第1頁（共1頁）2025年山東省煙臺市開發區中考數學一模試卷一、選擇題（本題共10個小題、每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的。1．（3分）下列各數中，無理數是（）A． B． C． D．2π2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）若xa＝2，xb＝3，則x3a﹣b的值為（）A．2 B．3 C． D．54．（3分）登上奧運領獎臺是每一位體育運動員的夢想，你知道嗎，奧運會領獎臺通常分為三個高度，冠軍臺高為1米，亞軍臺高為0.7米，季軍臺高為0.5米，其整體可以看成如圖所示的立體圖形，你認為它的左視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在一個邊長為m的正六邊形紙板中截去一個邊長為m的等邊三角形后，余下部分的面積與所截去的等邊三角形的面積之比為（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：16．（3分）某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結果出現的頻率分布折線圖如圖所示，則符合這一結果的試驗可能是（）A．拋一枚硬幣，出現正面朝上 B．擲一個正六面體的骰子，出現3點朝上 C．任意畫一個三角形，其內角和是360° D．從一個裝有2個黃色和1個白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球7．（3分）如圖，在邊長為1的正方形網格中，點A、B、C均在格點上，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，已知邊AD的中點E在y軸上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函數（k＞0，x＞0）的圖象經過點B，則k的值為（）A． B．8 C．6 D．9．（3分）若x＝2025是關于x的方程ax2+bx+1＝0的一個根，則關于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一個根為（）A．2023 B．2024 C．2025 D．202710．（3分）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，直線x＝﹣1是對稱軸，有以下判斷：①2a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的兩根是2和﹣4；④若（﹣3，y1），（﹣2，y2）是拋物線上兩點，則y1＞y2；其中正確的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本題共6個小題，每小題3分，共計18分）11．（3分）近似數3.150×106精確到位．12．（3分）因式分解：m4﹣8m2+16＝．13．（3分）若2x﹣y﹣3＝0，則9x÷3y﹣1的值為．14．（3分）如圖，線段OA，OB，OC的長度分別是2，3，4，∠AOD＝25°，且OB平分∠AOC，若將點A表示為（2，25°），點C表示為（4，105°），則點B可表示為．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D都在⊙O上，若點A是的中點，CD，cos∠CDB，則AB的長為．16．（3分）小好同學用計算機軟件繪制函數y＝x3﹣3x2+3x﹣2的圖象如圖所示，發現它關于點（1，﹣1）成中心對稱，若點A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函數圖象上，這些點的橫坐標從0開始依次增加0.1，則y0+y1+y2+?+y19+y20的值是．三、解答題（本題共8個題，滿分72分）17．（6分）【閱讀材料】運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應用其它公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）；立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）．根據材料和已學知識，先化簡代數式，并求出當x＝6時的值．18．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點E，（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）若BD＝4，∠BDC＝120°，求BC的長．19．（8分）某校志愿者社團為了解全校2800名學生參加志愿服務的情況，隨機抽取部分學生進行以下問卷調查：1．本學期您參加志愿服務的時長（每項含最大值，不含最小值）大約是_____；A．0﹣3h；B．3﹣6h；C．6﹣9h；D．9h以上．2．學校計劃組織學生們到博物館參加“小小解說員”的志愿服務活動，您最想去的一座博物館是_____．E．煙臺市博物館；F．北極星鐘表文化博物館；G．磁山地質博物館；H．張裕酒文化博物館形成了如下不完整的調查報告：請根據以上信息解答下列問題：（1）求出參與本次抽樣調查的學生人數，并將條形統計圖和扇形統計圖補充完整；（2）說明在抽取的學生中，本學期參加志愿服務時長的中位數在哪個時段；（3）請估計在本校2800名學生中，本學期參加志愿服務的時長大約“6﹣9h”的學生人數；（4）若有一男生一女生想采用抽簽的方式（第一人抽簽后又放回，第二人再抽取）決定去哪座博物館解說，請用樹狀圖或者列表格求出兩人正好抽到各自性別中最想去的博物館的概率．