鍵.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出對稱軸犬=-1，進而得到拋物線與/軸的交點，利用交點式得到

)，=a(x+3)(x—l),從而得到二次函數(shù)表達式為＞=一日/一：工+2,根據(jù)當(dāng)一1＜工＜0肘，直線

JJ乙

Q

y=k與該二次函數(shù)圖像有兩個公共點，可得2＜%＜§.

-5+3

【詳解】解：由(-5,〃。、(3,/〃)可得拋物線對稱軸x=、一二一1,

又由(/0)、(1,0)以及對稱軸尸―1可得司=-3,

/.(-3,0).(1,0),則設(shè)拋物線交點式為y=a(x+3)(x-l),

vy=tz(x+3)(x-l)=6/(x2+2t-3)=ar2+2at-36z與y=ax2+bx+2(awO)對比可得一3a=2,

2

解得。=一］,

二?二次函數(shù)表達式為y=——%2——x+2?

JJ

當(dāng)x=0時，y=2.

2

當(dāng)x=-l時，y=--(-i+3)(-i-i)=-,

785

?.?一＜2＜一，當(dāng)一一＜x＜。時，直線y=Z與該二次函數(shù)圖像有兩個公共點，

632

3

故選：C

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)表達式的求法是解決問題的關(guān)鍵.

第二部分非選擇題

二、填空題(共16分，每題2分)

9.【答案】即=-4,X2=4

【解析】

【分析】直接運用直接開平方法進行求解即可.

【詳解】解：方程變形得：f=i6,

開方得:x=±4,

解得：x[=-4,A-2=4.

故答案為：汨=-4,X2=4

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，掌握直接開平方法是解答本題的關(guān)鍵.

10.【答案】外

【解析】

【分析】點與圓的位置關(guān)系有3和.設(shè)OO的半徑為?點P到圓心的距離OP=〃，則有：O點尸在圓外

<=></>r；②點尸在圓上<=>d=r；③點。在圓內(nèi)<=>[<〃，由此即可判斷：

【詳解】解：vr=5,d=8,

:.d>r,

二?點夕在0。外.

故答案為:外.

【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，記住：①點尸在圓外r；②點?在圓上o"=心③點?在

圓內(nèi)?是解題的關(guān)鍵.

9

11.【答案】一

4

【解析】

【分析】根據(jù)判別式據(jù)=0求解即可.

【詳解】解：丁一元二次方程f+3x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

?**A=32-4c=0,

9

解得c=：.

4

9

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了一兀二次方程ax2+bx+c=0（a和）的根的判別式△:b2-4ac：當(dāng)△>（）,方程有兩個小相

等的實數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩人相等的實數(shù)根；當(dāng)△<（）,方程沒有實數(shù)根.

12.【答案】67r

【解析】

【分析】根據(jù)扇形的面積公式s=”計算，即可得出結(jié)果.

360

【詳解】解：該扇形的面積5=607rx6-二6乃.

360

故答案為67r.

【點睛】本題考查了扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】①.6（-3,-6）

【解析】

【分析】將加（3,m）代入二次函數(shù)解析式，得出M（3,6）,根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分

別互為相反數(shù)，即可求解.

【詳解】解：???點M（3,機）是拋物線y=f-x上一點，

/??=32—3=6?

???M（3,6）,

???點M關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（-3,-6）,

故答案為：6,（-3,-6）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，求得點M（3,6）是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】y=d-2x（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以得出各系數(shù)的取值范圍，舉一例即可.

【詳解】解：圖像過原點，

可以設(shè)解析式為：J=av（x-A|b

時，N隨X的增大而增大，

開口向上，且對稱軸x=

即x,<2,

二?可以設(shè)二次函數(shù)為

y=公（上一百），滿足a>°，X工2均可.

故答案不唯一，如：y=x2-2x.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】45。或135。

【解析】

【分析】分析可知：A在以。為圓心，、后為半徑的圓上運動，分情況討論，當(dāng)4轉(zhuǎn)到4時，

。4'=及，作A7?_Ly軸與點從利用勾股定理可知08=1,進一步可求出旋轉(zhuǎn)角度為45。；當(dāng)A轉(zhuǎn)到

A〃時，。4〃=&，作A'C_Lx軸與點C利用勾股定理可知。C=1,進一步可求出旋轉(zhuǎn)角度為135。.

