2021年高考數(shù)學(xué)一模試卷（43）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.點(diǎn)P（l,2,3）關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-1,2>3）B.（1,—2,—3）C.（―1,—2,—3）D.（1,2,—3）

2.直線％十V3y=1的傾斜角為（）

AfB.自CtD..

3.設(shè)mb,。是空間三條直線，a,。是空間兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不成立的是（）

A.當(dāng)cla時(shí)，若cl￡,則。〃。

B.當(dāng)bua時(shí)，若610,則a1/7

C.當(dāng)bua,且c是。在a內(nèi)的射影時(shí)，若b1c,則a_Lb

D.當(dāng)bua,且c<ta時(shí)，若。〃a,則b〃c

4.某校高一學(xué)生選課時(shí)，要求從政治、地理、化學(xué)、生物四門課程中選擇兩科進(jìn)行選修，甲乙兩

人所選課程中完全不同的選法的種數(shù)是（）

A.36B.24C.12D.6

5.橢圓m/+ri/=1與直線％+y-1=o相交于其，B兩點(diǎn),過(guò)48中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的

斜率為弓，則三的值為（）

A.立B.獨(dú)C.1D.2

23

6.已知四棱錐P—718C0的各條校長(zhǎng)均為13,M、N分別是P4、8。上

的點(diǎn)，且尸例：MA=BN：NO=5：8,則線段MN的長(zhǎng)為（）

A.5

B.6

C.7

D.8

7.已知直三棱柱ABC-4181cl中,乙48c=120。，AB=BC=CCX=1,則異面直線4述與BC】所

成角的余弦值為（）

A.B.C.匹D.心

4444

8.已知雙曲線J=l（b>0）離心率是西，那么b等于（）

41產(chǎn)2

A.1B.2C.V5D.2V5

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20.0分）

9.發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對(duì)把卵形線描繪成軌道有興趣.像笛卡爾卵形線?樣，

笛卡爾卵形線的作法也是基于對(duì)橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡西尼卵

形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù).已知：曲線。

是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和尸2（1，0）的距離的積等于常數(shù)。2伍>1）的點(diǎn)的軌跡，則下列命題

中正確的是（）

A.曲線。過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

D.若點(diǎn)在曲線C上，則AF】PF2的面積不大于;a?

10.已知點(diǎn)A,5的坐標(biāo)分別是（-1,0）,（1,0）,直線A,8相交于點(diǎn)M,且它們的斜率分別為七，心，下列

命題是真命題的有（）

A.若自+七=2,則M的軌跡是橢圓（除去兩個(gè)點(diǎn)）

B.若自一七=2,則M的軌跡是拋物線（除去兩個(gè)點(diǎn)）

C.若自?七=2，則M的軌跡是雙曲線（除去兩個(gè)點(diǎn)）

D.若自+&=2，則M的軌跡是一條直線（除去一點(diǎn)）

11.如圖，在三棱錐P48C中，已知PA1平面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，:

D,E分別為PB,PC的白點(diǎn).若P4=2,則下列說(shuō)法正確的是（）訟弋

A.直線AE■與所成角的余弦值是:4肥二

B

B.直線DE〃平面/WC

C.平面PAB1平面48c

D.直線。E1平面PBC

12.己知雙曲線氏會(huì)\=l（a>0,b>0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)P咨片），點(diǎn)尸為雙曲線后的右焦點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線￡的離心率為平

B.雙曲線E的漸近線方程為％土&y=0

C.若點(diǎn)尸到雙曲線E的漸近線的距離為則雙曲線￡的方程為蘭一1

42

D.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P。=PF,KUP。產(chǎn)的面積為超

2

三'填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.C.

14.已知雙曲線馬-號(hào)=1的離心率為2,那么該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)___.

a2b2

15.已知圓G：(%-2)2+3-1)2=10與圓。2：(%+6)2+3+3)2=50交于4B兩點(diǎn),則公共

弦48的長(zhǎng)是.

16.已知球。的內(nèi)接正方體力BCD-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸在線段BQ上，過(guò)點(diǎn)P垂直于BD】的

平面截球。所得的截面圓的面積為：兀，則線段P3的長(zhǎng)為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知月(2,1),3(3,2),0(-1,4),且歸+同=前，求與前的夾角的余

弦值.

18.已知點(diǎn)P(2,0)及圓C：x2+y2-6x+4y=0,若過(guò)點(diǎn)P的直線/與圓。交于M,N兩點(diǎn)，且

\MN\=4V2,求直線/的方程.

19.如圖，在四棱錐A-BCED^,AD1底面BCED,BD1DE,乙DBC=乙BCE=60。,BD=2CE=2.

