2021年全國高考數學演練試卷（文科）（一）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設i為虛數單位，則復數z=2i-l在復平面上對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.己知集合力一{0,123,4,5],^-{x|x?-7x+10<0）,則Ac6的了集可以是（）

A.{3,4,5}B.{4,5}C.{3,5}D.{4}

3.魏晉時期，數學家劉徽首創割圓術，他在仇章算術注》方田章圓田術中指出：“割之彌細，

所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣這是一種無限與有限的轉化

過程，比如在正數點中的“…”代表無限次重復，設％=奉，則可利用方程%=言求得，

類似地可得正數卜5百一等于（）

A.3B.5C.7D.9

4.設無窮等比數列{斯}的前n項和為又，若一%V。2<%，則（）

A.{Sn}為遞減數列B.{Sn}為遞增數列

C.數列{S"有最大項D.數列{%}有最小項

5.“sM2a-V5cos2a=1"是"a=；'的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x-y+2>0

6.若變量％,y滿足約束條件》十7一440,且z=4x+8y的最大值為（）

%-3y+3<0

A.21B.23C.28D.31

7.已知函數f（其的定義域為R，若存在常數席>0對任意rw凡有|f（力區刑㈤則稱

為F函數，給出下列函數：①/（力二P②f⑺二命工+COSX；③/O7++]；④

f⑴是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數力耶J有|（引K2|4-引.其中

是F函數的序號為

A.②④B.①③C.③④D.①②

8.在△48。中，已知tan^^=sinC,給出以下四個論斷：

(l)tanAcotB=1；

(2)1<sinA+sinB<V2

(3)sin2/l+COS2B=1：

(4)COS271+COS2F=sin2C；

其中正確論斷的個數是()

A.1B.2C.3D.4

9.已知函數/?(%)=/一3人若過點力(0,16)的直線方程為y=ax+16,與曲線y=f(x)相切，則

實數a的值是()

A.-3B.3C.6D.9

10.函數脛=呼仆?就普賴在實數集上是增函數，則

I1

A.版物,一嬴B.-&?<——C.D./JC0

11.若雙曲線。：血/+曠2=1的離心率為24(4>0),其中4為雙曲線(7的?條漸近線的斜率，則血的

值為()

A.B.C.-3D.

388

12.已知數列｛^｝的前n項和為Sn,滿足2sm=4an+m,且數列｛九的｝的前6項和等于321,則血的值

等于()

A.-1B.-2C.1D.2

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.如圖，正三角形4BC邊長為2,。是線段BC上一點，過C點作直線4。的垂

線，交線段4。的延長線于點E,則|4D|?|DE|的最大值為.

14.在平面直角坐標系xOy中.若直線art+y-2=0與圓心為C的圓(X-l)?+(y—a)?=彳相交于

A,B兩點，且△ABC為正三角形，則實數a的值是______.

15.已知側棱長為8的正三棱錐S-48C如圖所示，其側面是頂角為20。的等腰

三角形，一只螞蟻從點力出發，圍繞棱錐側面爬行兩周后又回到點A,則

螞蟻爬行的最短路程為.

16.給出以下四個命題:

①“若am2cbm2,則avb”的逆命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若qW—l,則/+K+q=O有實根”的逆否命題；

④若函數/（X）=Q/+2x-1只有一個零點，則Q=-1.

其中真命題是.（寫出所有真命題的序號）

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.在△ABC中，Q,b,c分別是角A,B,C所對的邊，且Q=；c+Z）cosC.

（/）求角8的大小

（〃）若SMBC=W,b=氏，求a+c的值?

18.某媒體對“男女同齡退休”這一公眾關注的問題進行了民意調查，右表是在某單位得到的數據（

人數）：

贊同反對合計

男5611

女11314

合計16925

（1）能否有90%以上的把握認為對這一問題的看法與性別有關？

（2）進一步調查：（i）從贊同“男女同齡退休”16人中選出3人進行陳述發言，求事件“男士和

女士各至少有1人發言”的概率；

（ii）從反對“男女同齡退休”的9人中選出3人進行座談，設參加調查的女士人數為X,求X的分

布列和期望.