20．（9分）年初隨著電影《哪吒之魔童鬧海》的熱播，與之相關的手辦成了許多人熱衷的收藏品．學校動漫社團的同學們也準備團購一批哪吒和敖丙的手辦用于收藏，詢價后得知，哪吒手辦的單價是敖丙手辦單價的1.2倍，經統計，計劃購買哪吒手辦的數量比敖丙手辦的數量多6個，購買哪吒手辦共需1200元，敖丙手辦共需760元．（1）分別求出哪吒手辦和敖丙手辦的單價；（2）社團與商家協商給出團購政策：哪吒手辦的數量若超過20個，則其單價可以降低4元；敖丙手辦的數量若超過20個，則可以打九折銷售．同學們現有1850元，請通過計算判斷能否購買到原來統計的手辦．若能，寫明購買方案；若不能，請說明理由．21．（9分）某校數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.活動主題測算校園內人工湖內的雕塑與觀景臺之間的距離測是工具米尺、測角儀、指南針、計算器等活動過程模型抽象學校的人工湖中有一個雕塑C，湖邊有兩條直路AB，AD，路邊有B，D兩處觀景平臺，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①用米尺測得AB的距離為8米；②用米尺測得AD的距離為8.6米；③在點A處用指南針和測角儀測得觀景臺B在正西方向，雕塑C在北偏西30°方向，觀景臺D在北偏東23°方向；④在點B處用指南針和測角儀測得雕塑C在北偏東30°方向；⑤用計算器計算得：sin23°≈0.4，cos23°≈0.9，tan23°≈0.4，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3.請根據表格中提供的信息，求每個觀景臺到雕塑的距離（結果保留整數）．22．（10分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點C作圓的切線CE交AD的延長線于點E，過點A作AF∥BC交CD的延長線于點F，已知∠F＝∠ADB，EC＝10，DE＝6，求DF長度．23．（11分）綜合與實踐活動是一種非常有效的數學學習方式，通過活動可以提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數學體驗，讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．【折一折】將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF，如圖1．（1）則∠EAF＝°；【轉一轉】連接正方形對角線BD，將圖1中的∠EAF繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點P，Q，交對角線BD于點M、N，連接PQ，如圖2．（2）求CQ：BM的值；（3）直接寫出線段BP，PQ，DQ之間的數量關系．【剪一剪】將圖2中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖3．（4）探究線段BM，DN，MN之間的數量關系，并證明你的結論．24．（12分）如圖，在直角坐標系中，△ABC的頂點為A（4，0），B（），C（0，3），BC邊交x軸于點D，拋物線y＝ax2+bx+c過點A，D，C．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若E為直線AC上方的拋物線上一點，且，求點E的坐標；（4）N為線段AC上的點，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段BN運動到點N，再以每秒個單位長度的速度沿線段NC運動到點C，又以每秒1個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當點P運動到點O后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點N的坐標．

2025年山東省煙臺市開發區中考數學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DBCCCDBDAC一、選擇題（本題共10個小題、每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的。1．（3分）下列各數中，無理數是（）A． B． C． D．2π【解答】解：2，2是整數，是分數，它們不是無理數，2π是無限不循環小數，它是無理數，故選：D．2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．3．（3分）若xa＝2，xb＝3，則x3a﹣b的值為（）A．2 B．3 C． D．5【解答】解：∵xa＝2，xb＝3，∴x3a﹣b＝x3a÷xb＝（xa）3÷xb＝23÷3．故選：C．4．（3分）登上奧運領獎臺是每一位體育運動員的夢想，你知道嗎，奧運會領獎臺通常分為三個高度，冠軍臺高為1米，亞軍臺高為0.7米，季軍臺高為0.5米，其整體可以看成如圖所示的立體圖形，你認為它的左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：它的左視圖是：故選：C．5．