/廣西平果市鋁城中學2024?2025學年高二下學期期中數學測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．等比數列的前n項和，則（

）.A． B． C． D．2．若是一個單位正交基底，且向量，，則的值為（

）A． B．4 C．7 D．233．已知展開式中的常數項為40，則a等于（）A．1 B．2 C． D．4．小李一家打算去張家界或長沙旅游，去張家界與長沙的概率分別為0.6，0.4，在張家界去徒步爬山的概率為0.5，在長沙去徒步爬山的概率為0.6，則小李一家旅游時去徒步爬山的概率為（

）A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.65．在長方體中，，點E在棱BC上，且，點G為的重心，則點G到直線AE的距離為（）A． B． C． D．6．已知分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線上在第一象限內的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．函數有三個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．設函數的導函數為，若函數在區間上是減函數，且函數在區間上是增函數，稱在區間上是“緩減函數”，區間稱為的“緩減區間”，若，下列區間是的“緩減區間”的是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標系中，已知直線（不同時為0），到直線的距離為，為直線的法向量；推廣，在空間直角坐標系中，已知平面（不同時為0），到平面的距離為，為平面的法向量.若平面，點，則（

）A．點 B．若為原點，則C．點到平面的距離為 D．若，則10．某次射擊比賽中，記事件：“甲射擊一次，命中目標”，，常數；事件：“乙射擊一次，命中目標”，，假定甲、乙互不影響，各人每次射擊互不影響，比賽時，兩人同時射擊次，事件，，發生的次數分別為，，，則（

）A． B．C． D．11．甲、乙兩人進行投籃游戲，用抽簽的方式決定誰先投籃，抽到誰是等可能的.每次投籃若命中，則繼續投籃；若未命中，則換對方投籃.規定兩人累計共投3次球，投中次數多的一方獲勝，若兩人投中次數相同，再抽簽決定誰投籃一次，投中為勝，未投中則對方獲勝.若甲、乙每次投籃命中的概率分別為，且每次投籃相互獨立，則下列說法正確的是（

）A．第2個球是甲投的概率為B．甲只投了1次球獲勝的概率為C．甲投了3次球獲勝的概率為D．在第一次是乙投籃的條件下，甲獲勝的概率為三、填空題（本大題共3小題）12．設數列的前n項和為，若.13．已知空間中的三點，，，則點到直線AB的距離為.14．若對任意的實數，直線與橢圓恒有公共點，則實數的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在中，角的對邊分別為．(1)求的值；(2)若是的中點，，求的值．16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，.(1)證明：平面ABCD.(2)若，求二面角的余弦值.17．某學校為調查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學生作為樣本進行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應的分數和人數如下表所示：等級不及格及格良優分數1234人數3953(1)若從樣本中隨機選取2位學生，求所選的2位學生分數不同的概率；(2)用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學生中隨機抽取n位學生，記所選學生分數不小于3的人數為X.（ⅰ）若，求X的分布列與數學期望；（ⅱ）若，當k為何值時，最大？18．已知為橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，若為直角三角形，且橢圓過點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率互為相反數的兩條直線與分別交橢圓于兩點，①求證：通過點的直線的斜率為定值，并求出該定值；②求的最大值.19．已知函數.(1)當時，求的解集；(2)若有極值，求實數的取值范圍；(3)設，若，求的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】在等比數列中，由前n項和，則，當時，由，所以，即.故選D.2．【答案】A【詳解】由是一個單位正交基底，得，所以.故選A.3．【答案】B【詳解】對于可知：，可知展開式中的常數項為，即，解得或（舍去），且，所以.故選B.4．【答案】A【詳解】記小李一家去張家界為事件，去長沙為事件，去徒步爬山為事件，則、、、，所以，即小李一家旅游時去徒步爬山的概率為.故選A.5．【答案】A【詳解】在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，得，由點E在棱BC上，且，得，的重心，則，，，，所以點G到直線AE的距離.故選A.6．【答案】B【詳解】因為，所以，因為，所以，，又，，所以，所以，所以，所以.故選.7．【答案】A【詳解】因為，易知，所以0不是零點，令，即，得到，令，，則，易知恒成立，由，得到，當時，，時，，時，，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，又易知，當，且時，，時，，當時，時，，且，當時，時，，所以的圖象如圖所示，由題知與有三個交點，所以，故選A.8．【答案】A【詳解】由題意得，又，由，得,解得，，即的單調遞減區間為，.設，則，由，得，即，又，則，解得，，即的單調遞增區間為，．由“緩減區間”的定義可得的“緩減區間”為，，而是的子集，是“緩減區間”；不是的子集，不是“緩減區間”；不是的子集，不是“緩減區間”；不是的子集，不是“緩減區間”.故選A.9．【答案】AD【詳解】對于A，因為，所以點，故A正確；對于B，由平面，可得平面的法向量為，又，，所以，又，所以與不共線，故不垂直于平面，故B錯誤；對于C，由點到平面的距離公式可得點到平面的距離，故C錯誤；對于D，由，，所以，所以，所以，又，所以，所以，故D正確.故選AD.10．【答案】AC【詳解】對于A，由題意得事件：“甲射擊一次，命中目標”，，事件：“乙射擊一次，命中目標”，，則，，由二項分布的期望公式得，，則，，即，故A正確，對于B，由二項分布的方差公式得，，則，，則不一定相等，故B錯誤，對于C，由題意得假定甲、乙互不影響，則，相互獨立，由獨立事件概率公式得，則，由二項分布的期望公式得，由二項分布的方差公式得，由已知得，得到，故C正確，對于D，由已知得，，則，故D錯誤.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】記“抽簽抽到甲”，“甲投籃命中”，“抽簽抽到乙”，“乙投籃命中”.對于A，第2個球是甲投的概率為，所以A正確；對于B，甲只投了1次球獲勝的概率為，所以B正確；對于C，甲投了3次球獲勝的概率為，故C錯誤；對于D，在第一次是乙投籃的條件下，甲獲勝的概率為，故D正確.故選ABD.12．【答案】2【詳解】數列的前項和因為所以解得13．【答案】【詳解】因為空間中的三點，，，所以，，所以，，點到直線AB的距離為．14．【答案】【詳解】直線方程可化為，則該直線過定點，因為直線與橢圓恒有公共點，則點在橢圓上或橢圓內，所以，解得且.因此，實數的取值范圍是.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在，，所以，由，即，所以，在中，，所以，因此，即；（2）由余弦定理得，即有①，由是中點得，兩邊平方有，即有②，聯立①②解得，所以．16．【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）證明：因為底面為正方形，所以.又因為，，平面，所以平面PBD；因為平面，所以.因為，與相交，平面.所以平面.（2）解：以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，則，，.設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為.，易知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）時，最大【詳解】（1）設事件“選取的2位學生分數不同”，則，故所選的2位學生分數不同的概率為；（2）設“學生分數不小于3”，則，（ⅰ）若，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；（ⅱ）若，則，所以，由于最大，所以，即，因為，，所以時，最大.18．【答案】(1)(2)①證明見解析，定值為1；②4.【詳解】（1）由題意，則是等腰直角三角形，即得，從而.又橢圓過點則有解得.橢圓的方程：.（2）①由（1）知橢圓的方程為，設直線的方程：，則的方程是.令，由可得則有，同理得，.即直線的斜率為定值，且定值為1.②由①知，則又，當且僅當即當時等號成立，所以，即的最大值為4.19．【答案】(1)(2)(3)2【詳解】（1）當時，