專題10類比、拓展探究題

考向1圖形旋轉引起的探究

福題呈現

【母題來源】2021年中考日照卷

【母題題文】問題背景：如圖1,在矩形ABCD中，AB=2/,NABD=30。，點E是邊AB的中點，過點

E作EFXAB交BD于點F.

實驗探究：

(1)在一次數學活動中，小王同學將圖1中的ABEF繞點B按逆時針方向旋轉90。，如圖2所示，得到結

AE

論：①——=___；②直線AE與DF所夾銳角的度數為30°.

DF—2一

(2)小王同學繼續將aBEF繞點B按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置.請問探究(1)中的結論

是否仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當aBEF旋轉至D、E、F三點共線時，則4ADE的面積為.

【試題解析】解：(1)如圖1,VZABD=30°,ZDAB=90°,EF±BA,

BEABJ3

/.cosZABD===——,

BFDB2

如圖2,設AB與DF交于點O,AE與DF交于點H,

圖2

VABEF繞點B按逆時針方向旋轉90°,

；.NDBF=NABE=90°,/.AFBD^AEBA,

ZBDF=ZBAE,

DFBF2

又；/DOB=NAOF,；./DBA=/AHD=30。,

直線AE與DF所夾銳角的度數為30°,

故答案為：J30。；

2

（2）結論仍然成立，

理由如下：如圖3,設AE與BD交于點O,AE與DF交于點H,

圖3

V^ABEF繞點B按逆時針方向旋轉，ZABE=ZDBF,

.?.△ABE^ADBF,

BFDB2

絲巴0,/BDF-BAE,

DFBF2

又：NDOH=NAOB,

.?.ZABD=ZAHD=30°,

直線AE與DF所夾銳角的度數為30°.

拓展延伸：如圖4,當點E在AB的上方時，過點D作DGLAE于G,

圖4

VAB=2^/3,NABD=30。，點E是邊AB的中點，ZDAB=90°,

ABE=p,AD=2,DB=4,

：NEBF=30。，EF±BE,

；.EF=1,VD,E、F三點共線，

.\ZDEB=ZBEF=90°,

.'.DE=7BE)2-be2=V16-3=A/13,

1廓

VZDEA=30°,ADG=-DE=--,

22

AE

由(2)可得：一

DFBF2

11解+pH13方+國

.二△ADE的面積=-xAExDG-X--------------------X---------=---------------------------'

22228

如圖5,當點E在AB的下方時,過點D作DGLAE,交EA的延長線于G,

1煙-&J1313^-739

—X-------------------X---------=--------------------------

2228

故答案為：巴—色

88

【命題意圖】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；推理能力。

【命題方向】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質,

旋轉的性質等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵，一般為壓軸題型。

【得分要點】類比、拓展探究題的解題通法：

1.類比、拓展探究題一般會有三問，每一問都是對前一問的升華和知識遷移應用，解題的一般思路：

(1)第一問通過操作發現，找到解決問題的思路和方法；

(2)第二問通常是在第一問的基礎上,改變其中的一個條件，只需觀察改變的條件,即可利用同樣的思路解決問

題；

(3)第三問通常將原題中的特殊情況推廣到一般情況，利用前兩問的做題思路進行求解.

2.關于探究兩條線段之間的數量關系：

(1)兩條線段相等，通常通過特殊四邊形和三角形全等來證明.

(2)兩條線段有倍數關系，通常通過構造基本圖形模型來證明：

①利用三角形的中位線或含有30。角的直角三角形證明2倍關系;

②利用等腰直角三角形證明M倍關系；

③利用含有30。角的直角三角形證明8倍關系.

3.關于探究兩條線段之間的位置關系：

(1)平行,通常用以下方法進行證明：

①平行線判定定理；

②平行四邊形對邊平行；

③三角形中位線的性質.

(2)垂直,通常用以下方法進行證明：

①兩線段所在直線夾角為90。；

②兩線段是矩形的鄰邊；

③兩線段是菱形的對角線；

④勾股定理的逆定理；

⑤等腰三角形三線合一的性質.

考向2動點引起的探究

福題呈現

【母題來源】2021年中考重慶卷

【母題題文】在等邊aABC中，AB=6,BDXAC,垂足為D,點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一

點，連接EF.

(1)將線段EF繞點E逆時針旋轉60。得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG,求線段DG的長；

②如圖2,點E不與點A,B重合，GF的延長線交BC邊于點H,連接EH,求證：BE+BH=J^BF；

(2)如圖3,當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且DN=2NC,點F從BD中點Q

1

沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉60。得到線段EP,連接FP,當NP+—MP最小時，直接寫

2

出4DPN的面積.

