第1頁（共1頁）2025年山東省濟南市萊蕪區中考數學二模試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（4分）2025的絕對值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（4分）2024年5月3日，嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航天發射場成功發射，在近月軌道時飛行1m大約需要0.0000893s．數據0.0000893用科學記數法表示為（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣73．（4分）下列幾何體的俯視圖是三角形的是（）A．圓柱 B．三棱柱 C．正方體 D．圓錐4．（4分）下列運算結果正確的是（）A．a2?a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a35．（4分）“致中和，天地位焉，萬物育焉”．對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現，器物，繪畫，使對稱之美驚艷了千年．下面四個標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（4分）某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘），57，65，65，70，78，68（）A．方差為3 B．平均數為65 C．眾數為65 D．中位數為67.57．（4分）化簡：得（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，“石頭、剪刀、布”是一種猜拳游戲，游戲時，那么雙方出現相同手勢的概率是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點E，BC的中點，連接EC，H分別是EC，FD的中點，BC＝10，則GH的長度為（）A． B． C． D．10．（4分）已知二次函數．y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，部分圖象如圖所示；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t為任意實數2+b；⑤當圖象經過點時，方程ax2+bx+c﹣2＝0的兩根為x1，x2（x1＜x2），則，其中正確的結論有（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤二、填空題（本大題共5個小題。每小題4分，共20分。把答案填在答題卡的橫線上。）11．（4分）分解因式：9a2﹣4＝．12．（4分）一只螞蟻在如圖所示的正方形地磚上爬行，螞蟻停在陰影部分的概率為．13．（4分）小益將平放在桌面上的正五邊形磁力片和正六邊形磁力片拼在一起（一邊重合），示意圖如圖所示，則形成的∠1的度數是．14．（4分）如圖，點A在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝上，點C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形．15．（4分）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝8，F為邊BC上一點，將F點沿過C點的直線翻折，則的最小值為．三、解答題（本大題共10個小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16．（7分）計算：．17．（7分）解不等式組，并寫出滿足條件的正整數解．18．（7分）如圖，在?ABCD中，AE、CF分別垂直于對角線BD的延長線19．（8分）植樹節是按照法律規定宣傳保護樹木，并組織動員群眾積極參加以植樹造林為活動內容的節日．按時間長短可分為植樹日、植樹周和植樹月，共稱為國際植樹節．提倡通過這種活動，國民政府為紀念孫中山逝世三周年，將植樹節改為3月12日．新中國成立后的1979年，第五屆全國人大常委會第六次會議決定將每年的3月12日定為植樹節．某學校在植樹節到來之際，舉辦了一場環保主題的知識競賽，部分信息如下：組別成績m/分頻數A50＜m≤602B60＜m≤70aC70＜m≤8014D80＜m≤90bE90＜m≤10010完成下面問題：（1）a＝，b＝；（2）在扇形統計圖中，A組對應的圓心角的度數為；（3）補全條形統計圖；（4）八年級一共有480人，請根據以上數據估計八年級中分數在80分到90分的人數．20．（8分）某市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖2是其示意圖，車輪半徑為32cm，∠BCD＝64°，坐墊E與點B的距離BE為18cm．（1）求坐墊E到地面的距離；（2）根據經驗，當坐墊E到CD的距離調整為人體腿長的0.8倍時，坐騎比較舒適，現將坐墊E調整至坐騎舒適高度位置E′（坐墊E'可在BE上活動），求EE'的長．（結果精確到0.1cm，參考數據sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．）21．（9分）如圖，在△ABC中，點O為AB邊上一點，交BC于點E，交AB于點F（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AD＝5，AB＝10，求⊙O的半徑．22．（10分）槐蔭區某中學組織師生共480人去參觀博物院．閱讀下列對話：李老師：“客運公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，且租用1輛60座客車和1輛45座客車到山東省博物院，一天的租金共計1800元．”小明說：“我們學校八年級師生昨天在這個客運公司租了4輛60座和3輛45座的客車到山東省博物院，一天的租金共計6400元．”（1）客運公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？