附表：

P(K2>K)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

(a+b)(c+c/)(a+c)(b+d)

19.如圖，四棱柱48CD-&BiGDi中，側棱ll^ABCD,AB//DC,

ABLAD,AD=CD=1;AAt=AB=2,E為極力為的中點

(I)證明：BCJL平面CQE；

(n)求二面角E-B]C-G的正弦值.

20.已知函數/(%)=ax-htx.

(I)討論/(%)的單調性；

(口)若?！?一8,一》求證：/(%)>2ax-xeax~x.

21.設橢圓C：*十，=l(a>b>0)的兩個焦點為尸i，F2,點名為其短軸的一個端點，滿足|瓦瓦十

砧|=2|瓦耳|+|瓦瓦|=2,瓦耳?砧=-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點M(l,0)作兩條互相垂直的直線",G，設匕與橢圓交于點4B,與橢圓交于C,D,求前?前

的最小值.

22.在平面直角坐標系xOy中，以。為極點，”軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線I的極坐標方程

為6=?(p￡R),曲線C的參數方程為匕：:鬻(。為參數).

勺-biiir7

(1)寫出直線，與曲線C的直角坐標方程；

(2)過點M平行于直線1的直線與曲線C交于48兩點，若=求點M軌跡的直角坐標方

程.

23.f(x)=brr-QX有最大值，且最大值大于0.

(I)求。的取值范圍；

(口)當a=1時，/(%)有兩個零點修、x2(xt<%2),證明*小<30.(參考數據：m0.9a-0.1)

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：復數z=2i—l在復平面上對應的點（一1,2）在第二象限，

故選：B.

利用復數的幾何意義即可得出.

本題考查了狂數的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

2.答案：D

解析：解：由/一7%+10<0,得2<xV5,

B={x\x2-7x+10<0}={x|2Vx<5},

又A={0,1,234,5},

???4C8={3,4},

則力n8的子集可以是{4}.

故選：D.

求解一元二次不等式化簡集合8,然后利用交集運算求得力「氏則答案可求.

本題考查交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎題.

3.答案：B

解析：解:設J5K\/5=則％解得：％=5或0（舍去）.

故選：B.

設口!言=》可解決此題?

本題考查方程思想，考查數學運算能力，屬于基礎題.

4.答案:D

解析：解：由-%<a2<%可得的>0,

所以q=^<I,

因為一%vg得9=言>-1，

所以一1VqV1,

因為%=華滬，

當0VQV1時，{SJ遞增，當一lVq<0時，{S”}遞減，A,B錯誤：

當0<q<lM，Sn最小項Si，沒有最人項，

當一lVqVO時，。1>0,。2<0，。3>0，。4<0且+。4>0，Sn最小項52，沒有最大項，C錯

誤，。正確.

故選：D.

由已知分析等比數列的公比范圍，然后結合求和公式分析｛S”｝的單調性，結合選項可求.

本題主要考查了等比數列的單調性的判斷，通項公式及求和公式，屬于中檔題.

5.答案：B

解析：

本題考查了三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

通過sin2a—J5cos2a=1,化為sin（2a—弓）=；,可得2a—g=2kzr+g或2/nr+兀-k￡Z.即可

32ooo

判斷出.

解：sin2a-V5cos2a=1，化為sin（2a-三）=：,

2a--=2kn+二或2kjr+n--keZ.

366t

當k=0時，可得a=?或得.

???usinla—\[3cos2a=1"是"a=必要不充分條件，

故選：B.

6.答案：C

fx—y+2>0

解析：解：由約束條件卜+y-4W0作出可行域如圖，

lx-3：/+3<0

聯立｛7;匯仁1解得C（13）,

化目標函數z=4x+8y為y=/O

由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，有最大值為

y=ZOCyz4x1+3x8=28.