(1)若/是A。的中點(diǎn)，求證：EF〃平面A8C

(2)若=求BE與平面ACE所成角的正弦值.

20.某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(如圖1)將河兩岸的路連接起來(lái)，剖面設(shè)計(jì)圖紙(圖2)如

下，

其中，點(diǎn)A,￡為工軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，曲線段3co是橋的主體，C為橋頂，并且曲線

段SCO在圖紙上的圖形對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為丫=備。6[-2,2]),曲線段AB,OE均為開(kāi)口向

上的拋物線段，且A,E分別為兩拋物線的頂點(diǎn).設(shè)計(jì)時(shí)要求：保持兩曲線在各銜接史(8,。)的

切線的斜率相等.

(1)曲線段A3在圖紙上對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式，并寫出定義域；

(2)車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過(guò)程中某點(diǎn)P所需要的爬坡能力為：用=(該點(diǎn)2與

橋頂間的水平距離)x(設(shè)計(jì)圖紙上該點(diǎn)P處的切線的斜率)其中Mp的單位：米.若該景區(qū)可提

供三種類型的觀光車:①游客踏乘;②蓄電池動(dòng)力：③I人.燃機(jī)動(dòng)力，它們的爬坡能力分別為0.8米,

1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示實(shí)際長(zhǎng)度1米，試問(wèn)三種類型的觀光車是否都可

以順利過(guò)橋？

21.如圖，已知四邊形A8C。為梯形,AB//CD,"AB=90。，BOD/i為矩形，平面BDD/i1平

面A8CO,又48=8a=1,CD=2.

(1)證明:CB1LADV

(2)求&到平面ACDi的距離.

22.設(shè)橢圓C：各卷=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(企,0),四條直線3土a,y=±b所圍成的區(qū)

域面積為4百.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)過(guò)。(0,3)的直線，與C交于不同的兩點(diǎn)4、B,若以弦A8為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,求

直線/的方程.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題考查空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)縱橫坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)4(1,2,3)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解:點(diǎn)4(1,2,3)關(guān)于xQy平面的對(duì)稱點(diǎn)，

縱橫坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即所求的坐標(biāo)(1,2,-3),

故選：D.

2.答案：B

解析：解：設(shè)直線的傾斜角為

由題意直線的斜率為-3，

3

HPtana=一澤

57r

a=-6.

故選：B.

設(shè)出直線的傾斜角，求出斜率，就是傾斜角的正切值，然后求出傾斜角.

本題考杳直線的傾斜角、直線的斜率，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

3.答案：B

解析：

分別寫出其逆命題再判斷，小由面面平行的性質(zhì)定理判斷.仄也可能平行或相交.C、由三垂線定

理判斷.。、由線面平行的判定定理判斷.

解：4、其逆命題是：當(dāng)cla時(shí)，或。〃/?,則cl/7,由面面平行的性質(zhì)定理知正確.

B、其逆命題是：當(dāng)bua,若a_!,/?,則b1%也可能平行、相交，不正確.

C、其逆命題是：當(dāng)力u*且c是。在a內(nèi)的射影時(shí)，若QJ.8,則b_Lc,由三垂線定理知正確.

D、其逆命題是：當(dāng)bua,且cCa時(shí)，若b〃c,則c〃a,由線面平行的判定定理知正確.

故選8.

4.答案：D

解析：

本題考查組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.由選課方法共有或廢=6種，可得結(jié)果.

解:由于甲乙兩人所選課程完全不同，則選課方法共有盤廢=6種，

故選。.

5.答案：A

解析：

題主要考查了直線與橢圓相交的位置關(guān)系，在涉及到與弦的斜率及中點(diǎn)有關(guān)時(shí)的常用方法有兩個(gè)：

①聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)方程求解；②利用“點(diǎn)差法”，而點(diǎn)差法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，注意應(yīng)用.

（法一）設(shè)/（“1，、1），8（科為），M（%o，yo）由此/=&=手①，=_1②及”,N在橢圓上，可得

XQ2人2人1

（法二）4（%,%）,8（必,月），M（&,y。），聯(lián)立方程，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系可

求/+%2，進(jìn)而可求yi+丫2=2-（%+%2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，入o=2臺(tái)，y°="產(chǎn)，由題

xuQ-m+-n

解：設(shè)A(/,yi),8(%2，為)，MQo，%),

由A13的中點(diǎn)為M可得%+必=2x0,7i+y2=2yo.

mxl+nyl=1

由4,8在橢圓上，可得

jnxl+nyl=1

兩式相減可得mQi-％2)(%i+x2)+n(y1-y2)Oi+7z)=。③，

-

把①②代入③可得m(%i-x2),2%0n(Xi-x2)-2y0=0,

整理可得二=

故選人

（法二）設(shè)力（%21），8a2，，2），M（%,yo）

聯(lián)立方程I：；j1n1可得(m+n)x2-2nx+n-1=0

.2n.c/?、2m

..%+小=,'yi+y2=2-(x1+x2)=—,

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，出=牛=號(hào)，、。=守=3三,

VM與坐標(biāo)原點(diǎn)的宜線的斜率為它，

2

故選：A.