（2）若同時租用兩種或一種客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車恰好坐滿，最少是多少元？23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點1＝kx+b與反比例函數（x＞0）的圖象交于A（2，m）、B（4，2）（1）求一次函數y1與反比例函數y2的解析式；（2）根據圖象回答，當時，x的取值范圍為；（3）y軸上有一點P，當以點O、P、A、B為頂點的四邊形的面積為7時，求點P的坐標．24．（12分）二次函數y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點（1）求此二次函數的表達式；（2）如圖1，點E是第三象限內的拋物線上的動點，過點E作ED∥y軸，四邊形CDAE的面積是否存在最大值？若存在，請求出E點坐標；（3）如圖2，點P是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點Q（﹣5，0），連接NP，在拋物線的對稱軸上是否存在一點H，若存在，請求出點H的坐標．25．（12分）如圖1，已知DE為△ABC中位線，∠BAC＝120°（1）若AB＝AC，△ADE旋轉至如圖2中△AD′E′位置，求證：BD'＝CE'；（2）若AB＝2，AC＝4．①將△ADE繞A旋轉至如圖3中△AD′E′位置，求的值；②直接寫出BC的值；③如圖4，O為平面內一點，現將△ABC平移至△A1B1C1的位置，此時O、D、B1共線，O、E、C1共線，△ODE為等邊三角形，然后將△A1B1C1繞O旋轉α（0°＜α≤360°）至△A2B2C2，連接DB2，D'為D關于O的中心對稱點，在旋轉過程中，DB2+D'C2是否存在最小值，若存在，直接寫出該最小值，請說明理由．

2025年山東省濟南市萊蕪區中考數學二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案AABCDCBBDD一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（4分）2025的絕對值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【解答】解：∵|2025|＝2025，∴2025的絕對值是2025，故選：A．2．（4分）2024年5月3日，嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航天發射場成功發射，在近月軌道時飛行1m大約需要0.0000893s．數據0.0000893用科學記數法表示為（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7【解答】解：數據0.0000893用科學記數法表示為8.93×10﹣6，故選：A．3．（4分）下列幾何體的俯視圖是三角形的是（）A．圓柱 B．三棱柱 C．正方體 D．圓錐【解答】解：圓柱體的俯視圖是圓形，三棱柱的俯視圖是三角形，圓錐的俯視圖是圓形，所以俯視圖是三角形的幾何體三棱柱，故選：B．4．（4分）下列運算結果正確的是（）A．a2?a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3【解答】解：A、a2?a4＝a8，故本選項錯誤；B、（3b2）5＝9b4，故本選項錯誤；C、（a4）2＝a8，故本選項正確；D、a4÷a2＝a4，故本選項錯誤；故選：C．5．（4分）“致中和，天地位焉，萬物育焉”．對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現，器物，繪畫，使對稱之美驚艷了千年．下面四個標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷如下：A、是軸對稱圖形，不符合題意；B、既不是軸對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不符合題意；D、既是軸對稱圖形，符合題意．故選：D．6．（4分）某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘），57，65，65，70，78，68（）A．方差為3 B．平均數為65 C．眾數為65 D．中位數為67.5【解答】解：數據排序：55，55，65，65，70，78，平均數為：×（55+55+57+65+65+65+68+70+70+78）＝64.8；方差為：×[2×（55﹣64.8）6+（57﹣64.8）2+8×（65﹣64.8）2+（68﹣64.8）2+（70﹣64.8）2+（78﹣64.8）2+（70﹣64.6）2]＝49.16，故選項A不符合題意；∵65出現的次數最多，∴眾數為65，故選項C符合題意；∵中間兩個數據為65，65，∴中位數為65，故選項D不符合題意．故選：C．7．（4分）化簡：得（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝．故選：B．8．（4分）如圖，“石頭、剪刀、布”是一種猜拳游戲，游戲時，那么雙方出現相同手勢的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖：由圖可知，共有9種等可能的結果，故雙方出現相同手勢的概率是．故選：B．9．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點E，BC的中點，連接EC，H分別是EC，FD的中點，BC＝10，則GH的長度為（）A． B． C． D．【解答】解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分別是邊AB，AB＝6，∴，，∵AD∥BC∴∠DPH＝∠FCH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴，∵點G是EC的中點，H是PC的中點，∴，故選：D．10．（4分）已知二次函數．