故選：C.

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得

最優解的坐標，代入目標函數得答案.

本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題.

7.答案：C

解析：本題是一個新定義的題目，故依照定義的所給的規則對所四個函數進行逐一驗證，選出正確

的即可.

對于①，lf(x)l<m|M，顯然不成立，故其不是尸函數；

對于②，/(x)=sinx+cosx,由于％=0時，不成立，故不是F函數；

對于③，f(x)=-------，|/00|=—《U，故對任意的m,都有|f(x)|<|,

x*+x+lx+x+l3冬

故其是尸函數；

對于④，"%)是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數必，％2均有1/(/)-/(%2)1工2因一工21，

令X[=x,%2=0,由奇函數的性質知，/0)=0,故有|「(%)|V2|x|.顯然是F函數

故選Co

8.答案：B

解析：解：(1)由tanWg=si「C,得絲扁=sin(A+8)=2sin生Wcos絲月

2COS——22

rin?A-￥Bn,A+B4+8

HJsin—2—=2stn—2—cos~T

所以整理求得cosQl+F)=0

--A+B=90°.AtanA-cotB=tanA?tam4不一定等于1,所以(1)不正確.

(2)stn/l+sinB=sinA+cosA=V2sin(4+45°)

???45。V4+45°<135°,J<sin(A+45°)<1，

???1<sinA+sinB<V2?所以(2)正確.

(3)sin2i4+COS2B=sin2j4+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故(3)不正確.

(4)cos2i4+COS2B=cos2?!+sin2/!=1,sin2c=sin290°=1,所以cos??!+cos2B=sir12c.所以(4)

正確.

綜上知(2)(4)正確.

故選：B.

利用三角函數的相應公式分別進行化簡證明，即可判斷出答案.

本題主要考查三角函數的化簡與求值，考查學生的運算能力.

9.答案：D

解析：

設切點，求導函數可得切線方程，將A坐標代入，求得切線方程，從而可求實數Q的值.

本題考查利用導數求曲線的切線方程，考查導數的幾何意義，正確確定切線方程是關鍵.

解：設切點為P(Xo,瑞-3x0)

v/(x)=二一3%,二f'(x)=3X2-3,

3

???f(x)=x-3x在點PQo,瑞-3%0)處的切線方程為y-瑞+3x0=(3XQ-3)(x-x0),

把點4(0,16)代入，得16一焉+3x0=(3域-3)(0-x0),

解得/=-2.

???過點4(0,16)的切線方程為y=9x+16,

???a=9.

故選。.

1().答案：A

解析：試題分析：由一次函數的單調性取決于x的系數符號知，2k+l>0,

考點：本題考查了函數的單調性

點評：掌握常見基本函數的單調性是解決此類問題的關鍵

11.答案：C

解析:解:雙曲線C：m/+y2=1可化為外一與=1,

m

a=1?h=/---?c=11---,

A7myjm

■.?雙曲線C：加/+丫2=1的離心率為2代4>0),其中k為雙曲線c的一條漸近線的斜率,

11--=2K，

7myjm

???m=-3.

故選：c.

雙曲線C：+y2=1可化為y2一±二1,利用雙曲線C:m%2+y2=1的離心率為2k(k>0),

m

其中k為雙曲線C的一條漸近線的斜率，建立方程，即可求出m的值.

本題給出一個含有字母參數的雙曲線的標準方程，在已知其離心率的情況下求參數的值，著重考查

了雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題.

12.答案：B

解析：解：依題意得：當九二1時，有2s1=4。1+m,解得：ai=-y；

當九>2時，由2sti=40n+m=2Sn_1=4an_]+?n,

兩式相減可得：2an=4an-4an_1,

即：an-2an_lf

rl

故斯=a1?=-m-2-2：nan=-mn.2n

6

故數列｛7ian｝的前6項和為一9(1x21+2x22+3x23+.?.+6x2).

