2022中考數學專題復習：開放探究題

I.類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完

整.

原題：如圖1,在平行四邊形488中，點E是8c的中點，點尸是線段4E上一點，砂的延長線交射線

C。于點G.若空=3,求g2的值.

（I）嘗試探究

在圖1中，過點E作EH//AB交BG于點、H,則AB和石”的數量關系是,CG和￡77的數最關

系是_________，號CD的值是_________?

CG

（2）類比延伸

Aprn

如圖2,在原題的條件下，若蕓=/〃（〃?>0）,則彳的值是（用含有加的代數式表示）,試寫

hrCG

出解答過程.

（3）拓展遷移

AR

如圖3,梯形A3CQ中，ZX7/48,點E是BC的延長線上的一點，A石和3。相交于點F.若而="

條（?>0^>0）,則空的值是

b,（用含〃的代數式表示）.

uE匕上

(1)如圖1,點D為邊BC上一點，以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE,求證：CEQAB.

(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上時，以AD為邊作等邊三角形ADE,求證：無論點D的位置如

何變化，「ADE的內角平分線的交點P始終在［:B的角平分線上.

(3)如圖3,以AC為腰作等腰直角三角形ACD,取斜邊CD的中點E,連接AE,交BD于點F試判斷

線段BF,AF,DF之間存在何種數量關系，并證明你的結論.

3.綜合實踐

數學課上，各小組進行了特殊四邊形的探究活動,如圖所示，在AA8C中，分別以AB,AC,BC為邊在

3c的同側作等邊三角形4?以等邊三角形ACE,等邊三角形BCF.

(1)奮進小組發現：四邊形6止廠是平行四邊形，請你完成證明;

(2)當四邊形是矩形時，求/相。的度數;

(3)當四邊形D煙是菱形時，若ND4E=120。,請直接寫出3C與。尸之間的數量關系.

4.某學習小組在探究三角形全等時，發現了下列兩種基本圖形，請給予證明.

(1)如圖1,AC與BD交于點O,ABDCD,AB=CD,求證：0A=0C.

(2)如圖2,已知：在匚相。中，［MC=90。，AB=AC,直線/經過點4口直線/,CE□直線/,垂

足分別為點。、E.求證：BD=AE.

(3)數學老師贊賞了他們的拱索精神，并鼓勵他們用圖1或圖2的基本圖形來解決問題：如圖3,把一塊

含45。的直角三角板川無？(即是等腰直角三角形，ZC=90,AC=3C)繞點A逆時針旋轉后成為

MDE、已知點8、C的對應點分別是點。、E.連結BO，并作射線CE交80于點尸，試探究在旋轉過程

中，DF與BF的大小關系如何，并證明.

5.某學校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

操作發現：

(1)如圖1,分別以月8和月C為邊向山18c外側作等邊」川切和等邊」力"，連接8E、CD,請你完成作

圖并證明4GCD(要求：尺規作圖，不寫作法但保留作圖痕跡)

類比探究：

(2)如圖2,分別以48和4為邊向EM8C外側作正方形力直犯和正方形4CFG,連接CE、8G,則線段

C￡、4G有什么關系？說明理由.

靈活運用：

(3)如圖3,在四邊形力8。。中，AC.是對角線，AB=BC,□力8c=60。，LLWC=30。，4)=3,

80=5,求CQ的長.

6.綜合與探究

問題情境：如圖，已知0c平分NAO3,CD_LOA于點。，￡為￡)。延長線上一點，EF工0B于點、F,EG

平分ZDEF交。4于點G,/DEF+ZAOH=180°.

問題發現：(1)如圖1,當乙4。8=90。時，Zl+Z2=1

(2)如圖2,當NAO8為銳角時，N1與N2有什么數量關系，請說明理由;

拓展探究

(3)在(2)的條件下，已知直角三角形中兩個銳角的和是90。，試探究。。和GE的位置關系，并證明結

論；

（4）如圖3,當NAO/3為銳角時，若點E為線段OC上一點，EFLOB于點凡EH平分NDEF交0A于

點〃，NDEF+NAOB=180°.請寫出一個你發現的正確結論.

7.如圖1,在平面直角坐標系中有長方形Q18C,點C（0,4）,將長方形048c沿4c折疊，使得點3落在

點。處，C"邊交x軸于點&ZCMC-30".

（1）求點。的坐標；

（2）如圖2,在直線力C以及y軸上是否分別存在點M,N,使得△EMN的周長最小？如果存在，求出

△EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；

（3）點尸為y軸上一動點，作直線4P交直線CO于點。，是否存在點，使得△CP。為等腰三角形？如果

存在，請求出NO/P的度數；如果不存在，請說明理由.

8.【原題初探】（1）小明在數學作業本中看到有這樣一道作業題：如圖1,P是正方形A8CO內一點，連

結附，PB,PC現將繞點?順時針旋轉90。得到的SC8,連接尸P.若PA=6,PB=3,

4尸4=135。，求PC的長和正方形/WCO的邊長.

D

【變式猜想】（2）如圖2,若點，是等邊AA8C內的一點，且PA=3,PB=4,PC=5,請猜想NA/2的度

數，并說明理由.

【拓展應用】（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3,在

四邊形ABCQ中,AO=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,請求出80的長度.

9.問題：如圖（1）,點M、N分別在正方形4?。的邊AC、C。上，ZMAN=45°,試判斷BM、MN、

NQ之間的數量關系.

（1）研究發現

如圖1，小聰把△力ON繞點力順時針旋轉9（）。至/XABG,從而發現8必、MMON之間的數量關系為

（直接寫出結果，不用證明）

<2）類比引申

如圖2,在（1）的條件下，AM,4V分別交正方形48co的對角線BQ于點￡、F.已知所=5,DF=

4.求4E的長.

