（9）計數原理與概率統計——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】易混重難知識1.分層抽樣一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.抽樣比.2.用樣本的數字特征估計總體的數字特征數字特征樣本數據頻率分布直方圖眾數出現次數最多的數據取最高的小長方形底邊中點的橫坐標中位數將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標平均數樣本數據的算術平均數每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和方差和標準差反映了數據波動程度的大小.方差：；標準差：.3.百分位數（1）把100個樣本數據按從小到大排序，得到第p個和第p+1個數據分別為.可以發現，區間內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.一般地，我們取這兩個數的平均數，并稱此數為這組數據的第p百分位數，或p%分位數.（2）一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.4.名稱定義符號表示包含關系若事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）（或）相等關系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等A=B并事件（和事件）事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）（或）交事件（積事件）事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）（或）互斥事件若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥對立事件若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件且（U為全集）5.古典概型的概率公式（1）在基本事件總數為n的古典概型中，每個基本事件發生的概率都是相等的，即每個基本事件發生的概率都是.（2）對于古典概型，任何事件的概率為.6.相互獨立事件（1）對于事件A、B，若A的發生與B的發生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.（2）若A與B相互獨立，則，.（3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立.（4）若，則A與B相互獨立.7.二項式定理公式叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項.8.均值與方差的性質（1）.（2）.9.條件概率及其性質（1）一般地，設A，B為兩個事件，且，稱為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率.（2）條件概率的性質：（i）；（ii）如果B和C是兩個互斥事件，則.10.全概率公式一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.11.正態分布的定義及表示：如果對于任何實數，隨機變量X滿足，則稱X的分布為正態分布，記作.12.回歸直線方程①最小二乘法：通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.②回歸方程：方程是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據的回歸方程，其中是待定參數.，其中稱為樣本點的中心.13.獨立性檢驗利用獨立性假設、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.易錯試題提升1.從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為()A. B. C. D.2.某班12名同學某次測試的數學成績(單位：分)分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是()A.74 B.78 C.83 D.913.展開式中的系數為()A.42 B.48 C.84 D.964.現有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區附近訂購了一家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個房間，則女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()A. B. C. D.5.為了給學生樹立正確的勞動觀，使學生懂得勞動的偉大意義，某班從包含甲、乙的6名學生中選出3名參加學校組織的勞動實踐活動，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為()A. B. C. D.6.“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，盡管我國糧食生產連年豐收，但對糧食安全還是始終要有危機意識.某市有關部門為了宣傳“節約型社會”，面向該市市民開展了一次網絡問卷調查，目的是了解人們對這一倡議的關注度和支持度，得到參與問卷調查中的2000人的得分數據.據統計此次問卷調查的得分X（滿分：100分）服從正態分布，則（附：若隨機變量服從正態分布，則，）()A.0.34135 B.0.47725 C.0.6827 D.0.81867.孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個數學問題之一，2013年華人數學家張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式，可以直觀的描述為：存在無窮多個素數p，使得是素數.素數對稱為孿生素數對.從8個數對，，，，，，，中任取3個，設取出的孿生素數對的個數為X，則()A. B. C. D.38.某車間從生產的一批產品中隨機抽取了1000個零件進行一項質量指標的檢測，整理檢測結果得此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論錯誤的是()A.B.估計這批產品該項質量指標的眾數為45C.估計這批產品該項質量指標的中位數為60D.從這批產品中隨機選取1個零件，其質量指標在的概率約為0.59.（多選）已知二項式的展開式中二項式系數和為64，則下列結論中正確的是()A.二項展開式中各項的系數之和為B.二項展開式中二項式系數最大的項為C.二項展開式中無常數項D.二項展開式中含項的系數為24010.（多選）進入冬季哈爾濱旅游火爆全網，下圖是2024年1月1日到1月7日哈爾濱冰雪大世界和中央大街日旅游人數的折線圖，則()A.中央大街日旅游人數的極差是1.2B.冰雪大世界日旅游人數的中位數是2.3C.冰雪大世界日旅游人數的平均數比中央大街大D.冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街大11.為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其線性回歸方程為，已知，，.