萍鄉市2024—2025學年度第二學期期中考試高一數學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號等填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼條形碼的“準考證號?姓名?考試科目”與考生本人的準考證號?姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，監考員將試題卷?答題卡一并收回.第Ⅰ卷一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若滿足，則的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知某扇形的圓心角為，其所對的弦長為，則該扇形的面積為（）A B. C.1 D.3.已知向量，，若，則（）A.5 B.25 C. D.204.為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上各點（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度5.在中，若，則的面積等于（）A. B. C. D.6.在矩形中，為的中點，為的中點，設，則（）A. B.C. D.7.下列關于函數的說法，不正確的是（）A.最小正周期為B.在區間上單調遞增C.點為其圖象的一個對稱中心D.定義域為8.已知在等腰中，，點為的中點，于，點為線段的中點，點為線段上的動點，則的最大值與最小值的差為（）A.4 B.2 C. D.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則滿足不等式成立的的集合有（）A. B. C. D.10.已知內角所對的邊分別為，其面積為，若，則下列說法正確的有（）A若，則有兩組解B.若，則有一組解C.若，則邊的中線長為D.若，則邊中線長為311.在三角形中有如下結論：已知的內角所對的邊分別為，點為內任意一點，則.根據上述結論，下列說法正確的有（）A.若是的重心，則B.若是的內心，則C.若，則D.若是的外心，且，則第II卷注意事項：第Ⅱ卷共2頁，須用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量.則__________；在上的投影向量的坐標為__________.13.萍鄉是秋收起義策源地，1927年毛澤東在安源主持召開秋收起義軍事會議，并于9月9日親自發動和領導了秋收起義，第一次高舉起工農革命軍的旗幟.如圖，兩點相距36米，與秋收起義紀念碑（底部不可到達）的底部在同一水平直線上，利用高為0.3米的測角儀器，在兩點測得紀念碑的頂點的仰角分別為和，則該紀念碑的高度__________米.14.若函數在區間上恰有5個零點，則的取值范圍為__________.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知.（1）化簡；（2）若，求.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，向量與共線，求的值.17.已知函數圖象的一條對稱軸和與其相鄰的一個對稱中心之間的距離為，且的圖像過點.（1）若是奇函數，求的最小值；（2）令，記在區間上的零點從小到大依次為，求的值.18.如圖，游客從萍鄉武功山旅游景區的金頂處下至處有兩種路徑：一種是先從沿索道乘纜車到，再從沿直線步行到；另一種是從沿直線步行到.現有甲、乙兩位游客從金頂處下山，甲沿勻速步行，速度為：在甲出發后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到.假設纜車勻速直線運動的速度為，，，.（1）乙在到達之前，乘纜車出發多少分鐘時，與甲的距離最短？（2）若，為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內？19.設平面內兩個非零向量的夾角為，定義運算“”：.（1）若向量滿足，求值；（2）在平面直角坐標系中，若，用表示，并化簡：若點，求的值；（3）若向量，求的最小值.

萍鄉市2024—2025學年度第二學期期中考試高一數學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號等填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼條形碼的“準考證號?姓名?考試科目”與考生本人的準考證號?姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，監考員將試題卷?答題卡一并收回.第Ⅰ卷一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若滿足，則的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】直接根據各象限三角函數的符號判斷即可得答案.【詳解】由可知的終邊在第三象限或第四象限或y軸負半軸上，由，可知的終邊在第一象限或在第三象限，則的終邊在第三象限，故選：C.2.已知某扇形的圓心角為，其所對的弦長為，則該扇形的面積為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依題意先求出扇形半徑，再求扇形面積即可.【詳解】設扇形的半徑為，依題意，，解得，則該扇形的面積為.故選：B.3.已知向量，，若，則（）A.5 B.25 C. D.20【答案】A【解析】【分析】先由求得參數的值，再利用向量模長的坐標計算公式即得.【詳解】由可得，解得，則，于是，則.故選：A.4.為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上各點（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】運用函數圖象平移規律“左加右減”即可解決.【詳解】因，所以只需將函數的圖象上各點向右平移個單位長度，即可得到函數的圖象.故選：C5.在中，若，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式求解.【詳解】在中，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的面積為.故選：D6.在矩形中，為中點，為的中點，設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合圖形利用向量的加減數乘運算將所求向量用基底表示即可.【詳解】如圖，.故選：C.7.下列關于函數的說法，不正確的是（）A.最小正周期B.在區間上單調遞增C.