/四川省瀘州市三校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．有一機器人的運動方程為，是時間，是位移，則該機器人在時刻時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．2．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．記為等差數(shù)列的前項和，，，則（

）A．58 B．63 C．75 D．844．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲-20飛機準(zhǔn)備著艦。如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種5．在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的極值點，則（）A． B．4 C．3 D．－36．已知一個古典概型的樣本空間和事件A，B，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B獨立C． D．7．已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．88．已知，當(dāng)時，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某高中為了解該校學(xué)生的體質(zhì)情況，對全校同學(xué)進行了身體素質(zhì)測試，現(xiàn)隨機抽取所有測試同學(xué)中的100名，經(jīng)統(tǒng)計這一部分同學(xué)的體測分數(shù)均介于40至100之間；為進一步分析該校學(xué)生體質(zhì)情況，現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理得到如下所示頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．樣本中得分不低于80分的同學(xué)有15名C．估計樣本的40%分位數(shù)為66分 D．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于眾數(shù)10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說法正確的有（

）A．與點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為B．若是空間向量的一組基底，且，則也是空間向量的一組基底C．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為D．已知，平面的法向量為，則11．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點B．若函數(shù)的對稱中心為，則C．若函數(shù)在上為減函數(shù)，則D．當(dāng)時，設(shè)的三個零點分別為，，曲線在點，，處的切線斜率分別記為，，，則三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.13．設(shè)雙曲線的左，右焦點分別是，，點是上的點，若是等腰直角三角形，則的離心率是．14．某農(nóng)村合作社引進先進技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為.（參考數(shù)據(jù)：）四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，，且滿足___________.給出下列三個條件：①，；②；③.請從其中任選一個將題目補充完整，并求解以下問題.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，是數(shù)列的前n項和，求證：.16．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．17．已知橢圓，以的兩個焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形是等腰直角三角形，且面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點.過點作直線的垂線，垂足為.求證：直線過定點.18．已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若對任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．19．人教A版選擇性必修二第8頁中提到：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：，，，，，，．正偶數(shù)與不互素，所有正奇數(shù)與互素，比小的正奇數(shù)有個，所以；(1)求，，的值；(2)已知數(shù)列滿足，求的前項和；(3)若數(shù)列的前項和為，對任意，均有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．注：兩個整數(shù)互素是指這兩個整數(shù)的最大公因數(shù)為1．

參考答案1．【答案】A【詳解】該機器人在時刻時的瞬時速度為故選A.2．【答案】C【詳解】當(dāng)直線與直線平行時，，且，解得當(dāng)時，直線為，直線為，兩直線平行.因此“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選C.3．【答案】D【詳解】由，所以，又，所以，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，則由題意可知，所以.故選D.4．【答案】B【詳解】將甲、乙捆綁，與除丙、丁外的另外一架飛機進行全排列，有種排法，而后將丙、丁進行插空，有3個空，有種排法，故共有＝24種排法.故選B.5．【答案】D【詳解】已知，得，因，則存在兩根，不妨設(shè)，則由得，或；得，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則和分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，又，是函數(shù)的極值點，所以，是方程的兩個根，所以，，所以，則，由，且，可知，，在等比數(shù)列中，奇數(shù)項的符號相同，所以，因此．故選D.6．【答案】D【詳解】因為，，，所以，，；對于A，因為，所以事件A與事件B不互斥，故A不正確；對于B，，所以事件A與事件B不獨立，故B不正確；對于C，，故C不正確；對于D，由，得，所以，故D正確；故選D.7．【答案】A【詳解】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點到的距離為，點到的距離為，則.故選A.

8．【答案】B【詳解】由題意得，當(dāng)時，，即，，令，則，因為恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，故，解得.故選B.【方法總結(jié)】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．9．【答案】ABC【詳解】對于A：由，可得：，正確；對于B：樣本中得分不低于80分的頻率，故樣本中得分不低于80分的同學(xué)有，正確；對于C：第一個矩形面積為，第二個矩形面積為，第三個矩形面積為，，，所以樣本的40%分位數(shù)：，正確；對于D：平均數(shù)為：，眾數(shù)為：75，故D錯誤；故選ABC.10．【答案】AC【詳解】A.與點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為，故A正確；B.，若，則與共線，所以不是空間向量的一組基底，故B錯誤；C.在上的投影向量為，故C正確；D.因為，所以，所以或，故D錯誤.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】對于A，時，，令，令，即y=fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數(shù)y=fx只有一個零點，在區(qū)間-1,1內(nèi)，A正確；對于B，若函數(shù)的對稱中心為，則有，即，所以，B正確；對于C，可知，若函數(shù)在上為減函數(shù)，則有在上恒成立，分離參數(shù)得在上恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：，故，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，令，令，即y=fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數(shù)y=fx有一個零點，分別在區(qū)間內(nèi)，則有，故，所以，，則，D正確.選ABD.12．【答案】【詳解】因為，得，則，所以切線的方程為，即.13．【答案】/【詳解】顯然，或，不妨令，將代入雙曲線方程，，解得：，由等腰直角三角形可得，則，方程兩邊同除以得：，解得：，因為，所以離心率為．14．【答案】3937萬元【詳解】設(shè)該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為.依題意可得，則，所以數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，則，即，則，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.15．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）解：選①，因為，所以，所以數(shù)列等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列得公比為由，得或（舍去），所以；選②，因為，當(dāng)時，，所以，所以，即，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；選③，因為，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，上式也成立，所以；（2）證明：由（1）得，所以，所以.16．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)；(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意得解得∴橢圓E的方程為；（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點，，則，由得，由得，∴，，∵，∴直線的方程為，令得，即，∵當(dāng)時，直線為x軸，∴若直線過定點，則點的縱坐標(biāo)為0.當(dāng)時，，∴，故直線過定點，綜上，直線過定點.18．【答案】(1)極大值為，無極小值．(2)分類討論，答案見解析.(3)1【詳解】（1）的定義域為，當(dāng)時，，令，解得當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減．所以在時取得極大值為，無極小值．（2）因為當(dāng)時，在上恒成立，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）因為對任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則．設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，因為，，所以，使得，即．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因為，所以，故整數(shù)的