/考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；3．所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得,然后分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因?yàn)?所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.2.平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)到平面距離的向量法計(jì)算．【詳解】，所以點(diǎn)到平面的距離為．故選：C．3.已知，則“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A.4.若一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，且圓錐的體積恰好等于半球的體積，則該圓錐的軸截面的頂角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，則球的半徑也為，由題意可得求得，從而可求出母線長(zhǎng)，然后利用余弦定理可求得答案【詳解】幾何體的軸截面如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，則球的半徑也為，因?yàn)閳A錐的體積恰好等于半球的體積，所以，得，所以，設(shè)圓錐的軸截面的頂角為，則，故選：C.5.若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合作差法即可判斷AB；根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立不等式、，解之即可判斷CD.【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為；數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.A：，所以，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，，故B正確；C：若，則，即，解得或，又因?yàn)椤⒌娜≈捣秶粗圆灰欢ǔ闪ⅲ蔆錯(cuò)誤；D：若，則，即，解得或，又因?yàn)椤⒌娜≈捣秶粗圆灰欢ǔ闪ⅲ蔇錯(cuò)誤.故選：B6.下列函數(shù)圖象中，不可能是函數(shù)的圖象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，得到，都有，可排除B；再結(jié)合的取值，可確定ABD可能取到.【詳解】因?yàn)椋簦瑒t，，所以，故函數(shù)的圖象不可能是C；若，則；又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，其圖象與A相同；若，則，又，則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以其圖象可能是B選項(xiàng)；若，則，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；且；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其圖象可能是D選項(xiàng).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于常考題型.7.已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD邊AD，BC的中點(diǎn)，沿EF將矩形ABCD翻折成大小為的二面角．在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中，記二面角的大小為，則（）A當(dāng)時(shí)，sin先增大后減小B當(dāng)時(shí)，sin先減小后增大C.當(dāng)時(shí)，sin先增大后減小D.當(dāng)時(shí)，sin先減小后增大【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二面角的定義通過(guò)作輔助線,找到二面角的平面角，在△中表示出的值，利用的值的變化來(lái)判斷的變化即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由已知條件得平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵平面，∴∴平面,又∵平面，∴,∴平面,∴,則為二面角的平面角，在△中，,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中,不斷減小，則不斷增大，即不斷增大，則、錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由已知條件得平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作,垂足在延長(zhǎng)線上，∵平面，∴,∴平面,又∵平面，∴,∴平面,∴,則為二面角的平面角的補(bǔ)角，即，在△中，,如下圖所示，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中,先變小后增大，則先變大后變小，先變大后變小，，則也是先變大，后變小,則正確，錯(cuò)誤；故選：.8.已知點(diǎn)A是橢圓C:的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且斜率為的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限）．以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)Q．若，則橢圓C離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可推得要使，只需，由此設(shè)直線方程，并聯(lián)立橢圓方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到，令，即可得到a,b的不等關(guān)系，求得答案.【詳解】要使，只要，只要，即只要.∵直線方程為：，聯(lián)立，得，即（*）注意到為方程（*）的一個(gè)根，故，所以點(diǎn)，可得，由于,故，令，得，即所以離心率的取值范圍是，故選：B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得得部分分，有選錯(cuò)的不得分.9.在正四棱臺(tái)中，，則（）A.直線與所成的角為B.平面與平面的夾角為C.平面D.平面【答案】ACD【解析】【分析】分別取正方形、正方形的中心、，連接，由正四棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】分別取正方形、正方形的中心、，連接，由正四棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則、，則，可得，所以，、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，所以，直線與所成的角為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，故平面與平面的夾角不是，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋摇⒉还簿€，所以，，因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫珻對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，則，，所以，，，又因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫珼對(duì).故選：ACD.10.設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（）A.C的焦距為 B.為定值C.的最大值為4 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求焦距，判斷A；根據(jù)兩個(gè)圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可判斷B；并根據(jù)基本不等式，即可判斷C；根據(jù)坐標(biāo)表示，結(jié)合B選項(xiàng)，即可判斷D.【詳解】雙曲線方程，其中，則，所以焦距，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，所以，（*）聯(lián)立，得，其中，，代入（*）得到（定值），故B正確；，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；，同理，所以，其中由B選項(xiàng)可知，，，，所以上式，當(dāng)時(shí)，取得的最小值，所以的最小值是，則的最小值是，故D正確.故選：BCD11.已知數(shù)列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1項(xiàng)為1，接下來(lái)的2項(xiàng)為1，2，接下來(lái)的3項(xiàng)為1，3，5，再接下來(lái)的4項(xiàng)為1，4，7，10，依此類(lèi)推，則（）A.B.C.