點為其圖象的一個對稱中心D.定義域為【答案】D【解析】【分析】分析函數的性質，對各選項的內容逐一判斷即可.【詳解】對函數：由，，，所以函數定義域為：；由，所以函數的最小正周期為；由，，，所以函數在，上單調遞增，當時，單調增區間為；因為，所以點為函數的一個對稱中心.綜上可知：D是錯誤的.故選：D8.已知在等腰中，，點為的中點，于，點為線段的中點，點為線段上的動點，則的最大值與最小值的差為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，建立直角坐標系，利用向量數量積的坐標運算建立函數關系，進出求出最值即可.【詳解】以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，在等腰中，，則，令，則，，，當時分別取得最大值和最小值，所以的最大值與最小值的差為.故選：A二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則滿足不等式成立的的集合有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先解給出的不等式，再根據集合之間的關系進行選擇.【詳解】因為，所以.由或或，所以所給不等式的解集為.所給的4個選項中，只有AD兩個集合是的子集，所以只有AD能使不等式成立.故選：AD10.已知的內角所對的邊分別為，其面積為，若，則下列說法正確的有（）A.若，則有兩組解B.若，則有一組解C.若，則邊的中線長為D.若，則邊的中線長為3【答案】BC【解析】【分析】用余弦定理解三角形，求邊的長度，可判斷AB的真假；用向量表示邊的中線，利用余弦定理和平面向量數量積的運算可求中線的長，判斷CD的真假.【詳解】因為，根據三角形的面積公式，可得.由正弦定理得：，因為為三角形內角，所以，，所以.當，由余弦定理：得：，所以，又，所以，即只有一組解，可知A錯誤，B正確；因為.由余弦定理：.設中點為，如下圖所示：則.所以，所以，即邊的中線長為，可知C正確，D錯誤.故選：BC11.在三角形中有如下結論：已知的內角所對的邊分別為，點為內任意一點，則.根據上述結論，下列說法正確的有（）A.若是的重心，則B.若是的內心，則C.若，則D.若是的外心，且，則【答案】ACD【解析】【分析】根據三角形重心的性質，可判斷A的真假；結合三角形內心與三角形面積之間的關系，可判斷B的真假；確定點位置，可判斷C的真假；結合三角形外接圓的性質與三角形的面積公式可判斷D的真假.【詳解】對A：若為的重心，則，結合，所以，故A正確；對B：若為的內心，設內切圓半徑為，則，，，所以，故B錯誤；對C：如圖：因為，所以，，延長交于點，則,因三點共線，所以.設，則，，,所以，故C正確；對D：如圖：因為為的外心，且，設外接圓半徑為，則，，，，所以，同理，，結合，可得.又，所以，故D正確.故選：ACD第II卷注意事項：第Ⅱ卷共2頁，須用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量.則__________；在上的投影向量的坐標為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】由條件結合向量的模的坐標表示求，根據向量的模與數量積的關系由條件求，再由投影向量的定義求在在的投影向量的坐標.【詳解】由.又.所以在上的投影向量的坐標為：.故答案為：；13.萍鄉是秋收起義策源地，1927年毛澤東在安源主持召開秋收起義軍事會議，并于9月9日親自發動和領導了秋收起義，第一次高舉起工農革命軍的旗幟.如圖，兩點相距36米，與秋收起義紀念碑（底部不可到達）的底部在同一水平直線上，利用高為0.3米的測角儀器，在兩點測得紀念碑的頂點的仰角分別為和，則該紀念碑的高度__________米.【答案】【解析】【分析】根據仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可確定長.【詳解】如圖，依題意，，，故，則，在中，，故米.故答案為：.14.若函數在區間上恰有5個零點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先由余弦型函數在給定區間上的零點問題轉化為函數與函數在上的交點問題，借助于余弦函數的圖象列出不等式求解即得.【詳解】由，可得，設，當時，，依題意，要使函數在區間上恰有5個零點，需使函數與函數在上有5個交點，結合余弦函數的圖象，可得，即得，即的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知.（1）化簡；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導公式進行化簡整理.（2）整體配湊角即可求解【小問1詳解】因為.【小問2詳解】由.所以.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，向量與共線，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由代入向量坐標計算得到，結合角的范圍求出的值；（2）由向量與共線列方程，推出，結合角的范圍求得，利用坐標化簡后代值計算即得.【小問1詳解】由可得，因，則，故，則得，故.【小問2詳解】由題意，，因向量與共線，故，即，兩邊取平方，，因，解得，則17.已知函數圖象的一條對稱軸和與其相鄰的一個對稱中心之間的距離為，且的圖像過點.（1）若是奇函數，求的最小值；（2）令，記在區間上的零點從小到大依次為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意依次求得，，推得，根據是奇函數，得到，即可求得的最小值；（2）根據函數與方程的思想，將在區間上的零點個數即函數與函數在區間上的交點個數，通過作出余弦函數的圖象，確定的值，利用圖象對稱性得到，將代入整理即可求得.【小問1詳解】依題意，函數的最小正周期滿足，即，解得，把點代入中，可得，因，則，故函數解析式為.因是奇函數，故，則有，解得，故當時，取得最小值.【小問2詳解】由，可得，設，由可得，則在區間上的零點個數即函數與函數在區間上的交點個數.作出其圖象如下：由圖知，兩者共有6個交點，即，這些交點的橫坐標依次為，根據圖象的對稱性，可知，則，因，代入可得：，解得，即.18.如圖，游客從萍鄉武功山旅游景區的金頂處下至處有兩種路徑：一種是先從沿索道乘纜車到，再從沿直線步行到；另一種是從沿直線步行到.現有甲、乙兩位游客從金頂處下山，甲沿勻速步行，速度為：在甲出發后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到.假設纜車勻速直線運動的速度為，，，.（1）乙在到達之前，乘纜車出發多少分鐘時，與甲的距離最短？（2）若，為使兩位游客在處互相等