y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，部分圖象如圖所示；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t為任意實數2+b；⑤當圖象經過點時，方程ax2+bx+c﹣2＝0的兩根為x1，x2（x1＜x2），則，其中正確的結論有（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤【解答】解：由函數圖象可知，a＞0，b＞0，所以abc＜2．故①錯誤．因為拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根，所以b4﹣4ac＞0．故②正確．因為拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，所以＝﹣1．當x＝4時，函數值大于零，所以a+b+c＞0，即a+2a+c＞5，所以3a+c＞0．又因為a＞6，所以4a+c＞a＞0．故③正確．因為拋物線開口向上，且對稱軸為直線x＝﹣8，所以二次函數有最小值為a﹣b+c．對于拋物線上的任意一點，令其橫坐標為t，則at2+bt+c≥a﹣b+c，即a﹣bt≤at2+b．故④正確．由函數圖象經過點（），所以x＝是方程ax2+bx+c＝4的一個解．則拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝2的一個交點的橫坐標為．根據拋物線的對稱性可知，另一個交點的橫坐標為，所以方程ax2+bx+c﹣2＝2的兩根為，即，所以．故⑤正確．故選：D．二、填空題（本大題共5個小題。每小題4分，共20分。把答案填在答題卡的橫線上。）11．（4分）分解因式：9a2﹣4＝（3a﹣2）（3a+2）．【解答】解：9a2﹣8＝（3a﹣2）（4a+2）．故答案為：（3a﹣3）（3a+2）．12．（4分）一只螞蟻在如圖所示的正方形地磚上爬行，螞蟻停在陰影部分的概率為．【解答】解：由圖形知，S①＝S②，∴陰影部分的面積為正方形面積的一半，∴螞蟻停在陰影部分的概率為，故答案為：．13．（4分）小益將平放在桌面上的正五邊形磁力片和正六邊形磁力片拼在一起（一邊重合），示意圖如圖所示，則形成的∠1的度數是132°．【解答】解：如圖所示：∵正五邊形的內角度數為：×（6﹣2）×180°＝108°，∴∠2＝108°，∵正六邊形的內角度數為：×（6﹣6）×180°＝120°，∴∠3＝120°，∵∠1+∠8+∠3＝360°，∴∠1＝360°﹣∠8﹣∠3＝360°﹣108﹣120＝132°．故答案為：132°．14．（4分）如圖，點A在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝上，點C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形8．【解答】解：延長BA交y軸于E，則BE⊥y軸，∵點A在雙曲線y＝上，∴四邊形AEOD的面積為4，∵點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．故答案為8．15．（4分）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝8，F為邊BC上一點，將F點沿過C點的直線翻折，則的最小值為6．【解答】解：將F點沿過C點的直線翻折，翻折后的對應點G恰好落在直線AC上，設折痕為CH，由題意得，OF＝OG．∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，AD∥BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACH＝∠BCH＝30°，CH⊥AB，∴FG∥AB，，∴，∵當E，G，G共線時，∴此時值最小，∴．∵E為邊AD的中點，∴FG是△ABC的中位線，GE是△ACD的中位線，∴，∴OG＝2，∴EG+OG＝6，即的最小值為6．故答案為：2．三、解答題（本大題共10個小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16．（7分）計算：．【解答】解：＝，＝3．17．（7分）解不等式組，并寫出滿足條件的正整數解．【解答】解：解不等式可得x＞﹣2，由，得x≤2，∴此不等式組的解集是﹣2＜x≤3，∴此不等式組所有正整數解是1，2．18．（7分）如圖，在?ABCD中，AE、CF分別垂直于對角線BD的延長線【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（AAS），∴AE＝CF．19．（8分）植樹節是按照法律規定宣傳保護樹木，并組織動員群眾積極參加以植樹造林為活動內容的節日．按時間長短可分為植樹日、植樹周和植樹月，共稱為國際植樹節．提倡通過這種活動，國民政府為紀念孫中山逝世三周年，將植樹節改為3月12日．新中國成立后的1979年，第五屆全國人大常委會第六次會議決定將每年的3月12日定為植樹節．某學校在植樹節到來之際，舉辦了一場環保主題的知識競賽，部分信息如下：組別成績m/分頻數A50＜m≤602B60＜m≤70aC70＜m≤8014D80＜m≤90bE90＜m≤10010完成下面問題：（1）a＝4，b＝20；（2）在扇形統計圖中，A組對應的圓心角的度數為14.4°；（3）補全條形統計圖；（4）八年級一共有480人，請根據以上數據估計八年級中分數在80分到90分的人數．【解答】解：（1）班級總人數為：10÷20%＝50，∴a＝50﹣（2+14+20+10）＝4，b＝50×40%＝20，故答案為：5；20；（2）2÷50×360°＝14.4°，∴A組對應的圓心角的度數為14.4°，故答案為：14.4°；（3）補全條形統計圖如下：（4）（人），∴估計八年級中分數在80分到90分的人數為192人．20．（8分）某市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖2是其示意圖，車輪半徑為32cm，∠BCD＝64°，坐墊E與點B的距離BE為18cm．（1）求坐墊E到地面的距離；（2）根據經驗，當坐墊E到CD的距離調整為人體腿長的0.8倍時，坐騎比較舒適，現將坐墊E調整至坐騎舒適高度位置E′（坐墊E'可在BE上活動），求EE'的長．