【詳解】解：???A（、/1。），將繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)。（0。＜。＜180。）得到。4

在以。為圓心，、后為半徑的圓上運動，

當(dāng)A轉(zhuǎn)到4時.，。4二&，作45_1y軸于點從

由勾股定理可得：OB=JA02一4的=1E_F=1,

???Aa%'為等腰直角三角形，

/.ZBOA=45°,ZAOAf=45°,即旋轉(zhuǎn)角度為45。；

當(dāng)A轉(zhuǎn)到A〃時，04〃=拒，作A'C_Lx軸于點C,

。4”半徑為1,。4"與），軸相切，

???C4*=l,

由勾股定理可得：0C=辦"。2一=J方一］2=「

???△0C4〃為等腰直角三角形，

???/COA〃=45。，ZAOAff=180o-45o=135°,即旋轉(zhuǎn)角度為135。；

故答案為：45°,135°

【點睛】本題考查圓與切線，旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn),

理解A在以。為圓心，^2為半徑的圓上運動.

16.【答案】x/5+1##l+>/5

【解析】

【分析】連接QM,PB,取A0中點。，連接CO、DM、PB,AB是。。的直徑，可推出

由此可知NAP8=NAMO=90°,則M在以AO為直徑的圓上，當(dāng)

CM與。點重合時，CM最大，根據(jù)A8_LOC求出CO長代入即可.

【詳解】解：連接OM,PB，

P

C

???AB是。。的直徑，

???ZAPB=90°,

???例為AP的中點，。為A3的中點，

AAMO?&APB,

???ZAPB=ZAMO=90°,

取,4。中點。，連接CO、DM、

???M在以A。為直徑的圓上，

???三角形兩邊之和大于第三邊，且OO的半徑為2,

???DM=1,

，當(dāng)CM與。點重合時，CM最大，

：?CM=CD+DM,

???A8_LOC,

二8=6+,=后,

:?CM=國\，

故答案為、6+1.

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是90。及三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)

鍵.

三、解答題（共68分，第17?18題，每題5分，第19題6分，第20?23題5分，第24?26

題，每題6分，第27?28題，每題7分）

17.【答案】耳=2+血，/=2—夜；

【解析】

【分析】選用配方法可解此方程.

【詳解】解：x2-4x+2=0

x2-4x+4-2=0

（x-2）2=2

:.x-2=72或x-2=-72

解得：％=2+0，&=2-6

故答案為％=2+0，^=2-72.

【點睛】本題考查了選用適當(dāng)?shù)姆椒ń?元二次方程.

18.【答案】（1）見解析；

（2）90。；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線

【解析】

【分析】（1）按照題中作法步驟作圖即可；

（2）根據(jù)圓周角定理和切線的判定定理填空.

【小問1詳解】

解：補全圖形，如圖所示；

【小問2詳解】

9（）。；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.

【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判斷和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】（1）（1,-4）

（2）見解析（3）-4<y<0

【解析】

【分析】（I）運用配方法將原解析式化為頂點式即可；

（2）根據(jù)（1）所得的頂點式解析式，利用五點作圖法直接畫出圖像即可；

（3）根據(jù)函數(shù)圖像確定當(dāng)-1Vxv2時對應(yīng)的y的取值范圍即可.

【小問1詳解】

y=x2-2x-3

=X2-2X+\-\-3

=("1尸—4.

【小問2詳解】

列表如下：

X-10123

y0-3-4-30

由圖象可得，當(dāng)—lvxv2時，-4<y<0.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點式、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，準(zhǔn)確畫出二次

函數(shù)的圖象成為解答本題的關(guān)鍵.

20.【答案】1

【解析】

【分析】設(shè)。。的半徑為X,由垂徑定理得出8C,用含X的式子表示OC,再根據(jù)勾股定理列方程解得半

徑的長，即可求解..

【詳解】解：設(shè)。。=x,則08=x.

???點C是AB的中點，。。過圓心O，

.\OC1AB.

\-AB=4,CD=1,

BC=-AB=2,OC=OD-CD=x-\.

2

■/在RtABCO中，OB?=OC2+BC2，

/.x2=(x-I)2+22.

解得，x=

0D=~.

2

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理判斷出0C是4B的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】（1）0.75,3

⑵！

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圖表中的頻率分布可估計概率，再利用總數(shù)乘以概率可得紅球個數(shù)；

（2）列出表格，利用概率公式計算.