圖1圖2圖3

【試題解析】（1）①過D作DHLGC于H,如圖:

:線段EF繞點E逆時針旋轉60。得到線段EG,點E與點B重合，且GF的延長線過點C,

；.BG=BF,NFBG=60。，ABGF是等邊三角形，

.?.NBFG=NDFC=60°,BF=GF,

:等邊△ABC,AB=6,BDXAC,

111

AZDCF=180°-ZBDC-NDFC=30°,ZDBC=—NABC=30°,CD=-AC=-AB=3,

222

NBCG=ZACB-NDCF=30°,/.NBCG=ZDBC,

；.BF=CF,；.GF=CF,

CD3

1△FDC中，CF=----------------=-------------=2乖,；.GF=2m，

coszDCFcos30°

RfCDH中,DH-dCH=CD?-%

22

F5j3

；.FH=CF-CH=；.GH=GF+FH=,

22

RtAGHD中，DG=7GH2+DH2=^21;

②過E作EP_LAB交BD于P,過H作MH_LBC交BD于M,連接PG,作BP中點N,連接EN,如圖:

VEF繞點E逆時針旋轉60。得到線段EG,

.'.△EGF是等邊三角形，

，NEFG=/EGF=/GEF=60。，ZEFH=120°,EF=GF,

VAABC是等邊三角形，

AZABC=60°,.\ZABC+ZEFH=180°,

；.B、E、F、H共圓，/.ZFBH=ZFEH,

而aABC是等邊三角形，BDXAC,

；.NDBC=NABD=30°,即NFBH=30°,

.\ZFEH=30°,

.?.ZFHE=180°-ZEFH-ZFEH=30°,

；.EF=HF=GF①，VEPXAB,NABD=30。，

.?.NEPB=60°,/EPF=120°,

...NEPF+NEGF=180°,

；.E、P、F、G共圓，；.NGPF=NGEF=60°,

VMHXBC,NDBC=30°,；.NBMH=60°,

；.NBMH=NGPF②，而NGFP=NHFM③，

由①②③得4GFP絲△HFM(AAS),；.PF=FM,

1

VEPXAB,BP中點N,NABD=30。，；.EP=—BP=BN=NP,

2

1

；.PF+NP=FM+BN,ANF=-BM,

2

1

RtAMHB中，MH=-BM,；.NF=MH,

2

；.NF+BN=MH+EP,即BF=MH+EP,

RtABEPEP=BE?tan30。='BE,

3

為△MHB中，MH=BH?tan30°

ABF=旦E+QBH,；.BE+BH=避BF；

33

(2)以M為頂點，MP為一邊，作NPML=30。，ML交BD于G,過P作PH_LML于H,設MP交BD

于K,如圖：

1

RtAPMH中，HP=-MP,

2

1

ANP+—MP最小即是NP+HP最小，止匕時N、P、H共線，

2

:將線段EF繞點E順時針旋轉60。得到線段EP,

；.F在射線QF上運動，則P在射線MP上運動，根據“瓜豆原理”，F為主動點，P是從動點，E為定點，Z

FEP=60。，貝l|F、P軌跡的夾角NQKP=NFEP=60。，

.?.ZBKM=60°,VZABD=30°,；./BMK=90°,

：/PML=30。，；.NBML=60。，

...NBML=NA,；.ML〃AC,

.?.NHNA=180°-NPHM=90°,而BD_LAC,

/BDC=/HNA=NPHM=90。，

.,?四邊形GHND是矩形，；.DN=GH,

二?等邊aABC中，AB=6,BDXAC,

；.CD=3,又DN=2NC,；.DN=GH=2,

:等邊aABC中，AB=6,點E為AB中點時，點M為BE中點，

3

ABM=BD=AB?sinA=6xsin60°=3g,

RfBGM中，BG-3。。;至

244

119#

；.MH=MG+GH=——，GD=BD-BG=—

44

+11F

RtAMHP中，HP=MH?tan30°=——)

12

4/3i4/3

.\PN=HN-HP=GD-HP=，S4DPN=-PN?DN=.',

【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力；模型思想；應用意識

【命題方向】本題考查等邊三角形性質及應用，涉及旋轉變換、解直角三角形、三角形全等的判定及性質、

矩形的判定及性質等知識，難度較大，解題的關鍵是構造輔助線，一般為壓軸位置.

