/高一數學4月自主檢測一、單選題每題5分共40分1．四等分切割如圖所示的圓柱，再將其重新組合成一個新的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，則圓柱的側面積是（

）

A．B．C．10D．202．已知非零向量，，則在方向上的投影向量長度為（

）A． B． C． D．3．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A．B．2C．D．4．在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，分別是的中點，有四個結論：

①與是異面直線；②相交于一點；③；④平面.其中錯誤的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．在中,分別為角的對邊),則的形狀為A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如圖所示，為線段外一點，若中任意相鄰兩點間的距離相等，，則用表示，其結果為（

）A． B． C． D．8．在銳角中，角所對的邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題每題6分共18分9．已知復數滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的虛部為2 D．10．已知點是三角形的邊上的點，且，以下結論正確的有（

）A．若點是的中點，，則B．若平分，則C．三角形外接圓面積最大值為D．若，，則內切圓半徑為211．已知直三棱柱中，，點分別為棱的中點，是線段上（包含端點）的動點，則下列說法正確的是（

）A．直三棱柱外接球的半徑為2B．三棱錐的體積與的位置無關C．若為的中點，則過三點的平面截三棱柱所得截面為等腰梯形D．一只蟲子由表面從點爬到點的最近距離為三、填空題每題5分共15分12．在中，角的對邊分別為，且，則的面積為.13．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有對．14．費馬點是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最小的點．當三角形三個內角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構成的三個角都為．已知點為的費馬點，角所對的邊分別為，若，，邊上的中線長為，則的值為．四、解答題15．(13分)已知是關于的方程的一個根，其中為虛數單位.(1)求的值;(2)記復數，求復數的模.16．(15分)已知單位向量滿足(1)求的值；(2)設與的夾角為，求的值；17．(15分)在中，對應的邊分別為，已知向量,且為邊上一點，,且.(1)求；(2)求面積的最大值.18．(17分)已知圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為.(1)求該圓錐的側面積；(2)求圓錐的內切球的表面積；(3)求該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值.19．(17分)在中，，，對應的邊分別為，，，(1)求；(2)若為線段內一點，且，求線段的長；(3)法國著名科學家柯西在數學領域有非常高的造詣；很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的，都有被稱為柯西不等式；在（1）的條件下，若，求：的最小值；《2025年4月1日高中數學作業》參考答案題號12345678910答案AACDCADAABDAB題號11答案ABD7．A【詳解】由正弦定理可得：，，即，即，即，即，所以或（舍去），所以，則，因為為銳角三角形，所以，即，解得：，因為在上單調遞增，由，可得，所以..8．D【詳解】解：的面積，，，則，，，，，，，，．10．ABD【詳解】對于A，因為點是的中點，所以，因為，所以，所以，故，故A正確；對于B，在中，由正弦定理可得，因為平分，，所以，所以，同理，中，，所以，又，所以，所以，故B正確；對于C，根據正弦定理可得三角形外接圓半徑，即，因為，所以，所以三角形外接圓面積最小值為，故C錯誤；對于D，如果直角三角形的話內切圓半徑為2,不是直角三角形,半徑就不是2,故D正確.11．對于A，因為，三棱柱為直三棱柱，

如圖，故該三棱柱為長方體的一半，如圖：所以直三棱柱外接球即為長方體外接球，因為，所以其外接球半徑為，故A正確；對于B，如圖：

，因為分別為的中點，所以，又點在上，所以到的距離為定值，故的面積為定值，故三棱錐的體積與的位置無關，故B正確；對于C，如圖，連接，

因為分別為的中點，所以，且，又因為，且，所以，且，過三點的平面截三棱柱所得截面為梯形，又，所以，所以，所以,所以，所以四邊形不是等腰梯形，故C錯誤；對于D，若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖1，則爬過的最小距離：為；

若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖2，則爬過的最小距離為：；

若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖3，則爬過的最小距離為：，

若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖4，過作，交于點，因為為中點，所以，所以，在中，則爬過的最小距離為：，故D正確.12．或13．314．/【詳解】由，則，因為，故，則，即，即，，則，故，故的三內角都小于，則P點與三角形三個頂點的連線構成的三個角都為；又，則，則，解得，故，因為，即，所以，則.15．【詳解】（1）由題意得:，即，所以，所以，，解得：，.（2），，，所以.16．【詳解】（1）因為為單位向量，所以，所以，得到，則，則（2）因為，所以，而

所以，即17．【詳解】（1）因為，且，所以，利用二倍角公式和邊化角可得：，即，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，即.（2）因為，所以，兩邊平方得：，所以，當且僅當時取等號.由，可得：，所以.所以面積的最大值為.18．【詳解】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，又，所以，又因為的面積為，，解得（負值舍去），又，所以，圓錐的側面積.（2）作出軸截面如圖所示：根據圓錐的性質可知內切球球心在上，設球心為，切于點，設內切球半徑為，即，則，所以，由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，所以圓錐的內切球的表面積；（3）由（1）知圓錐的高，令正四棱柱的底面邊長為，高為，則，由得，，所以正四棱柱的側面積，當且僅當，即時等號成立，所以該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值為.19．【詳解】（1）因為所以，由正弦定