【小問1詳解】

解：由圖表可知：摸出紅球的頻率分布在。.75上下，

則可估計隨機摸出一個球是紅球的概率是0.75,

紅球的個數(shù)是：4x0.75=3.

故答案為：0.75,3：

小間2詳解】

由（1）可知帆布袋中有3個紅球和1個白球.

列表如下：

白紅1紅2紅3

白白，紅1白，紅2白，紅3

紅1紅1,紅2紅1,紅3

紅2紅2,紅3

紅3

可以看出，從帆布袋中同時摸出兩個球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，即

（白，紅1）,（白，紅2）,（白，紅3）,（紅1,紅2）,（紅1,紅3）,（紅2,紅3）,且這些結(jié)果出現(xiàn)的可

能性相等，其中摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是白球（記為事件A）共有3種結(jié)果，即（白，紅

1）,（白，紅2）,（白，紅3）,

31

所以尸（A）=，=_.

62

【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出〃，再從中選

出符合事件4或4的結(jié)果數(shù)目〃2,然后根據(jù)概率公式求出事件4或4的概率.也考查了利用頻率估計概

率.

22.【答案】（1）60°

(2)4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到。8=。￡,/3。E=60。，進而證明aBCE為等邊三角形，即可得到答

案；

(2)首先證明之后在Rt^ABE中根據(jù)勾股定理得到班:的長.

【小問I詳解】

解.：■/將點8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)6()。得到點E，

:.CB=CE,NBCE=60°,

「.△BCE是等邊三角形，

/.ZCBE=60°.

【小問2詳解】

解：?.?△ACD是等邊三角形，

:.AC=DC^ZACZ)=60°，

:.ZACE=ZDCB,

乂;CB=CE，

:.△ACEWADCB，

AE=BD?

?,-BD=5，

AE=5.

,.?NCBE=60。,ZABC=30°,

：.ZABE=90°,

?.在Rt^ABE中，RE=yjAE2-AB2-

???AB=3,

..BE=4.

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握

相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)見解析；

(2)-4.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出A>0,由此可證出此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解方程，再由玉>々，2$=/+5,即可得到關(guān)于〃?的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：?.,△=(-2〃?)2-4xlx(“2-9)

=4//r-4m2十36

=36>0.

?.?方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【小問2詳解】

解：解方程，得工=處叵=網(wǎng)變，

22

西>工2，

x1=m+3,x2=m-3.

,/22—x2I5,

.?.2（〃z+3）=〃z-3+5.

/.m=-4.

【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鋌是掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的表

達式，并會熟練計算.

24.【答案】（1）4正-4；

。）見解析.

【解析】

【分析】（1）連接0。，由O。與A8相切于點A，與8。相切于點。，得到NO3C=90。，OD=DC,

由切線長定理得：BD=AB=4,由勾股定理求出AC=4上,即可得到。。的半徑.

（2）連接AO,交。8于點兒由AE是O0的直徑，得到NADE=90。.根據(jù)3c與0。分別相切

于點A,。，證得NAHO=90。.得到08〃M.即可證得四邊形3FEO是平行四邊形.

【小問1詳解】

???在&48C中，AB=AC,ZBAC=90°,

工0。與A3相切于點A,NACB=45°.

???。。是。。的半徑，O。與BC相切于點3,

???ODVBC.

：.ZODC=90°,OD=DC.

VAB=4,

，由切線長定理得：BD=AB=4,由勾股定理得：BC=4B

?*-OD=DC=4y/2-4-

???。。的半徑是4&_4.

【小問2詳解】

證明：連接AO,交0B于點H,如圖.

???AE是。。的直徑，

/.ZA￡）E=90°.

???AB8C與。。分別相切于點A,D,

:.BD=AB,ZABO=ZDBO.

：.OBA.AD.

：,ZAHO=90°.

???/AHO=AADE.

：.0B〃EF.

?:BF〃AC,

???四邊形8莊。是平行四邊形.