（3分）如圖，在一個邊長為m的正六邊形紙板中截去一個邊長為m的等邊三角形后，余下部分的面積與所截去的等邊三角形的面積之比為（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1【解答】解：如圖所示，設正六邊形ABCDEF的中心為O，連接OB、OA，∴OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∵正六邊形的邊長為m，∴△AOB是邊長為m的等邊三角形，∴，∴余下部分的面積與所截去的等邊三角形的面積之比為5：1，故選：C．6．（3分）某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結果出現的頻率分布折線圖如圖所示，則符合這一結果的試驗可能是（）A．拋一枚硬幣，出現正面朝上 B．擲一個正六面體的骰子，出現3點朝上 C．任意畫一個三角形，其內角和是360° D．從一個裝有2個黃色和1個白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球【解答】解：A．拋一枚硬幣，出現正面朝上的概率為，不符合題意；B．擲一個正六面體的骰子，出現3點朝上的概率為，不符合題意；C．任意畫一個三角形，其內角和是360°的概率為0，不符合題意；D．從一個裝有2個黃色和1個白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球的概率為，符合題意．故選：D．7．（3分）如圖，在邊長為1的正方形網格中，點A、B、C均在格點上，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．【解答】解：連接AC．觀察圖形可知∠ACB＝90°，∵BC，AB，∴cos∠ABC．故選：B．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，已知邊AD的中點E在y軸上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函數（k＞0，x＞0）的圖象經過點B，則k的值為（）A． B．8 C．6 D．【解答】解：如圖，作BF⊥x軸于點F，∵∠OAE＝30°，AE＝DEAD＝2，∴OEAE＝1，∠AEO＝60°，∴OA，∠CED＝60°，∴∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝4，∴CD＝2，∴，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴AFAB，BF＝3，∴B的坐標為（2，3），∴6．故選：D．9．（3分）若x＝2025是關于x的方程ax2+bx+1＝0的一個根，則關于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一個根為（）A．2023 B．2024 C．2025 D．2027【解答】解：關于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1變形為a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，此方程可看作關于（x+2）的一元二次方程，∵x＝2025是關于x的方程ax2+bx+1＝0的一個根，∴x＝2025是關于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一個根，∴x+2＝2025，解得x＝2023，∴關于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一個根為x＝2023．故選：A．10．（3分）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，直線x＝﹣1是對稱軸，有以下判斷：①2a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的兩根是2和﹣4；④若（﹣3，y1），（﹣2，y2）是拋物線上兩點，則y1＞y2；其中正確的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴1，即b＝2a，∴2a﹣b＝0，所以①正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正確；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣4，0），∴方程ax2+bx+c＝0的兩根是2和﹣4，所以③正確；∵x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，所以④錯誤．故選：C．二、填空題（本題共6個小題，每小題3分，共計18分）11．（3分）近似數3.150×106精確到千位．【解答】解：3.150×106中，0在千位上，則精確到了千位．故答案為：千．12．（3分）因式分解：m4﹣8m2+16＝（m+2）2（m﹣2）2．【解答】解：m4﹣8m2+16＝（m2﹣4）2＝[（m+2）（m﹣2）]2＝（m+2）2（m﹣2）2，故答案為：（m+2）2（m﹣2）2．13．（3分）若2x﹣y﹣3＝0，則9x÷3y﹣1的值為26．【解答】解：∵2x﹣y﹣3＝0，∴2x﹣y＝3，∴9x÷3y﹣1＝（32）x÷3y﹣1＝32x﹣y﹣1＝33﹣1＝26．故答案為：26．14．（3分）如圖，線段OA，OB，OC的長度分別是2，3，4，∠AOD＝25°，且OB平分∠AOC，若將點A表示為（2，25°），點C表示為（4，105°），則點B可表示為（3，65°）．【解答】解：∵∠AOD＝25°，且OB平分∠AOC，∠DOC＝105°，∴∠AOC＝∠DOC﹣∠AOD＝105°﹣25°＝80°，∴∠AOB＝40°，∴∠DOB＝∠AOD+∠AOB＝25°+40°＝65°，∴點B可表示為（3，65°），故答案為：（3，65°）．