存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列D.有且僅有3個(gè)不同的正整數(shù)，使得【答案】ABD【解析】【分析】由題意將數(shù)列分組，第一組：1；第二組：1,2；第三組：1,3,5；以此類(lèi)推，第n組：.則每組數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)為n.結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和公式計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】將數(shù)列分組，第一組：1；第二組：1,2；第三組：1,3,5；以此類(lèi)推，第n組：，則每組數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)為n.A：由，知為數(shù)列的第六組數(shù)中的第5項(xiàng)，故A正確；B：由，知為數(shù)列第n組數(shù)中的第n項(xiàng)，此時(shí)該組數(shù)據(jù)是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故B正確；C：為數(shù)列中的連續(xù)3項(xiàng)：①若為數(shù)列中第組的連續(xù)3項(xiàng)，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，為常數(shù)列，不符合題意，所以成等差數(shù)列；若為數(shù)列中第組和第組的3項(xiàng)，②當(dāng)在第組，在第組，此時(shí)，不成等差和等比數(shù)列；③當(dāng)在第組，在第組，此時(shí)，不成等差和等比數(shù)列，綜上，不成等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；D：由選項(xiàng)C的分析知，當(dāng)為情況①中的3項(xiàng)，設(shè)為第組的項(xiàng)，則，解得，不符合題意；當(dāng)為情況②中的3項(xiàng)，則在第組，在第組，此時(shí)，，所以，解得，又，所以k無(wú)解，不符合題意；當(dāng)為情況③中的3項(xiàng)，則在第組，在第組時(shí)，，得，解得，符合題意.即分別為第十組的第9、第10項(xiàng)，即，有，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，解答時(shí)要明確數(shù)列的項(xiàng)的規(guī)律，進(jìn)而分組.本題將數(shù)列分組后，每組數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)為n，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若，則________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】故答案為：13.已知數(shù)列中，，，則___________；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則=___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題中條件，得到，，則列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t；即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；因此；則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于常考題型.14.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，在等腰中，求得，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，由正弦定理得，設(shè)外接球球心是，可得是直角梯形，設(shè)可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半徑，利用三角恒等變換，換元法，變形后由基本不等式求得最小值，從而得球表面積的最小值．【詳解】設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是用一個(gè)變量表示出球的表面積，前提是選定一個(gè)參數(shù)，由已知設(shè)，其他量都用表示，并利用三角函數(shù)恒等變換，換元法，基本不等式等求得最小值．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯思維能力，屬于難題．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.（1）求角A；（2）作角A的平分線與交于點(diǎn)，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡(jiǎn)后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進(jìn)行分割化簡(jiǎn)得，再運(yùn)用余弦定理解方程即得.【小問(wèn)1詳解】因，由正弦定理可得：，即.因，故，則有，即，因，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，所以.因，，，則，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分別代入化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），所以.16.若存在常數(shù)k，b使得函數(shù)與對(duì)于給定區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)x，均有，則稱(chēng)是與的隔離直線．已知函數(shù)，．（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式：；（2）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出一條與的隔離直線的方程并證明．【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由解得或,在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形即可求解；（2）求出的圖象的交點(diǎn)，設(shè)與是存在隔離直線函數(shù)，可得，利用可求出k的值，結(jié)合證明，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由，即，解得或．在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且，，所以不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】一條隔離直線為．證明：由（1）知，令，由解得，當(dāng)時(shí)，，即有公共點(diǎn)，設(shè)與存在隔離直線函數(shù)，則點(diǎn)在隔離直線函數(shù)上，則，即，所以；若當(dāng)時(shí)有，即，則在上恒成立，即，由于，故此時(shí)只有時(shí)上式才成立，則.下面證明，令，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即為與的隔離直線函數(shù).17.如圖，正方形中，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．將沿翻折到，沿翻折到，（1）求證：平面平面；（2）設(shè)面面，求證：；（3）若，連接，設(shè)直線與平面所成角為，求的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得證；（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（3）設(shè)S在面AEF上的射影為O，則為直線SE與平面DEF所成角．設(shè)，利用體積法，由求得，從而得的表達(dá)式，結(jié)合換元法及函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)锳BCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)椋妫妫悦妫忠驗(yàn)槊婷妫?【小問(wèn)3詳解】設(shè)S在面AEF上的射影為，連接EO，則為直線SE與平面DEF所成角．

設(shè)，則．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，當(dāng)且時(shí)，，則，可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，最大為，最大值為．18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)計(jì)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解；（2）由（1）