6.答案：C

解析:解：四棱錐P-力BCD的各條棱長(zhǎng)均為13,加、川分別是尸.4、8。上的點(diǎn)，且日力：用4=BN：ND=5：

8,

可得PA180,Z.PAB=60°,Z.ABD=45°,MA=8,AB=13,BN=Sa，

MN=MA+AB+BNf

：,MN2=(MA+AB+BN)*

22122^—4

MN=~MA+AB+~BN4-2AM-AB+2MA-'BN+2AB-~BN=824-1324-(5V2)2+2x8x

13x(-1)+2x13x5V2x(-y)+0=49.

???|MN|=7.

故選：C.

利用已知條件求出AM,BN,通過(guò)空間向量的數(shù)量積去MN即可.

本題考杳空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，注意向量的夾角是解題的關(guān)鍵.

7.答案：A

解析：解：以8為原點(diǎn)，在平面ABC中過(guò)B作8c的垂線

交人C于D,

以B。為x軸，以為)，軸，88］為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

?.?直三楂柱718C—A/iG中，乙ABC=120。，AB=BC=

Cg=1,

y

.?.A(今W，0)，為(0,0,1),6(0,0,0),Ci(0,1,1),

福=(一日g,l),M=(OJ，1)，

設(shè)異面直線力當(dāng)與線BQ所成角為e,

則cos。==--

IA81H8C/42X[24

??.異面直線4%與線AG所成角的余弦值為q.

故選A.

以8為原點(diǎn)，在平面A4C中過(guò)4作BC的垂線交AC于。，以6。為x軸，以4C為)，軸，BB]為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB】與線BG所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成的角的求法，考查空間中線線、線面?、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.答案：A

解析：

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由雙曲線?一，=1(5>0)離心率是色，可得Q=2,c=瓜即可求出〃的值.

解：?.?雙曲線雙曲線5-2=1(匕>0)離心率是當(dāng)

：,a=2,c=V5?

:.b=V5—4=1，

故選A.

9.答案：BCD

解析；

本題考查新定義，考查軌跡方程的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用新定義是解題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意可得曲線C的方程為+I)2+y2]-[(x-I)2+y2]=a4,對(duì)各個(gè)選

項(xiàng)逐一驗(yàn)證，即可得出結(jié)論.

解：由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q,y),

則+1)2+y2?_])2+y2=Q2,

22

EP[(X+I)+y].[(x-1)2+y2]=Q4,

若曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),將點(diǎn)(0,0)代入曲線C的方程中可得=1與已知a>1矛盾,

故曲線C不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

把方程中的x被-％代換，)，被-y代換，方程不變，

故曲線C關(guān)「坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；

因?yàn)榘逊匠讨械墓け?工代換，方程不變，故此曲線關(guān)于)，軸對(duì)稱，

把方程中的)，被-y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，

故曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故C正確；

若點(diǎn)/在曲線C上,則IPF/IPFzl=。2,

2

S^lPFz=^\PF1\\PF2\sin^F1PF2<^a,當(dāng)且僅當(dāng)NF/F?=90。時(shí)等號(hào)成立，

故△&戶后的面積不大于故。正確.

故選：BCD.

10.答案：BCD

解析：

本題主要考查了利用交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

設(shè)點(diǎn)MQ,y),根據(jù)條件寫出直線AM和直線4M的方程并聯(lián)立消參，得到點(diǎn)〃的軌跡方程，逐個(gè)判

斷檢驗(yàn)即可.

解：不妨設(shè)點(diǎn)M(x,y),

選項(xiàng)A不妨設(shè)k1=k,k2=2-k,則有憂

消去參數(shù)左得，y=x-i,x^±l,所以A不正確；

選項(xiàng)B,不妨設(shè)k1=k,kz=k-2,則有憂沈U-l)，

消去參數(shù)&得，y=l-x2,XH±1,所以B正確；

選項(xiàng)C,自/2=2=W?三，整理得/一1=1,%=±1，所以C正確；

選項(xiàng)。，七+的=2=￡?(，整理得“=-3,y/0,所以。正確.

