4.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．能記住在坐標(biāo)表示的條件下，數(shù)量積的計(jì)算公式、模及夾角余弦的公式、兩向量垂直的條件；2．能夠利用坐標(biāo)運(yùn)算解決各公式相應(yīng)的問(wèn)題.重點(diǎn)：在坐標(biāo)表示的條件下，數(shù)量積、模、夾角、垂直條件等各公式的應(yīng)用；難點(diǎn)：坐標(biāo)運(yùn)算的綜合問(wèn)題；疑點(diǎn)：在坐標(biāo)表示條件下兩向量共線與垂直的條件.設(shè)向量u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，可得(1)坐標(biāo)表示的數(shù)量積的計(jì)算公式：u·v＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2.(2)坐標(biāo)計(jì)算向量的模的公式：|u|＝eq\r(x12＋y12).(3)坐標(biāo)計(jì)算投影值的公式：(u)v＝eq\f(u·v,|v|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x22＋y22))(v不為0)．(4)坐標(biāo)計(jì)算夾角余弦的公式：cos〈u，v〉＝eq\f(u·v,|u||v|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r((x12＋y12)(x22＋y22)))(u，v都不為0)．(5)坐標(biāo)表示的垂直條件：u⊥v?u·v＝0?x1x2＋y1y2＝0.預(yù)習(xí)交流1在坐標(biāo)表示條件下，兩向量共線與兩向量垂直的條件有何區(qū)別？提示：對(duì)于兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有①a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0；②a∥b?a·b＝±|a||b|?x1y2－x2y1＝0.預(yù)習(xí)交流2與向量a＝(x，y)垂直的所有單位向量怎樣表示？提示：eq\f(1,\r(x2＋y2))(－y，x)和eq\f(1,\r(x2＋y2))(y，－x)．在預(yù)習(xí)中，還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知a＝(2,3)，b＝(－1,1)，c＝(0，－4)，求：(1)(a＋b)·(a－2b)；(2)|a＋2b|；(3)(a－b)·c.思路分析：按照平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．解：(1)∵a＋b＝(2,3)＋(－1,1)＝(1,4)，a－2b＝(2,3)－2(－1,1)＝(4,1)，∴(a＋b)·(a－2b)＝(1,4)·(4,1)＝8.(2)∵a＋2b＝(2,3)＋2(－1,1)＝(0,5)，∴|a＋2b|＝eq\r(02＋52)＝5.(3)(a－b)·c＝(3,2)·(0，－4)＝－8.已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．(1)求a·(a－b)；(2)求(a＋b)·(2a－b)；(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．解：(1)∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)．∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)，a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．在進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，一方面要熟記運(yùn)算的法則，計(jì)算要準(zhǔn)確；另一方面還要注意運(yùn)用運(yùn)算律，以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．二、向量的共線與垂直問(wèn)題已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)．(1)若λa－2b與a垂直，求λ的值；(2)若a－2kb與a＋b平行，求k的值．思路分析：先求出λa－2b，a－2kb，a＋b的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量平行與垂直的條件建立關(guān)于λ，k的方程求解．解：(1)∵a＝(1,1)，b＝(2，－3)，∴λa－2b＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0.∴λ－4＋λ＋6＝0.∴λ＝－1.(2)∵a－2kb＝(1,1)－(4k，－6k)＝(1－4k,1＋6k)，a＋b＝(3，－2)，且(a－2kb)∥(a＋b)，∴－2(1－4k)＝3(1＋6k)．∴k＝－eq\f(1,2).在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值．解：當(dāng)A＝90°時(shí)，·＝0，∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－eq\f(2,3)；當(dāng)B＝90°時(shí)，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.∴k＝eq\f(11,3)；當(dāng)C＝90°時(shí)，·＝0，∴－1＋k(k－3)＝0.∴k＝eq\f(3±\r(13),2).∴k＝－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).對(duì)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；a∥b?x1y2－x2y1＝0.這兩個(gè)結(jié)論不能記混．三、向量夾角的范圍問(wèn)題已知向量a＝(2,1)，b＝(m,2)，它們的夾角為θ，當(dāng)m分別取什么實(shí)數(shù)時(shí)，θ為(1)直角；(2)銳角；(3)鈍角．思路分析：當(dāng)a與b的夾角是銳角時(shí)，必有a·b＞0，但還應(yīng)滿足a與b不同向共線；當(dāng)a與b夾角是鈍角時(shí)，必有a·b＜0，且a與b不能反向共線，由此可建立關(guān)于m的不等式求解．解：(法一)由a＝(2,1)，b＝(m,2)得|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(m2＋4)，a·b＝2m＋2.(1)θ為直角?2m＋2＝0?m＝－1；(2)θ為銳角?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋2>0，,2m＋2≠\r(5)·\r(m2＋4)))?m＞－1，且m≠4；(3)θ為鈍角?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋2<0，,2m＋2≠－\r(5)·\r(m2＋4)))?m＜－1.故當(dāng)m＝－1時(shí)，θ為直角；當(dāng)m＞－1且m≠4時(shí)，θ為銳角；當(dāng)m＜－1時(shí)，θ為鈍角．(法二)由于a＝(2,1)，b＝(m,2)，所以a·b＝2m＋2.(1)當(dāng)θ為直角時(shí)，a·b＝0，即2m＋2＝0，解得m＝－1；(2)當(dāng)θ為銳角時(shí)，a·b＞0，即2m＋2＞0，解得m＞－1.但當(dāng)a∥b時(shí)，有2×2＝1×m，得m＝4，且這時(shí)〈a，b〉＝θ＝0°，不合要求．故m的取值范圍是m＞－1且m≠4.(3)當(dāng)θ為鈍角時(shí)，a·b＜0，即2m＋2＜0，解得m＜－1，由(2)知當(dāng)a∥b時(shí)，m＝4，且a與b同向，不可能反向共線．故m的取值范圍是m＜－1.已知a＝(x,2)，b＝(1，－4)，若a與b的夾角是鈍角，則x的范圍是__________．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<8且x≠－\f(1,2)))))解析：因?yàn)閍與b的夾角是鈍角，所以a·b＜0，即x－8＜0.所以x＜8.又當(dāng)a∥b時(shí)，4x＝－2，得x＝－eq\f(1,2)，且這時(shí)a與b反向共線，不合題意，所以x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<8且x≠－\f(1,2))))).1．已知兩向量的數(shù)量積與模，可求兩向量夾角的余弦值．2．由a·b＞0或a·b＜0，解答a與b的夾角是銳角或鈍角的問(wèn)題時(shí)，要特別注意a與b共線的情況．因?yàn)閍與b同向時(shí)，a·b＞0，但夾角為0°；a與b反向時(shí)，a·b＜0，但夾角為180°.1．已知點(diǎn)A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，則·等于()A．－1B．0C．1D．2答案：B解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，于是·＝0.2．(2011廣東中山模擬)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若a與b垂直，則|a|＝()A．1B．2C．4D．eq\r(2)答案：D解析：依題意有1×(－1)＋x2＝0，于是x＝±1，|a|＝eq\r(1＋x2)＝eq\r(2).3．向量a＝(2，－4)與b＝(－1,2)的夾角的大小為()A．零角B．直角C．鈍角D．平角答案：D解析：顯然有a＝－2b，所以a與b反向共線，夾角是平角．4．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b|B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2),2)C．a(chǎn)－b與b垂直D．a(chǎn)∥b答案：C解析：|a|＝eq\r(12＋02)＝1，|b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)；a·b＝1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故a－b與b垂直．5．已知a＝(－1,2)，b＝(－2，－1)，則向量2a＋b與a