【點睛】此題考查了圓的切線的性質(zhì)定理，切線長定理，直徑所對的圓周角是直角，平行四邊形的判定定

理，熟記各定理是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】（1）/1（0,70）,夕（40,30）；

1,3一

（2）y-------x~+—x+70；

?162

（3）18m

【解析】

【分析】（1）OA=70m,落點P的水平距離是40m,豎直高度是30m,即可得到點A、尸的坐標(biāo)；

（2）用待定系數(shù)法求解即可；

（3）由OC=60m,先求出直線3c的表達式，作MV〃y軸交拋物線和直線3。于點M、N,用含未

知數(shù)機的式子表示M/V,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.

小問1詳解】

解：?.?04=70m,落點尸的水平距離是40m,豎直高度是30m,

/.A（0,70）,P（40,30）；

【小問2詳解】

解：把A（0,70）,P（40,30）代入了=--!-/+版+c

70=c

彳414I

、’30=——X402+40Z?+C

16

(.3

b=一

解得，2,

c=70

13”

v=---JC+—x+70；

’162

【小問3詳解】

解：?「OC=60m,

「?設(shè)直線BC的表達式為y=依+60(Aw0),

把尸(40,30)代入，得30=404+60,

3

解得，k=--,

4

3/八

v=--八+60,

,4

(]3、

設(shè)Mm,—m2+彳〃7+70到8。豎直方向上的距離最大，作MN〃y軸交拋物線和直線BC于點

I17672>

M、N,

-L，+5+i。

164

高蘇-36/72+182-182)+10

--(/M-18)3+—+10

16V74

=4WT)2+號

「-""18)2<0,

.??當(dāng)相=18時，MN最大,即水平距離為18m時，運動員與著陸坡8C豎直方向上的距離達到最大.

【點睛】本題考查J'二次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握知識點

是解題的關(guān)鍵.

3

26.【答案】（1）一

4

⑵為＜y3Vx

【解析】

【分析】（1）由3〃+2Z?+c=0,c=0,可得3a+2Z?=0,根據(jù)對稱軸為直線上=-2即可求解;

2a

⑵根據(jù)3a+%+c=0,求得對稱軸工="-?的范圍，再將點（―2,y）根據(jù)對稱性轉(zhuǎn)化到對稱軸右側(cè),

再根據(jù)。＞。＞0得拋物線開口向上，y隨x的增大而增大，即可得出答案.

【小問1詳解】

當(dāng)c=0時，得3。+4=0,

2a2a4

【小問2詳解】

3々+2Z?+。=0,

,3。+c

:.b=---------，

2

3a+c

b23a+cc3,

?t=-----=-------仝——=-------=-----1--

2a2a4。4a4

。>c>0,

0<—<—,

4a4

3.

z.-<r<1,

4

點(-2,y)關(guān)于直線x=t的對稱點的坐標(biāo)是(2f+2,y),

7

/.—v2t+2<4.

2

:.\<3<2t+2.

???當(dāng)時，y隨x的增大向增大.

y2<%<Y.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要涉及到二次函數(shù)的開I」方向、對稱性以及增減性，熟知二次函

數(shù)的基本性質(zhì)是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵.

27.【答案】（1）畫圖和證明見解析：

（2）135°（3）CP=y[iNP，證明見解析.

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖形，只需要利用SAS證明t△ACQ即可證明=8尸；

（2）連接。尸，如圖所示.先由等腰直角三角形的性質(zhì)得到NCQP=NCPQ=45。.再證明

44尸。二/。8由全等三角形的性質(zhì)得到NCQA=/CPB.則可以推出NA尸Q+N尸04=45。，利用

三角形內(nèi)角和定理即可得到/QAP=180O-NAR2-NPQA=135。；

（3）如圖所示，延長PN至K,使得NK=PN,連接AK.證明△ANK名△BVP.得到

/KAN=/PBN,AK=BP，則AK〃8尸.進一步證明NK4尸=135。.得到NK4P=NQAP.由

此證明△必P會得到KP=QP.在等腰直角△PC。中，CP=CQ,則KP=QP=0CP,

即可證明CP=&NP.

【小問1詳解】

補全圖形，如圖所示.

證明：???線段。繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CQ,

:?CP=CQ,ZPCQ=90°

???乙46=90。，

???/BCP=ZACQ,

,:人C=BC,

???△BCP^ACQ(SAS)

：,AQ=BPi

【小問2詳解】

解：連接QP,如圖所示.

由（1）可得△PCQ是等腰直角三角形，

???/CQP=NCPQ=45。.

???/CQA+NPQA=45。.

???乙APB=45。，

???ZAPQ