令X=1x2I+2x22+3x23+…+6x26@,則2X=1x22+2x23+-+6x心②,

由①-②可得：-X=2i+22+23+…+26-6x2,=-6x27=-5x27-2,

則X=642,

??.321=——642=—3

42

解得：m=-2.

故選:B.

先由題設條件得到：冊=2冊.「再由即=一￡求得M，進而求得加，，再由其前6項和等于321求

得m的值.

本題主要考查數列的通項公式的求法及前九項和的求法，屬于基礎題.

13.答案：:

4

解析：解：因為△ABC是正三角形，所以同?彳？=2x2cos6(T=2，

又因為401所以而?方=0，

不妨設前=Afi?(0<A<l),則比=(1-A)5C=(1-X)(AC-彳5)，

所以而DE=AD-(DC+CE)=AD-DC+AD-'CE=AD-DCf

又因為而二通+前=近+2元=而+入(而一而)=(1-2)通+2正，

所以而?屁=[(1一幻話+入配].[(1—㈤前一(1-A)A3]=(1-4)2ABAC-(1-A)2彳/+

1(1-A)AC2-A(1-A)AC-AB

=-4A2+61-2=-4(4一，+：(0<1<1),

所以當a時，HD|"Z)E|取最大值%

故答案為：:.

4

設瓦5=a臉(owa工1),用a以及題目中特殊向量而?近=2,而?詬=o來表示而?屁，再求

最值.

本題考查向懸在幾何圖形中的應用，應用加法，減法，共線向量去表示，屬于中檔題.

14.答案：0

解析：解：直線QX+y-2=0與圓心為C的圓(％-1)2+(y-Q)2=竽相交于A,B兩點、,

且△ABC為正三角形，

圓心。(l,a),半徑r=J^二竽，

???圓心到直線ax+y-2=0的距離d=若圣=J(竽)2—(憐2,

解得Q=0.

故答案為：0.

推導出圓心。(l,a),半徑丁=舟=竽，圓心到直線ax+y-2=0的距離4=器詈=

J(竽)2_(竽)2,由此能求出a的值.

本題考查實數值的求法，考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，

考查函數與方程思想，是中檔題.

15.答案：8V3

解析：

此題考查了多面體側面展開的問題，屬基礎題.

需把三棱錐惻面展開，因為爬行兩周，故需展開兩次成并列的六個三角形，利用兩點之間線段最短

得解.

解：需要把三棱錐側面展開兩次，

形成共頂點的六個等腰三角形，如圖：

A

線段的長度即為螞蟻爬行的最短路程，

由己知可知S4=SA=8,

Z-ASA'=120。，

求得=y/AS24-yl'S2-2SA-SA,cos/,ASA,=8百.

故答案為8Vs.

16.答案：③

解析：

本題考查四種命題的關系與真假判定.對各個命題逐一判斷，進而得出答案.

2

解:①“若a—<bm,則Q<解的逆命題為:

“若Q<b,^am2<bm2>,,為假命題；

②““全等三角形的面積相等”的否命題是：

若兩個三角形不是全等三角形，則這兩個三角形的面積不相等，它是假命題;

③“若qW—l,則/+%+q=0有實根”為真，其逆否命題為真；

④a=0時，函數/(無)=a/+2%-1只有一個零點，故④為假命題.

故答案為③.

17.答案：解:(/)；a=[c+bcosC.