考向3圖形變化引起的探究

福題量現

【母題來源】2021年中考赤峰卷

【母題題文】數學課上，有這樣一道探究題.如圖，已知AABC中，AB=AC=m,BC=n,NBAC=a(0°

<a<180。)，點P為平面內不與點A、C重合的任意一點，連接CP,將線段CP繞點P順時針旋轉a,得線

段PD,連接CD、AP點E、F分別為BC、CD的中點，設直線AP與直線EF相交所成的較小角為0,探究

EF

靠的值和P的度數與m、n、a的關系.

請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：

(1)填空：

【問題發現】

EFEF

小明研究了。=60。時，如圖1,求出了——的值和0的度數分別為——=,p

PAPA

EFEF

小紅研究了a=90。時，如圖2,求出了——的值和p的度數分別為——=,p

PAPA

【類比探究】

EF

他們又共同研究了a=120。時，如圖3,也求出了——的值和。的度數;

PA

【歸納總結】

EF

最后他們終于共同探究得出規律：——=(用含m、n的式子表示)；［3=

PA

(用含a的式子表示).

EF

(2)求出a=120。時一的值和p的度數.

PA

B

【試題解析】（1）如圖1,連接AE,PF,延長EF、AP交于點Q,

當a=60。時，AABC和4PDC都是等邊三角形，

.\ZPCD=ZACB=60°,PC=CD,AC=C,B,

：F、E分別是CD、BC的中點，

CF1CE1CFCE

??---=?.---=,

PC2AC2PCAC

又；NACP=NECF,.".△ACP^AECF,

EF1

—=-,NCEF=NCAP,.,.ZQ=B=ZACB=60°,

AP2

當a=90。時，AABC和4PDC都是等腰直角三角形，

%

A'B

圖2

11

???NPCD=NACB=45。，PC二—CD,AC=—CB,

也觀

cE1CF1

：F、E分別是CD、BC的中點，.\-=

A7=7PCJ

CFCE

；____——，又：/ACP=/ECF,'.△ACP^AECF,

PCAC

EF1J2

——=—=——，NCEF=NCAP,

AP722

.?.ZQ=p=ZACB=45°,

n

-180°-a

由此，可歸納出_E_F___C__E___2___n__,P=ZACB=-------2------:

APACm2m

(2)當a=120。，連接AE,PF,延長EF、AP交于點Q,

：AB=AC,E為BC的中點,

AAEXBC,NCAE=60°

sin60°=-——=--，同理可得：---=—

AC2CP2

CECFCECA

"CF=CP，

又：/ECF=/ACP,.,.△PCA^AFCE,

EFECJ3

/CEF=NCAP,

AP=AC=T

:.NQ=p=NACB=30。.

【命題意圖】圖形的相似；模型思想.

【命題方向】考查學生的探究能力，綜合性較強，一般為壓軸題.

【得分要點】本題主要考查了三角形相似的判定與性質，通過解決本題感受到：圖形在變化但解決問題的

方法不變，體會“變中不變”的思想.

I.(2021?范縣模擬)在aABC中，CA=CB,NACB=a,D為^ABC內一點，將aCAD繞點C按逆時針

方向旋轉角a得到aCBE,點A,D的對應點分別為點B,E.

(1)如圖1,若A,D,E三點在同一直線上，則/CDE=(用含a的代數式表示)；

(2)如圖2,若A,D,E三點在同一直線上，a=60。，過點C作CF,AE于點F,然后探究線段CF,

AE,BE之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)圖3中，若CA=2/,CD=2,將4DCE繞點C旋轉，當時，ACAD的面積最大，最大面積

是.

2.（2021?宛城區一模）如圖，在aABC中，AB=AC,NBAC=a,過A作ADLBC于點D,點E為直線AD

上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉a,得到線段EF,連接FC、FB,直線AD與BF相交于點G.

（1）［發現］如圖1,當a=60。時，填空：

AE

①——的值為；②NAGB的度數為；

BF——

AE

（2）［探究］如圖2,當a=120。時，請寫出——的值及NAGB的度數，并就圖2的情形給出證明；

BF

（3）［應用］如圖3,當a=90。時，若AB=2/，NACE=15。，請直接寫出ADEG的面積.

3.（2021?南關區校級一模）【教材呈現】華師版九年級上朋數學教材第77頁的部分內容：

1

如圖1,在aABC中，點D、E分別是AB,AC的中點，可以猜想：DE〃:BC且DE=-BC.