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D都在⊙O上，若點A是的中點，CD，cos∠CDB，則AB的長為8．【解答】解：設CD與AB相交于點E，∵點A是的中點，∴，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BED＝90°，，∴BC＝BD，∵cos∠CDB，∴∠CDB＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝CD＝4，∵∠BED＝90°，∠CDB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠CDB＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AB8，故答案為：8．16．（3分）小好同學用計算機軟件繪制函數y＝x3﹣3x2+3x﹣2的圖象如圖所示，發現它關于點（1，﹣1）成中心對稱，若點A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函數圖象上，這些點的橫坐標從0開始依次增加0.1，則y0+y1+y2+?+y19+y20的值是﹣21．【解答】解：由條件可知1，∴y0+y1+y2+y3+?y9+y11?+y19+y20＝﹣20，∴y0+y1+y2+y3+??+y19+y20＝﹣20+y10，又∵A10（1，﹣1），即y10＝﹣1，∴y0+y1+y2+y3+??+y19+y20＝﹣20+y10＝﹣20﹣1＝﹣21．故答案為：﹣21．三、解答題（本題共8個題，滿分72分）17．（6分）【閱讀材料】運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應用其它公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）；立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）．根據材料和已學知識，先化簡代數式，并求出當x＝6時的值．【解答】解：＝[]???＝2（x+2）?＝2（x+2），當x＝6時，原式12．18．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點E，（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）若BD＝4，∠BDC＝120°，求BC的長．【解答】（1）證明：由作圖可知BD＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）解：∵△ABD≌△ACD，∴DB＝DC，∠ADB＝∠ADC∠BDC＝60°，∴DE⊥BC，BE＝EC，∵BE＝BD?sin60°＝42，∴BC＝2BE＝4．19．（8分）某校志愿者社團為了解全校2800名學生參加志愿服務的情況，隨機抽取部分學生進行以下問卷調查：1．本學期您參加志愿服務的時長（每項含最大值，不含最小值）大約是_____；A．0﹣3h；B．3﹣6h；C．6﹣9h；D．9h以上．2．學校計劃組織學生們到博物館參加“小小解說員”的志愿服務活動，您最想去的一座博物館是_____．E．煙臺市博物館；F．北極星鐘表文化博物館；G．磁山地質博物館；H．張裕酒文化博物館形成了如下不完整的調查報告：請根據以上信息解答下列問題：（1）求出參與本次抽樣調查的學生人數，并將條形統計圖和扇形統計圖補充完整；（2）說明在抽取的學生中，本學期參加志愿服務時長的中位數在哪個時段；（3）請估計在本校2800名學生中，本學期參加志愿服務的時長大約“6﹣9h”的學生人數；（4）若有一男生一女生想采用抽簽的方式（第一人抽簽后又放回，第二人再抽取）決定去哪座博物館解說，請用樹狀圖或者列表格求出兩人正好抽到各自性別中最想去的博物館的概率．【解答】解：（1）∵選擇A的36人，占被調查人數的9%，∴參與本次抽樣調查的學生人數為36÷9%＝400（人），∵400﹣36﹣156﹣136＝72（人），∴選擇A的有72人；∵136÷400×100%＝34%，∴選擇D的占抽樣調查的學生人數的34%，補充條形統計圖和扇形統計圖如下：（2）由條形統計圖可知，本學期參加志愿服務時長的中位數在6﹣9h時段；（3）∵2800×39%＝1092（人），∴在本校2800名學生中，本學期參加志愿服務的時長大約“6﹣9h”的學生約為1092人；（4）用列表法表示所有可能出現的結果如下：EFGHEEEEFEGEHFFEFFFGFHGGEGFGGGHHHEHFHGHH一共有16種可能出現的結果，其中兩人正好抽到E博物館的有1種，∴兩人正好抽到各自性別中最想去的博物館的概率為．20．（9分）年初隨著電影《哪吒之魔童鬧海》的熱播，與之相關的手辦成了許多人熱衷的收藏品．學校動漫社團的同學們也準備團購一批哪吒和敖丙的手辦用于收藏，詢價后得知，哪吒手辦的單價是敖丙手辦單價的1.2倍，經統計，計劃購買哪吒手辦的數量比敖丙手辦的數量多6個，購買哪吒手辦共需1200元，敖丙手辦共需760元．（1）分別求出哪吒手辦和敖丙手辦的單價；（2）社團與商家協商給出團購政策：哪吒手辦的數量若超過20個，則其單價可以降低4元；敖丙手辦的數量若超過20個，則可以打九折銷售．同學們現有1850元，請通過計算判斷能否購買到原來統計的手辦．若能，寫明購買方案；若不能，請說明理由．