由正弦定理可得，sinA=+sivRcosC

???A="一(8+C)

???sinA=sin(B+C)

?*.sinBcosC+sinCcosB=-sinC+sinBcosC

2

即cosB=1

8=；7T

3

(//)vShABC=V3

-,-；acsin7=V3

23

???ac=4

由余弦定理可得，b2=a2+c2-ac

(a+c)2=b2+3ac=25

二a+c=5

解析：(/)由已知結合正弦定理可得，sim4=gsinC+sinBcosC,而4=兀一(B+C),代入后利用兩

角和的正弦公式展開可求cosb,進而可求8

(〃)由已知結合三角形的面積公式可求ac,然后由余弦定理可得，川二小+c2一m可求

18.答案：解：(1/2=25X(56X11)2=2.932>2.706,

'/16x9x11x14

由此可知，有90%的把握認為對這一問題的看法與性別有關；

(2)(團)記題設事件為4則

所求概率為PG4)=戲"，兔=￡；

《1616

(ii)根據題意，X服從超幾何分布，p(x=k)=隼一，k=0,1,2,3,

C9

X的分布列為

X0123

51531

p

212MU84

X的期望E(X)=0x^+1x^+2x^+3x2=1.

，工OQ

解析：⑴由題設知K2=-2.932>2.706,由此得到結果;

xoxvx1.，x!■q

(2)(i)記題設事件為人利用組合數公式得P(A)=喀學之，由此能求出事件“男士和女士各至少

C16

有1人發言”的概率；

(ii)根據題意，X服從超幾何分布，P(X=@=竿=k=0,1,2,3.由此能求出X的分布列和期

望.

考查獨立性檢驗、互斥事件的概率、超幾何分布、分布列、期望，以及分析解決實際問題的能力?

19.答案：(1)證明:因為側棱AilJjg面ABCD,

48<3平面48。。，ADu平面ABC。，

所以<1力148,A^IAD,ABLAD,所以力0,AA^/IB兩兩互相垂直，

以力為坐標原點建立空間直角坐標系，

%(0,2,2),G(l,2,l),C(l,0,l),E(0,l,0),5(0,0,2),

BC=(l,0,-l)?CE=(-1,1,-1)-

BCCE=1x(-1)+0x14-(-1)x(-1)=0，

所以近1而，所以近ICE，又CG〃力遇，所以CG1底面A8C。，

則。C±CCr,CEACCX=C,CE,CCiu平面。。迷，所以SC_L平面。6以

(2)解：西=(-1,2,1),鬲二(0,2,0)，

設平面CEB1的一個法向量為記=Oi，yi，zD，

設平面CQBi的一個法向量為充=(均乃0)，

3yj

(Xi=~r

z1=-f

令=2,則％i=3,Zi=-1,所以沆=(3,2,-1),

(n-CC^=O=(2y2=0.仍=0

f

[沅?西=0?一3+2y24-z2=0[z2=x2

令型=1，則Z2=1，所以記=(1,0,1),

所以cos師㈤=露=旃端E=今

所以sin〈沆，歷)=年,

所以二面角9-R.C-6的TF弦值為苧.

解析：⑴建系，證明詼1CE，同時利用CQ底面4BCD,得到8C1CQ,最后根據線面垂直的判

定定理可得結果.

(2)分別得到平面CEB】、平面CGa的一個法向量，然后根據空間向量的夾角公式計算即可.

本題主要考查線面垂直的證明，二面角的余弦值的求解，空間向量的應用等知識，屬于中等題.

20.答案：解：(I)因為/(%)=QX-，nx,f\x)=a-x>0,aeR,

若QWO,則/(%)V0對x>0恒成立，

所以，此時/(%)的單調遞減區間為(0,+8);

若a>0,則令/(；0=氣匚>0時，解得

尸。)<0時，解得0<%<，

???/(無)的單調遞減區間為(0,》，單調遞增區間為(1+8)：

綜上:當aWO時，/(%)在(0,+8)上單調遞減;

當Q>0時，/(%)在(0,》上單調遞減，在(；,+8)上單調遞增.