故選：BCD.

11.答案：ABC

解析：

本題主要考查立體幾何問(wèn)題，建立空間直角坐標(biāo)系，即可解得第一個(gè)選項(xiàng)，利用線面平行判定定理

證明即可，利用線面垂直的判定定理即可證得.

【解得】

解：對(duì)于A,取AC的中點(diǎn)凡連接8F,

如圖，則8尸14C,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)人且與修平行的直線為x軸，AC為y軸，人P為Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

M71(0,0,0),F(V3,h0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,l,1),

從而而=(V5,1，-2),近=(0,1,1),

設(shè)直線人石與尸。所成的角為6,cos。=|點(diǎn)篇|

即直線AE與P/3所成角的余弦值為g

4

故A正確；

因?yàn)椤＃珽分別為PB,PC的中點(diǎn)

所以。因?yàn)镺EC平面ABC,BCu平面48C

所以直線DE〃平面A8C,故B正確；

因?yàn)镻41平面A8C,P4u平面PA4

所以平面P4B1平面ABC,故C正確；

因?yàn)镺Eu平面尸BC,所以。錯(cuò)誤；

12.答案：ABC

解析：

【試題解析】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，逐項(xiàng)求解即可.

解:由題意，雙曲線E：,-.=19>0,5>0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)「慮凈,

所以漸近線方程為y=土孝匯,所以3選項(xiàng)正確；

所以"容離心率e=：=/學(xué)==凈

所以A選項(xiàng)正確；

若點(diǎn)F到雙曲線E的漸近線的距離為企，

可得b=&，a=2,

則雙曲線E的方程為次一二二1,所以C選項(xiàng)正確；

42

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PO=PA,P(當(dāng)凈,

所以F(6,0)，

SAPOF=H顯義曰=當(dāng)，用以。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選ABC.

13.答案:21

解析：解：=好=等=21

ZX1

故答案為：21

由組合數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式可得。=行=能，計(jì)算可得.

ZX1

本題考查組合數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

14.答案：V3x±y=0.

解析：

利用雙曲線的離心率求出〃、“關(guān)系，然后求解雙曲線的漸近線方程.

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

解:雙曲線]一[=1的離心率為2,可得：=2,即：號(hào)=4,

a2b2Qa2

可得2=V3,

a

該雙曲線的漸近線方程為：V3x±y=0.

故答案為：＞/3x±y=0.

15.答案:2Vs

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

由已知中圓Cl：(x—2)2+8-1)2=10與圓C2：(%+6)2+3+3)2=50的方程,我們將兩個(gè)方程

相減，即可得到公共弦43的方程，然后根據(jù)半弦長(zhǎng)與弦心距及圓半徑，構(gòu)成直角三角形，滿足勾股

定理，易求出公共弦人B的長(zhǎng).

解：易知圓C1：2)2+(y-1)2=10與圓Q：(x+6)2+8+3)2=50的公共弦A8的方程為

2x+y=0

???圓Ci：(x-2)2+(y-l)2=10的圓心(2,1)到直線2x+y=0的距離d=：；；；；=V5,且半徑

r=

???公共弦AB的長(zhǎng)為2"二/=2J(Vi0)2-(V5)2=2V5-

故答案為：2V5.

16.答案：包或獨(dú)

33

解析：解：如圖所示，由題意可知B￡)i是球的直徑，尸是截面圓的圓心，設(shè)O為球心，M為截面圓

上任一點(diǎn)，

可知?jiǎng)t0M=R,由已知得2R=V5,R=?，

設(shè)截面圓的半徑為八則正二拳..，2裳.

...OP=V/?2—r2=/---=—?

D1

PB=R-OP

263

或P8=R+OP=—+—=—.

623

故答案為：產(chǎn)或手.

根據(jù)題意可知，是球的直徑，戶是直徑的一點(diǎn)，因?yàn)榻孛媾c8名垂直，所以PB即為球心到。的

距離加上半徑，或半徑減去P到球心的距離，所以只要算出球心到P的距離即可.

本題考查球的內(nèi)接正方體問(wèn)題，以及球的截面圓的性質(zhì)，正確分析出BDl是圓的直徑是解題的關(guān)

鍵.屬于中檔題.

17.答案：7-

解析：由已知得通=(1,1)，而=(-3,3)，麗=(-4,2)，所以n=通+同=(-2,4)，

|羽=，(-2尸+22=2而,又前=(-4,2),所以|前|=J(一4尸+22=2通,所以近.麗=

(-2)-(-4)+4-2=16,設(shè)而與前的夾角為。，所以cos。二謂落=又三=?…

18.答案：解：由圓C：x2+y2—6x+4y=0,EP(x—3)2+(y+2)2=13,

故圓心C(3,—2),半徑r=VT5,

因?yàn)閨MN|=4或，設(shè)圓心到直線的距離為d,

由|MN|=4A/2=2Vr2—d2?得d=圾.