（結果精確到0.1cm，參考數據sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．）【解答】解：（1）如圖，過點E作EM⊥CD于點M，由題意知∠BCM＝64°，EC＝BC+BE＝60+18＝78cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝78×sin64°≈70.2（cm），則單車車座E到地面的高度為70.2+32≈102.4（cm）；（2）如圖2所示，過點E'作E'H⊥CD于點H，由題意知E'H＝80×0.3＝64（cm），則（cm），∴EE'＝CE﹣CE'＝78﹣71.1＝8.9（cm）．21．（9分）如圖，在△ABC中，點O為AB邊上一點，交BC于點E，交AB于點F（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AD＝5，AB＝10，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠CDB＝∠DFB，∴∠CDB＝∠ODF，∵BF為⊙O直徑，∴∠BDF＝90°，即∠BDO+∠ODF＝90°，∴∠BDO+∠CDB＝∠ODC＝90°，∴OD⊥AC∵OD為半徑，∴AC為⊙O的切線；（2）解：由（1）得∠ODA＝90°，AD＝5，AB＝10，則OD＝OB＝r，∴AO＝AB﹣OB＝10﹣r，在Rt△ADO中，由勾股定理得：AD2+OD3＝AO2，∴58+r2＝（10﹣r）2，解得，∴⊙O的半徑為．22．（10分）槐蔭區某中學組織師生共480人去參觀博物院．閱讀下列對話：李老師：“客運公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，且租用1輛60座客車和1輛45座客車到山東省博物院，一天的租金共計1800元．”小明說：“我們學校八年級師生昨天在這個客運公司租了4輛60座和3輛45座的客車到山東省博物院，一天的租金共計6400元．”（1）客運公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？（2）若同時租用兩種或一種客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車恰好坐滿，最少是多少元？【解答】解：（1）設客運公司60座的客車每輛每天的租金是a元，45座的客車每輛每天的租金是b元．根據題意，得，解得．答：客運公司60座的客車每輛每天的租金是1000元，45座的客車每輛每天的租金是800元．（2）設租用60座的客車x輛，租用45座的客車y輛．根據題意，得60x+45y＝480，整理，得x＝7﹣y，∵x，y均為非負整數，∴該方程的解為或或，∴共有三種租車方式，當租用4輛60座的客車時，費用為1000×8＝8000（元），當租用5輛60座的客車、4輛45座的客車時，當租用2輛60座的客車、8輛45座的客車時，∵8000＜8200＜8400，∴租用6輛60座的客車時費用最少，最少是8000元．23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點1＝kx+b與反比例函數（x＞0）的圖象交于A（2，m）、B（4，2）（1）求一次函數y1與反比例函數y2的解析式；（2）根據圖象回答，當時，x的取值范圍為0＜x≤2或x≥4；（3）y軸上有一點P，當以點O、P、A、B為頂點的四邊形的面積為7時，求點P的坐標．【解答】解：（1）把B（4，2）代，∴n＝8，∴反比例函數y7的解析式為y2＝，把A（4，m）代入y2＝得，m＝，∴A（2，5），把A（2，4），4）代入y1＝kx+b得，，∴，∴一次函數y1的解析式為y6＝﹣x+6；（2）由圖象得，當時，x的取值范圍為8＜x≤2或x≥4；故答案為：5＜x≤2或x≥4；（3）設P（8，a），在y1＝﹣x+6中，當x＝2時，當y＝0時，∴M（0，4），0），∴S四邊形ABOP＝S△MON﹣S△APM﹣S△OBN＝﹣×（6﹣a）×5﹣四邊形AOPB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△OBN+S△OBP＝﹣×8×2﹣×（﹣a）×6＝7∴a＝1或﹣6.5，∴點P的坐標為（0，2）或（0．24．（12分）二次函數y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點（1）求此二次函數的表達式；（2）如圖1，點E是第三象限內的拋物線上的動點，過點E作ED∥y軸，四邊形CDAE的面積是否存在最大值？若存在，請求出E點坐標；（3）如圖2，點P是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點Q（﹣5，0），連接NP，在拋物線的對稱軸上是否存在一點H，若存在，請求出點H的坐標．【解答】解：（1）二次函數y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣8，0），0）兩點、點B的坐標分別代入得：，解得，∴y＝x2+5x﹣3；（2）四邊形CDAE的面積存在最大值；理由如下：二次函數y＝x2+7x﹣3的圖象與y軸交于點C，當x＝0時，得：y＝﹣5，∴C（0，﹣3），設D（m，7），∵ED∥y軸，∴E（m，m2+2m﹣4），∴DE＝0﹣（m2+7m﹣3），∴DE＝﹣m2﹣6m+3，∵S四邊形CDAE＝S△ADE+S△CDE，∴，∵，∴當m＝﹣1時，四邊形CDAE面積最大；此時E點坐標為（﹣7，﹣4）；（3）在拋物線的對稱軸上存在一點H，使得∠HNP+∠BCO＝45°∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）6﹣4，∴其頂點P為（﹣1，﹣8），∴Q（﹣1，0），∴PQ＝NQ＝8，∴∠QNP＝∠QPN＝45°，①當H在P點上方時，∵∠QNH1+∠H1NP＝45°，∠BCO+∠H3NP＝45°，∴∠QNH1＝∠BCO，∴，∴，∴，∴；②當H在P點下方時，過點N作l垂直于x軸，交l于點M，由題意得四邊形QNMH4為矩形，∴∠QNM＝90°，QN＝H2M＝4，∴∠QNP+