/山西大同某校2024?2025學年高二下學期4月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若函數在處的導數等于，則的值為（

）A． B． C． D．2．骰子是質地均勻的正方體，各面分別標有數字1，2，3，4，5，6．現在擲一枚骰子兩次，記事件“兩次點數的最小值為3”，事件“兩次點數的最大值為6”，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線.若直線與沒有公共點，則的離心率的范圍為（

）A． B． C． D．4．在中，是的中點，，若，則的值分別為（）A．， B．，C．， D．，5．函數的部分圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．6．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（

）．A． B． C．2 D．7．展開式中的系數為（

）A． B． C．30 D．908．已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，則當取得最小值時，的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．甲罐中有4個紅球，2個白球，乙罐中有5個紅球，3個白球．整個取球過程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，記事件為“取出的是紅球”，事件為“取出的是白球”；（2）再從乙罐中隨機取出兩個球，記事件B為“取出的兩球都是紅球”，事件C為“取出的兩球為一紅一白”，則（

）A． B．C． D．10．對任意實數，有.則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．11．已知，記數列的前項和為，且，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．在等比數列中，，，則．13．某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3個連續播放，則不同的播放方式有.14．函數．若對任意，都有，則實數m的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的展開式中的第二項和第三項的系數相等．(1)求n的值；(2)求展開式中所有二項式系數的和；(3)求展開式中所有的有理項．16．如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)求證：平面；(2)若，，，求二面角的余弦值．17．DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學習的決心．DeepSeek主要功能為內容生成、數據分析與可視化、代碼輔助、多模態融合、自主智能體等，在金融領域、醫療健康、智能制造、教育領域等多個領域都有廣泛的應用場景．為提高DeepSeek的應用能力，某公司組織A，B兩部門的50名員工參加DeepSeek培訓．(1)此次DeepSeek培訓的員工中共有6名部門領導參加，恰有3人來自部門．從這6名部門領導中隨機選取2人，記表示選取的2人中來自部門的人數，求的分布列和數學期望；(2)此次DeepSeek培訓分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，每輪培訓結果相互獨立，至少兩輪培訓達到“優秀”的員工才能合格．（ⅰ）求每位員工經過培訓合格的概率；（ⅱ）經過預測，開展DeepSeek培訓后，合格的員工每人每年平均為公司創造利潤30萬元，不合格的員工每人每年平均為公司創造利潤20萬元，且公司需每年平均為每位參加培訓的員工支付3萬元的其他成本和費用．試估計該公司兩部門培訓后的年利潤（公司年利潤員工創造的利潤-其他成本和費用）．18．已知直線經過橢圓的右頂點和上頂點．(1)求橢圓的標準方程及離心率；(2)與直線平行的直線交于兩點（均不與的頂點重合），設直線，的斜率分別為，證明：為定值．19．設函數.(1)求函數的單調增區間；(2)當時，記，是否存在整數，使得關于x的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數據：）

參考答案1．【答案】D【分析】根據給定條件，利用導數的定義直接計算作答.【詳解】由已知得．故選D．2．【答案】C【詳解】事件表示兩次點數的最小值為3，最大值為6，有，共2種情況，事件包含，共7種情況，所以.故選C3．【答案】C【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因為直線與雙曲線無公共點，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為.故選C.4．【答案】B【詳解】如圖，因為，所以點為線段的中點，則有,因為是的中點，所以，所以.所以，.故選B.5．【答案】C【詳解】因為的定義域為R.定義域關于原點對稱，，所以是偶函數，圖象關于軸對稱，故排除選項B、D，當時，令可得或，所以時，兩個相鄰的零點為和，當時，，，，故排除選項A，故選C.6．【答案】A【詳解】∵，設為所求的點，則得，，則點P到直線的最小距離為．故選:A.7．【答案】D【詳解】，的通項公式為，令，則，則，令，則，則，所以展開式中的系數為.故選D.8．【答案】A【詳解】由過點的直線可設為，與拋物線，聯立消去x得：，設交點，則，由，取等號條件是，此時.故選A.9．【答案】AD【詳解】由題意知，，，，，，，.故選.10．【答案】ACD【詳解】對任意實數x有，所以，故A正確；令，可得，故B不正確；令，可得，故C正確；令，可得，故D正確．故選ACD．11．【答案】ACD【詳解】解：因為，即，所以，，解得，故A正確；由此可得，，，，……所以當為奇數時，為偶數，為奇數，所以，，所以，所以數列是等比數列，首項為，公比為2，所以，所以，所以，故B錯誤；當為偶數時，為奇數，為偶數，則，，所以，所以數列是等比數列，首項為，公比為2，所以，所以，所以，故C正確；對于D，==，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】在等比數列中，，則，設，設等比數列的公比為，則，所以，，同號，又，所以．13．【答案】72【詳解】先從3個不同的公益廣告中選兩個安排到第一個和最后一個播放有種方法，然后將3個不同的商業廣告排成一列有種方法，3個不同的商業廣告之間有兩個空，選擇一個將剩下的一個公益廣告安排進去即可，所以總共有：種方式.14．【答案】【詳解】由題意，，設，則問題可轉化為.因為是上的增函數（增+增），所以恒成立.設，則，時，單調遞增，時，單調遞減，所以，于是.15．【答案】(1)5(2)32(3)答案見解析【詳解】（1）的展開式的通項為（r＝0，1，2，…，n），∵展開式中的第二項和第三項的系數相等，∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；（2）展開式中所有二項式系數的和為；（3）二項式展開式的通項為（r＝0，1，2，…，5），當r＝0，2，4時，對應項是有理項，所以展開式中所有的有理項為，，．16．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）如圖，取為內一點，作，交于點，作，交于點．因為平面平面且平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以，同理得．因為，且平面，所以平面．（2）因為，，兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示．由題意，得，，，，則，，，．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設平面的法向量為，則令，則，，所以．設二面角的平面角為，則由圖可得．故二面角的余弦值為．17．【答案】(1)分布列見解析，1(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100【詳解】（1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．的分布列為012的數學期望．（2）（ⅰ）記“每位員工經過培訓合格”，“每位員工第輪培訓達到優秀”（），，根據概率加法公式和事件相互獨立定義得，．即每位員工經過培訓合格的概率為．（ⅱ）記兩部門開展DeepSeek培訓后合格的人數為，則，，則（萬元）即估計兩部門的員工參加DeepSeek培訓后為公司創造的年利潤為1100萬元．18．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【詳解】（1）因為直線經過橢圓的右頂點和上頂點，當時，，當時，，則，，所以，，所以橢圓的標準方程為．因為，所以橢圓的離心率為．（2）由（1）知直線的斜率為，設直線的方程為，Mx1,y1聯立方程組，消去得，則．因為，，所以，因為，且，所以，所以，即為定值．19．【答案】(1)答案見解析(2)存在，的最小值為0【詳解】（1）因為，所以，①當時，由，解得；②當時，由，