/陜西省榆林市2025屆下學期4月全國仿真模擬考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．已知圓錐的體積為，其側面積與底面積的比為5:3，則該圓錐的母線長為（）A．5 B．6 C．8 D．104．已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，且，則（）A． B． C． D．5．已知離心率為2的雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線在第一象限交點為，若，則（）A． B． C． D．6．已知數列滿足，，則此數列前項的和為（）A． B． C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．8．已知正實數滿足，則（）A． B． C．-1 D．二、多選題（本大題共3小題）9．某地區組織了一次高三全體學生的模擬考試，經統計發現，數學成績近似服從正態分布，則下列正確的是（）A． B．C． D．10．已知函數，則的圖象（）A．關于直線對稱 B．關于點成中心對稱C．相鄰對稱軸之間的距離為 D．向右平移個單位可以得到的圖象11．已知曲線的方程為，下列說法正確的有（）A． B．C．曲線被直線截得的弦AB長為 D．曲線的一條對稱軸方程為三、填空題（本大題共3小題）12．在平面直角坐標系Oxy中，點，寫出正方形ABCD頂點的一個坐標．13．若直線與拋物線相切于第一象限點，則．14．擲一枚質地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數字依次記為，則的概率是．四、解答題（本大題共5小題）15．的內角的對邊分別為，已知是線段AB的中點，在線段AC上，．連接相交于點，連接AP．(1)求證：；(2)求AP的長度．16．如圖，在三棱柱中，平面，點是線段上一動點．

(1)求三棱錐的體積；(2)若二面角的余弦值為，確定點的位置．17．已知焦距為且焦點在軸上的橢圓經過點．直線不過點．若與相交于兩點，且以為直徑的圓過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：點在定直線上．18．已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，．(1)討論函數的單調性；(2)當時，不等式對任意恒成立，求實數的最小值．19．已知數列為有窮數列，且每一項均為正整數．若數列滿足如下兩個性質，則稱數列為的階數列：①；②對于，使得的正整數對有個．(1)寫出所有5的2階數列；(2)若存在的6階數列，證明：；(3)若存在2025的階數列，求的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以．故選B．2．【答案】A【詳解】由，得，則，即，故選A.3．【答案】D【詳解】由，得，即，又由，得，即．解得，所以母線．故選D.4．【答案】C【詳解】依題意，，即，又，則，所以.故選C.5．【答案】B【詳解】由，得，設中點為．故，由得，故，故為等腰三角形，

即，又，所以．所以中，．則，，所以直線的斜率，顯然直線與軸交于負半軸，，CD錯誤.故選B.6．【答案】D【詳解】由，得，所以，，故數列是以為周期的周期數列，又，，且，則此數列前項的和．故選D.7．【答案】A【詳解】設，令，得，又，令，則，所以，即，故選A.8．【答案】C【詳解】由，得．因為均為正實數，所以（當且僅當，即時取等號），所以，即.令，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減，故當時，，即（當且僅當時取等號），因此，即.由和可得，則有，解得，所以.故選C.9．【答案】AB【詳解】由題意可得．由對稱性可得,，AB正確，CD錯誤．故選AB.10．【答案】ABC【詳解】，由，得的圖象關于對稱，當時，，故正確；由，得的圖象的對稱中心為，當時，對稱中心為，故正確；因為，所以的周期為，所以相鄰對稱軸之間的距離為，故正確；將向右平移個單位可以得到的圖象，故錯誤.故選.11．【答案】ABD【詳解】對于A選項，由，得．所以判別式，解得，故A正確；對于B選項，由，得．令，則所以即，故B正確；對于C選項，由聯立得，設則所以，故C錯誤；對于D選項，若點在曲線上，顯然點也在曲線上．故D正確．故選ABD.12．【答案】或．（答案不唯一，寫出其中一個即可）【詳解】設，則，所以且．即，解得或．13．【答案】/【詳解】法一：設，因為在第一象限，所以，且，得，即，解得；法二：聯立直線與拋物線，得，則，解得，又切點位于第一象限，即，，所以.14．【答案】【詳解】擲一枚質地均勻的骰子3次，總的基本事件數為：，可分為以下四種情況：，可理解為從1到6任選3個數，最大的賦給，中間值賦給，最小的賦給，所以包含的基本事件數為：，，可理解為從1到6任選2個數，較大的賦給，較小的賦給，所以包含的基本事件數為：，，可理解為從1到6任選2個數，較大的賦給，較小的賦給，所以包含的基本事件數為：，，可理解為從1到6任選1個數，把這個數都賦給，所以包含的基本事件數為：，所以所求事件概率為．15．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）在中，又，所以即，所以．（2）設，由是AB的中點，得，又，得．所以，且由CD與BE相交于點可知，點在線段CD上，也在線段BE上，由三點共線的條件可得，解得，所以，故16．【答案】(1)(2)點在AB中點處【詳解】（1）因為平面平面，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以．所以．（2）由（1）得兩兩垂直，故以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

令所以，故，，設是平面的一個法向量，所以即，取，得，所以易知是平面的一個法向量．因為二面角的余弦值為，所以解得．故：點在中點處．17．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）設橢圓方程為：．因為焦距為，所以，即，由，解得．故橢圓方程為：．（2）證明：設點，由,得，由得，則．因為以為直徑的圓過點，所以，即，整理可得①，將，代入①式化簡可得，即，因為直線不過點，所以，即．所以點在定直線上．

18．【答案】(1)在定義域上單調遞增(2)【詳解】（1）因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，所以函數與函數互為反函數，即，所以．的定義域為．令，則，當時，在單調遞減，當時，在單調遞增，所以當時，取得極小值即最小值，即在上恒成立，即在上單調遞增．（2）由，得，即．所以對任意恒成立．設，即，所以，所以當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，因為，當時，，且在上單調遞減，則（＊）式，令，則，當時，在單調遞減；當時，在單調遞增，所以，則，所以，故得實數的最小值為．19．【答案】(1)數列3，1，1和數列2，2，1和數列1，2，1，1；(2)證明見詳解；(3)512578.【詳解】（1）由題意得，則，或，或，或，或.故所有5的2階數列有：數列3，1，1和數列2，2，1和數列1，2，1，1.（2）因為對于，使得的正整數對有個，且存在的6階數列，所以，得.①當時，因為存在的6階數列，所以數列中各項均不相同，則.②當時，因為存在的6階數列，所以數列各項中必有不同的項，所以.若，滿足要求的數列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以.③當時，因為存在的6階數列，所以數列各項中必有不同的項，所以.綜上所述，若存在的6階數列，則.（3）若數列中的每一項都相等，則，若，所以數列中存在大于1的項，若末項，將拆分成個1后變大，所以此時不是最大值，所以.當時，若，交換的順序后變為，所以此時不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數列末尾添加一項1，則變大，所以此時不是最