（3）拓展提升

如圖3,在（2）的條件下，AM.4V分別交正方形48co的兩個外角平分線于。、P,連接P。.請直接

寫出以4。、P。、。產為邊構成的三角形的面積.

10.如圖，四邊形48co是菱形，點M在CD邊匕點N在菱形A8CO外部，且滿足MN//AD,

CM=MN,連接AN,CN,取AN的中點E,連接班;，AC.

（1）探究座與AC位置關系.

（2）若N42C=120。，探究線段跖、AO與CM的數量關系，并說明理由.

（3）若NA6C=60。，M在。C的延長線上時，其余條件不變，CM=1,AD=3,請求出跖的長度.

11.【認識新知】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

【概念理解】（1）如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,C4=C。，問四邊形ABCD是垂美四邊形

嗎？請說明理由；

【性質探究】（2）如圖2,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,AC1BD.

①若OA=1,0B=5?0C=7,0D=2,則AB;CD、：AD2+BC2=

②求證：AB2+CD2=AD2+BC2;

【解決問題】(3)如圖3,ziACB中，/ACB=90。，AC_LAG且AC=AG=4,AB_LAE且

AE=AB=5,連結CE、BG、GE.則GE=

圖1圖2圖3

12.己知，在△ABC中，DABC=90°,AB=BC=2,點0是邊AC的中點，連接OB,將"OB繞點A順

時針旋轉a。至AANM,連接CM,點P是線段CM的中點，連接PB,PN.

（1）如圖1，當a=180時，請直接寫出線段PN和PB之間滿足的位置和數量關系；

（2）如圖2,當0VaV180時.請探索線段PN和PB之間滿足何位置和數量關系？并證明你的結論；

（3）當AAOB旋轉至C,M,N三點共線時，線段BP的長為.

13.已知A(m,n),且滿足|，〃-2|+(〃-2)2=0,過A作ABDy軸，垂足為B.

y

（2）如圖1,分別以4/?,A。為功作等功A43C和A4OO,試判定線段AC和OC的數量關系和位善關

系，并說明理由;

（3）如圖2,過A作AEJ_.i軸，垂足為七，點r、G分別為線段OE、AE上的兩個動點（不與端點重

合），滿足"G=45。，設"AAG"FG=c,試探究方的值是否為定值？如果是求此定值；如

果不是，請說明理由.

14.如圖1,已知直角三角形ABC,ZACZ?=90°,/BAC=30。，點。是AC邊上一點，過。作OE_LAB

于點E,連接80,點尸是8。中點，連接EE,CF.

（1）發現問題：

線段石尸，C尸之間的數量關系為：NEFC的度數為:

（2）拓展與探究：

若將△曲繞點A按順時針方向旋轉。角（0。＜。＜30。），如圖2所示，（1）中的結論還成立嗎？請說明理

由；

（3）拓展與運用：

如圖3所示，若△AED繞點A旋轉的過程中，當點。落到A8邊上時，AB邊上另有一點G,

AD=DG=GB,BC=3,連接EG,請直接寫出EG的長度.

圖1圖2圖3

15.在等邊AA3C的兩邊48、4c所在直線上分別有兩點A/、N,。為aABC外一點，且NMON=6(Y,

ZBDC=120\BD=DC.探究：當M、N分別在宜線48、ZC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系

及AAMN的周長0與等邊AA8C的周長上的關系.

圖3

(1)如圖1,當點M、N邊4B、47上，且OA/=QNH寸，BM、NC、之間的數量關系是

此時￥=

L

(2)如圖2,點M、N邊力夙AC±.,且當。加工ON時,猜想(1)間的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜

想并加以證明;

(3)如圖3,當M、N分別在邊力8、。的延長線上時,若AN=x,則Q=.(用工、L表

示).

16.問題探究：如圖1,在△mC中，點。是4C的中點，DE工DF,DE交AB于點E,DF交AC于匕F,

連接

(1)BE、b與E產之間的關系為：BE+CF_EF；(填“>”、"=”或“<”)

(2)若4=90。，探索線段BE、CF、所之間的等量關系，并加以證明.

(3)問題解決:如圖2.在四邊形A8OC中，N8+NC=180,08=Z)C,N80C=130。以。為頂點作

NE。尸=65。,NK。廠的兩邊分別交A3、AC于區F兩點、,連接麻，探索線段BE、CF、"'之間的數量關

系，并加以證明.

17.如圖，在矩形/WCQ中，AB=afBC=b,點/在0c的延長線上，點E在A。上，且有

BE=BF,

(2)如圖2,當人=］〃時，

□請直接寫出448石與N8FC的數量關系：

匚當點E是A。中點時，求證：CF+BF=2a；

［在匚的條件下，請直接寫出“叱：S矩形ABCD的值.

18.直線MN與尸。相互垂直，垂足為點0,點A在射線刃上運動，點8在射線OW上運動，點A、點8

均不與點。重合.

(1)如圖1，4平分/8AO,B/平分4BO,若NB4O=40。，求NA出的度數;

(2)如圖2,4平分/BAO,平分NAHM,AC的反向延長線交4于點。.

□若N3AO=40。，貝1］乙4￡厲=度(直接寫出結果，不需說理);

□點A、8在運動的過程中，乙位＞8是否發生變化，若不變，試求NAOB的度數：若變化，請說明變化規

律.

（3）如圖3,已知點E在雨的延長線上，/84。的角平分線A/、/OAE的角平分線”與/BOP的角平

分線所在的直線分別相交于的點。、F,在△相）/中，如果有一個角的度數是另一個角的4