若該班某學生的腳長為24厘米，估計其身高為__________厘米.12.2023年9月第19屆亞運會將在杭州舉辦，在杭州亞運會三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合訓練館）對外免費開放預約期間將含甲、乙在內的5位志愿者分配到這三館負責接待工作，每個場館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個場館，則甲分配到游泳館的概率為____________.13.中醫藥，是包括漢族和少數民族醫藥在內的我國各民族醫藥的統稱，是反映中華民族對生命，健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統和獨特理論及技術方法的醫藥學體系，是中華民族的瑰寶.某科研機構研究發現，某品種中醫藥的藥物成分甲的含量x(單位：克)與藥物功效y(單位：藥物單位)之間具有關系.檢測這種藥品一個批次的6個樣本，得到成分甲的平均值為6克，標準差為2，則估計這批中醫藥的藥物功效的平均值為________________.14.孔子曰：溫故而知新，可以為師矣.數學學科的學習也是如此，為了調查“數學成績是否優秀”與“是否及時復習”之間的關系，某校志愿者從高二年級的所有學生中隨機抽取60名學生進行問卷調查，得到如下樣本數據：數學成績優秀（人數）數學成績不優秀（人數）及時復習（人數）255不及時復習（人數）1020（1）試根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“數學成績優秀”與“及時復習”有關系？（2）在該樣本中，用分層抽樣的方法從數學成績優秀的學生中抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人.設抽取3人中及時復習的人數為X，求X的分布列與數學期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82815.為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，提高市民“反詐”意識，某市進行了一次網絡“反詐”知識競賽，共有10000名市民參與了知識競賽，現從參加知識競賽的市民中隨機地抽取100人，得分統計如下：成績（分）頻數61218341686(1)現從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，求這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；(2)若該市所有參賽市民的成績X近似服從正態分布，試估計參賽市民中成績超過79分的市民數（結果四舍五入到整數）；(3)為了進一步增強市民“反詐”意識，得分不低于80分的市民可繼續參與第二輪答題贈話費活動，規則如下：①參加答題的市民的初始分都設置為100分；②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數量，每一題都需要用一定分數來獲取答題資格（即用分數來買答題資格），規定答第k題時所需的分數為；③每答對一題得2分，答錯得0分；④答完n題后參加答題市民的最終分數即為獲得的話費數（單位：元）.已知市民甲答對每道題的概率均為0.6，且每題答對與否都相互獨立，則當他的答題數量n為多少時，他獲得的平均話費最多？參考數據：若，則，，

答案以及解析1.答案：C解析：從6張卡片中無放可隨機抽取2張，共有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，其中數字之積為4的倍數的有，，，，，，6種情況，故概率為.故選C.2.答案：C解析：將這組數據按從小到大的順序排列為57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因為，所以這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是83.故選：C.3.答案：A解析：，的第項為，（），，系數為42.故選：A.4.答案：C解析：3名女生需要住2個房間或3個房間.若3名女生住2個房間，則不同的方法種數為；若3名女生住3個房間，則不同的方法種數為.其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數為，所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是.故選C.5.答案：B解析：法一：令事件A為甲被選中，事件B為乙被選中，則，，故.故選B.法二：令事件A為甲被選中，事件B為乙被選中，.6.答案：D解析：因為隨機變量X服從，所以，，所以，，所以，，所以.故選D.7.答案：C解析：解法一：由題知8個數對中的孿生素數對為，，，，共4個孿生素數對，所以X的可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以，故選C.解法二：由題知8個數對中的孿生素數對為，，，，共4個孿生素數對，則X服從超幾何分布，故.8.答案：C解析：A項：，解得，A正確；B項：頻率最大的一組為第二組，中間值為45，所以估計這批產品該項質量指標的眾數為45，B正確；C項：由于質量指標大于60的頻率之和為，所以60不是中位數，C錯誤；D項：由于質量指標在的頻率之和為，用頻率估計概率，故從這批產品中隨機選取1個零件，其質量指標在的概率約為，D正確.故選C.9.答案：ABD解析：A項，展開式中二項式系數和為，對于，令可得其展開式的系數和為，故A項正確；B項，展開式的通項為，，二項式系數最大的項為，故B項正確；C項，令，得，即二項展開式中有常數項，故C項錯誤；D項，令，得，所以，故D項正確.故選ABD.10.答案：BC解析：對于A，根據所給折線圖可以看出中央大街日旅游人數的最大值為2.8萬人，最小值為0.9萬人，所以極差為萬人，故A錯誤；對于B，從圖中可以看出，冰雪大世界日旅游人數的數據按照從小到大可排列為1.7，1.8，1.9，2.3，2.4，2.6，2.9中位數為2.3，所以B正確；對于C，冰雪大世界日旅游人數的平均數為萬，中央大街日旅游人數的平均數為萬，所以冰雪大世界日旅游人數的平均數比中央大街大，故C正確；對于D，冰雪大世界日旅游人數的方差為中央大街日旅游人數的方差為，所以冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街小，故D錯誤.11.答案：166解析：易得，.，，將代入，得，解得，.當時，.12.答案：解析：甲、乙分配到同一個場館有以下兩種情況：（1）場館分組人數為1，1，3時，甲、乙必在3人組，則方法數為種；（2）場館分組人數為2，2，1時，其中甲、乙在一組，則方法數為種，即甲、乙分配到同一個場館的方法數為.若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時的方法數為，故所求的概率為.故答案為：.13.答案：20解析：設這個樣本中成分甲的含量分別為，，，，，，平均值為，則，所以，所以，所以，于是，則.故答案為：2014.答案：（1）“數學成績優秀”與“及時復習”有關系（2）見解析解析：（1）零假設為：“數學成績優秀”與“及時復習”沒有關系.根據數據計算，，可以推斷不成立，即認為“數學成績優秀”與“及時復習”有關系，該推斷犯錯誤的概率不超過0.001.（2）根據分層抽樣方法得，選取的7人中，及時復習的有5人，不及時復習的有2人.X的所有可能取值為1，2，3.，，，所以X的分布列為X123P所以X的數學期望.15.答案：(