①當(dāng)/的斜率左存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-0=ZQ-2).

又圓C的圓心為(3,—2),半徑r=VT5，

由喘到二遍，解得攵書?

所以直線方程為y=*%-2）,

即x—2y—2=0.

②當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程為％=2,經(jīng)驗(yàn)證％=2不滿足條件.

綜上所述，直線/的方程為：工-2y-2=0

解析：求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式求出圓心到直線的距離即可求出直線方程.

本題主要考查直線方程的求解，根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵.

19.答案：（1）證明：取8。的中點(diǎn)G,連接EG、FG,

???F是AO的中點(diǎn)，

FG是△480的中位線，^FG//AB,

又ABu平面ABC,FGU平面ABC.

FG〃平面A8C,

BD=2CE,BG=CE,

Z.DBC=乙BCE,

:.E、G到直線8c的距離相等，貝IJEG〃。氏

乂CBu平面ABC,EGC平面ABC,

EG〃平面ABC,

vEGAFG=G,

.??平面EFG〃平面ABC,

-.■EFu平面EFG,

???E/7/平面ABC.

(2)解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由題得｛0=DE=回

則4(0,0,V3),E(0,V3,0),C&手，0)，成2,0,0),

...AE=(0,百,一百)，配=$，￥，0),

麗=(2,-6,0),

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為為=(x,y,z),

則懺亞=。，即產(chǎn)?

Q?EC=0(jx+yy=0

令y=l,則x=-JXz=l,

n=(-V3,l,l)，

?.|.cos/(-n,E8)|=而\n-E鬲B\=：^38=v3V105

BE與平面ACE所成角的正弦值為至叵.

35

解析：本題考查了線面平行的判定和利用空間向量求線與面所成角問(wèn)題，是中檔題.

(1)取8。的中點(diǎn)G,連接EG、FG,由尸G是△力8。的中位線，即FG〃48,又得EG〃C8,所以平

面EFG〃平面ABC,從而證得EF〃平面ABC；

(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,求出平面4CE的一個(gè)法向量完=(-后,1,1),

即E可R利用?S/_>，鉗"I而”?麗朝I=猊3\/3旃=M3\/l05得/P,出，結(jié)人果中.

2

20.答案：解：(1)由題意A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)4(Q,0)(Q<-2),則可設(shè)方程為y=X(x-a)(a<x<

-2,A>0),y'=2A(x-a).

曲線段8c。在圖紙上的圖形對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y=盤0€[-2,2]),

y'=7Z盤，且8(-2,1)，則曲線在8處的切線斜率為g

曲線段A4在圖紙上對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y=9(>+6)2(-b<x<-2)；

lo

(2)設(shè)P為曲線段AC上任意一點(diǎn)、.

①P在曲線段A8上，則通過(guò)該點(diǎn)所需要的爬坡能力(Mp%=(-幻](%+6)=-^[(x+3>-9],

在[-6,-3]上為增函數(shù)，[—3,-2]上是減函數(shù)，最大為之米；

O

②P在曲線段8c上，則通過(guò)該點(diǎn)所需要的爬坡能力(Mp)2=(-%)--F^=肅啜("6[-2,0]),

設(shè)￡=/,￡W[0,4],(Mp)2=y=^7.

t=0,y=0：0<t<4,yl(t=4取等號(hào))，此時(shí)最大為1米.

由上可得，最大爬坡能力為J米；

8

???0.8<-<1.5<2,

8

.?.游客踏乘不能順利通過(guò)該橋：蓄電池動(dòng)力和內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力能順利通過(guò)該橋.

解析：（1）設(shè)出方程，利用B為銜接點(diǎn)，即可求出曲線段A8在圖紙上對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式，并寫出定

義域；

（2）分類討論，求最值，即可得出結(jié)論.

本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

21.答案：證明：（1）???BDDiBi是矩形，且平面

BDD/i1平面48CQ,\

???BBi1平面ARCD,DDi1平面ABCD,

在/?￡△2DC中，DrC=V5,AD1=魚(yú)，ABX=

連結(jié)AC,在梯形ABC。中，LDAB=90°,

AD=AB=1,DC=2,

AC=V5?BC=五,B]C=V3?

在△BiDiC中，DiC=炳,BiD、=BD=立，

B}C=V3，BiC1

在ABICA中，B￡=6,ABi=0，AC=炳,