(口)證明：令g(x)=/(%)-2ax+xeaxT=xeaxT-ax-Inx,x>0,

則g'(%)=eax~x+axeax~r~a~~=(ax+l)(eax-1—，，

由于〃"1-2.=記上,

XX

設r(x)=%e2T_i,r'[x}=(1+ax)eax-1,

由QE(-co,-月,令/(%)>0=1+QX>0=%<-5,

所以r(x)在(0,-6上單調遞增：

由r'(x)<0=>l+ax<0=>x>所以r(x)在(一\,+8)上單調遞減.

???r(》)max=M—：)=一(泵+1)

,??。工-專，

T(X)max《。，

X

則g(x)在(0,-》上單調遞減：在(一1+8)上單調遞增，

???gWmin=。(一)

設t=-'€(0,e2],g(-}-h(t)=Int+1(0<t<e2),

hf(t)=<0,九⑴在(0,/]上遞減，

???h(t)>h(e2)=0；

g(x)>0,

故f(x)>2ax-xeax~x.

解析：本題考杳了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，考查分類討論，屬于難題.

(I)求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間；

(II)先移項構造函數g(x)=fix')—2ax+xeax~x=%eax-1-ax-Inx,通過研究g(x)的單調性,即

問題轉化為求證g(x)的最大值大于等于。即可.

21.答案：解：(1)不妨設a(—c,0),F2(G0),9(0方),

則I瓦E+瓦瓦I=2b=2,b=1,

則麗?砧=-c2+b2=-2，則c=V5，

d1=b2+c2=4,

???橢圓C的方程9+y2=i；

(2)當直線k與%軸重合時,則A(-2,0),B(2,0),C(1凈,0(1,-多

則就?麗=2x1x更乂包=受，

224

當直線直線港不與3軸重合時，設直線％=my+1,4(%1，%)，B(x2,y2\

???{；2二；己4,整理得：(/+4)丫2+2叼-3=0,

?_2m3(m2+l)

.?月+乃一一訴，為力=-^才，

AC-DB=(MC-MA)(MB-MD)=

AM=(%1-L%)=(myi.y。，麗=(x2-Ly2)=(my2，%)，

-AM-MF=-(m2+1)乃力二多7),

3(l+m2)

由直線21與直線。相互垂直，則-祝?而=

l+4m2

則正?麗=一砒?麗一麗7?麗,

3(l+m2)3(m2+l)_15(m2-H)215(m2+i)2_I2

i+4m2m2+4(m2+4)(l+4m2)—(5癡+5尸—5

當且僅當6=±1時，取"=”，

.?.萬?麗的最小值號.

解析：（1）由向量的加法可知I瓦耳+瓦瓦I=2b=2,則6=1,則瓦耳?瓦瓦=-：2+方2=一2,

求得C,則/=墳+。2=4,即可求得橢圓方程；

（2）分類，直線，I與x軸重合時，求得力，B,C和。點坐標，即可求得前?麗的值，當直線直線人不與

%軸重合時，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，向量數量積的坐標運算前.麗=-祝.

前-初（?麗，利用基本不等式的性質即可求得彳？?麗的最小值.

本題考查橢圓的標準方程及性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量坐標運算，考查計

算能力，屬于中檔題.

22.答案：解：（1）直線［的極坐標方程為。=%所以直線斜率為1,直線&y=x；

曲線C的參數方程為匕二%（8為參數），消去參數。,

（y—sintz

可得曲線C：x2+y2=1,

x=x0+^-t

（2）設點M（&.yo）及過點M的直線為人:（為參數）,

Vzt

y=yo+yt

由直線與曲線相交可得：產+XQ

LiCy/2(x0+y0)t4-4-yo—1=0?

因為|M*?|MB|=3

所以|以+y很一1|=3,即：/+犬=4,

(y=x+m,

]?2i=2x2+2mx+m2-1=0

(x2+y2=1

由4>0=—&<m<y/2

故點M的軌跡的直角坐標方程為：/+y2=4（夾在兩直線y=%土企之間的兩段圓弧）

解析：（1）根據題意，由極坐標方程的定義可得直線I的方程，對丁?曲線C的參數方