【解答】解：（1）設敖丙手辦的單價為x元，則哪吒手辦的單價為1.2x元，由題意得：6，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝1.2×40＝48，答：哪吒手辦的單價為48元，敖丙手辦的單價為40元；（2）不能，理由如下：原來統計的哪吒手辦為25（個），敖丙手辦為19（個），調整后的哪吒手辦的單價為44元，敖丙手辦的單價為40元，費用為：25×44+19×40＝1860（元），∵1860＞1850，∴同學們現有1850元，不能購買到原來統計的手辦．21．（9分）某校數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.活動主題測算校園內人工湖內的雕塑與觀景臺之間的距離測是工具米尺、測角儀、指南針、計算器等活動過程模型抽象學校的人工湖中有一個雕塑C，湖邊有兩條直路AB，AD，路邊有B，D兩處觀景平臺，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①用米尺測得AB的距離為8米；②用米尺測得AD的距離為8.6米；③在點A處用指南針和測角儀測得觀景臺B在正西方向，雕塑C在北偏西30°方向，觀景臺D在北偏東23°方向；④在點B處用指南針和測角儀測得雕塑C在北偏東30°方向；⑤用計算器計算得：sin23°≈0.4，cos23°≈0.9，tan23°≈0.4，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3.請根據表格中提供的信息，求每個觀景臺到雕塑的距離（結果保留整數）．【解答】解：如圖，過A作NS⊥AB，CE⊥AD，連接AC，根據題意，AB＝8米，AD＝8.6米，∠NAC＝30°，∠NAD＝23°，∠CBA＝60°，∴∠CAB＝∠NAB﹣∠NAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝AB＝8米，∵在Rt△ACE中，∠CAE＝∠NAC+∠NAD＝53°，AC＝8米，∴CE＝AC?sin∠CAE＝8?sin53°≈6.4（米），AE＝AC?cos∠CAE＝8?cos53°≈4.8（米），∴DE＝AD﹣AE＝8.6﹣4.8＝3.8（米），∵在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，∴CD2＝6.42+3.82＝55.4，∴CD≈7（米），答：B觀景臺到雕塑的距離為8米，D觀景臺到雕塑的距離為7米．22．（10分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點C作圓的切線CE交AD的延長線于點E，過點A作AF∥BC交CD的延長線于點F，已知∠F＝∠ADB，EC＝10，DE＝6，求DF長度．【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CD8．∵EC為圓的切線，∴OC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∵CD⊥AE，∴△CDE∽△ACE，∴，∴，∴AC．∵AF∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∠F＝∠ADB，∴∠FAC＝∠F，∴FC＝AC，∴DF＝FC﹣CD．23．（11分）綜合與實踐活動是一種非常有效的數學學習方式，通過活動可以提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數學體驗，讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．【折一折】將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF，如圖1．（1）則∠EAF＝45°；【轉一轉】連接正方形對角線BD，將圖1中的∠EAF繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點P，Q，交對角線BD于點M、N，連接PQ，如圖2．（2）求CQ：BM的值；（3）直接寫出線段BP，PQ，DQ之間的數量關系．【剪一剪】將圖2中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖3．（4）探究線段BM，DN，MN之間的數量關系，并證明你的結論．【解答】解：（1）由翻折的性質可知∠DAF＝∠FAC，∠BAE＝∠EAC，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC，△ADC為等腰三角形，∵∠BAD＝∠DAF+∠FAC+∠BAE+∠EAC，∴∠BAD＝2（∠FAC+∠EAC），∵∠EAF＝∠FAC+∠EAC，∴，故答案為：45；（2）∵BD、AC為正方形ABCD的對角線，∴，∴∠ABM＝∠ACQ＝45°，∠BAC＝45°，∵∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝45°﹣∠PAC，∠CAQ＝45°﹣∠PAC，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△ABM∽△ACQ，∴；（3）如圖，將△ADQ順時針旋轉90°，由旋轉的性質可得AQ＝AQ′，DQ＝BQ′，∠DAQ＝∠BAQ′，由（1）中結論可得∠PAQ＝45°，∵四邊形ABCD為正方形，∠BAD＝90°，∴∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠BAQ'+∠BAP＝45°，∴∠PAQ＝∠PAQ′，∴在△APQ和△APQ'中