2

請根據教材內容，結合圖1,寫出證明過程.

【結論應用】如圖2,在AABC中AD垂直于NABC的平分線BE于點E,且交BC邊于點D,點F為AC

的中點.若AB=5,BC=9,求EF的長.

【拓展廷仲】

如圖3,在RtAABC中，NABC=90。，AB=2,BC=3,D為AC中點，將AD繞點A逆時針旋轉一定的

角度a（0。＜0（＜360。），得到線段AD”連結CD一取CD1的中點E,連結BE.則ABEC面積的最大值

為_.

4.（2021?市南區校級二模）如圖，等腰三角形AABC的腰長AB=AC=5cm,BC=8cm,動點P從B出發

沿BC向C運動，速度為2cm/s.動點Q從C出發沿CA向A運動，速度為lcm/s,當一個點到達終點時兩

個點同時停止運動.點P'是點P關于直線AC的對稱點，連接PP，和PQ,PT和AC相交于點E.設運動時

間為t秒.

(1)若當t的值是多少時，PP恰好經過點A?

(2)設△PPQ的面積為y,求y與t之間的函數關系式(0<t<4)；

(3)是否存在某一時刻t,使PQ平分/PTC?若存在，求出相應的t值，若不存在，請說明理由.

(4)是否存在某一時刻3使點Q在PC的垂直平分線上？若存在，求出相應的t值，若不存在，請說明理

由.

5.(2021?朝陽二模)如圖4ABC是直角三角形，/BAC=90。，經過點A的直線MN〃BC,D是直線MN

上的一個動點，射線DB繞點D逆時針旋轉90。交直線AC于點E.

(1)若/ABC=45°.

①如圖1,當點E在線段AC上時，直接寫出線段AB,AE,AD之間的數量關系，不用證明；

②如圖2,當點E在線段AC的延長線上時，①中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出正

確結論，并證明.

(2)如圖3,若NABC=60。，BC=8,AE=2&,其他條件不變，直接寫出AD的長.

6.(2021?尋烏縣模擬)在RtaABC中，ZACB=90°,AC=2,NABC=30。，點A關于直線BC的對稱點

為A-連接A，B,點P為直線BC上的動點(不與點B重合)，連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉

60°,得到線段PD,連接AD,BD.

【問題發現】

(1)如圖1,當點D在直線BC上時，線段BP與AD的數量關系為,/DA，B=；

【拓展探究】

(2)如圖2,當點P在BC的延長線上時，(1)中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說

明理由；

【問題解決】

(3)當NBDA，=30。時，求線段AP的長度.

7.(2021?太原二模)綜合與實踐

問題背景

數學小組在一次課外學習交流時，組內一同學提出如下問題：在AABC中，/ACB=90。，D為BC邊上一

點，但不與點B,點C重合，過點D作DELAB于點E.連接AD,M為AD的中點，連接EM,CM.

觀察發現

（1）如圖1,EM與CM之間的數量關系是EM=CM；

思考分享

（2）如圖2,將4BDE繞點B順時針旋轉，其他條件不變，則（1）中的結論還成立，請證明.

小明是這樣思考的：延長DE至點D）使得ED，=DE,連接AD，運用三角形中位線定理，…，按照他的思

路或采用其他方法證明；

探究計算

（3）若/ABC=30。，AC=4,DE=2,在4BDE繞點B旋轉一周的過程中，當直線DE經過點A時，線

段AD的長為

8.（2021?重慶模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD交于點O,以正方形的邊長BC為斜邊在正方

形內作RgBEC,ZBEC=90°.

（1）求證：BE-CE=72OE；

（2）若CE=3,BE=4,

①AOBE的面積為—（直接寫出結果）；

②點P為BC邊上的動點，則aOPE周長的最小值為—（直接寫出結果）.

9.（2021?環翠區模擬）在AABC中，AB=AC,點P在平面內，連接AP并將線段AP繞點A順時針方向

旋轉與/BAC相等的角度，得到線段AQ,連接BQ.

如圖1,如果點P是BC邊上任意一點，則線段BQ和線段PC的數量關系是BQ=PC

（2）類比探究

如圖2,如果點P為平面內任意一點，前面發現的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請

說明理由.請僅以圖2所示的位置關系加以證明；

（3）遷移應用

如圖3,在aABC中，AC=2,/ABC=90。，NACB=45。，P是線段BC上的任意一點.連接AP,將線段

AP繞點A順時針方向旋轉45。，得到線