專題05圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：垂直關系向量化 1題型二：向量坐標化 4題型三：利用向量求角 6題型四：利用向量證明三點共線問題 9專項訓練 11題型一：垂直關系向量化1．（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓C：（）的離心率為，焦距為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與C交點P，Q兩點，O為坐標原點，且，求實數k的值.2．（23-24高二上·云南大理·期中）已知橢圓的短軸長為2，點在橢圓上，與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)當為橢圓的右頂點時，直線與橢圓相交于兩點（異于點），且.試判斷直線是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)已知點，直線不過點并與曲線交于兩點，且，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由，4．（23-24高二下·上海黃浦·期中）如圖：雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l交y軸于點Q．

(1)當直線l平行于的一條漸近線時，求點到直線l的距離；(2)當直線l的斜率為1時，在的右支上是否存在點P，滿足？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由.5．（23-24高二上·浙江·階段練習）已知拋物線，.(1)Q是拋物線上一個動點，求的最小值；(2)過點A作直線與該拋物線交于M、N兩點，求的值.題型二：向量坐標化1．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數的取值范圍.2．（2024高三·全國·專題練習）設直線l：與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．(1)證明：；(2)若F是橢圓的一個焦點，且，求橢圓的方程．3．（2024·湖北襄陽·模擬預測）設雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)當直線過點時，求的取值范圍.4．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線C的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)經過點的直線與雙曲線C交于E，F兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．5．（23-24高二上·江蘇常州·期末）如圖，已知拋物線的方程為，焦點為，過拋物線內一點作拋物線準線的垂線，垂足為，與拋物線交于點，已知，，.(1)求的值；(2)斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點，，若存在，使得，求實數的取值范圍.題型三：利用向量求角1．（23-24高二上·貴州貴陽·階段練習）已知橢圓：過點，，分別為橢圓的左、右焦點，且離心率.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若為鈍角，求的取值范圍.2．（2024·重慶·三模）已知橢圓的上、下頂點分別為，左頂點為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點的直線交橢圓于兩點，已知點與點關于軸對稱，點與點關于軸對稱，直線與交于點，若是鈍角，求的取值范圍．3．（23-24高二上·吉林·期末）已知拋物線焦點為F，點在拋物線上，.(1)求拋物線方程；(2)過焦點F直線l與拋物線交于MN兩點，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.4．（2024·北京·三模）已知橢圓C：（）過點，右焦點為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M、N，點A是右頂點，直線MA、NA分別與直線交于點P、Q，求的大小．5．（23-24高二下·河北·開學考試）已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，且四邊形的面積為4．(1)求橢圓的方程．(2)平行于軸的直線與橢圓的一個交點為，與以為直徑的圓的一個交點為，且，位于軸兩側，，分別是橢圓的左、右頂點，直線，分別與軸交于點，．證明：為定值．題型四：利用向量證明三點共線問題1．（2024上海崇明）已知橢圓Γ：，點分別是橢圓Γ與軸的交點（點在點的上方），過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．(1)若橢圓焦點在軸上，且其離心率是，求實數的值；(2)若，求的面積；(3)設直線與直線交于點，證明：三點共線．2．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，，.（1）求橢圓的方程.（2）過的直線與橢圓交于，兩點（均不與，重合），直線與直線交于點，證明：，，三點共線.3．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點分別為與，點在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點的直線與交于兩點(均異于點)，直線與直線交于點，求證:三點共線.4．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）記的左、右頂點分別為，過的直線交的右支于兩點，連結交直線于點，求證：三點共線．專項訓練1．（2024·福建泉州·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上第一象限內的一點，且與軸相交于點，離心率，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點為，過點的直線與橢圓相交于兩個不同的點（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·一模）已知過橢圓的上焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，直線分別與直線相交于兩點.若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·河北衡水·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽安慶·階段練習）已知點P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點，若，則漸近線l的斜率為（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知橢圓C：的離心率為，斜率為正的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，點的位置如圖所示，且，則直線l的斜率為．7．（2024·河北·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與軸相交于點，與在第一象限的交點為，若，，則的離心率為．8．（2024高三·全國·專題練習）設雙曲線C的左、右焦點分別為，，且焦距為，P是C上一點，滿足，，則的周長為．9．（23-24高二下·上海·階段練習）設點，分別是橢圓:的左、右焦點，且橢圓C上的點到點的距離的最小值為點M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩點，且向量與向量平行.(1)求橢圓C的方程;(2)當時，求點N的坐標；(3)當時，求直線的方程.10．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數的取值范圍.11．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點分別為與，點在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點的直線與交于兩點(均異于點)，直線與直線交于點，求證:三點共線.12．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線，拋物線的焦點F是雙曲線M的右頂點，且以F為圓心，以b為半徑的圓與直線相切．