/天津市河東區2024?2025學年高二下學期期中質量檢測數學試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知函數在處的導數為1，則等于（）A．2 B．1 C． D．2．學校食堂的一個窗口共賣3種菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同學每人從中選一種，則選法的可能方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．的展開式中系數最大的項是（）A．第項 B．第n項C．第項 D．第項4．下列導數運算正確的是（）A． B．C． D．5．已知函數，則（）A． B． C． D．6．學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來自甲班.假設每名候選人都有相同的機會被選到.用X表示候選人來自甲班的人數.則下列說法不正確的是（）A．隨機變量X的所有取值為0，1，2，3，4B．甲班恰有2名同學被選到的概率為C．隨機變量D．隨機變量X的期望為7．為貫徹落實《健康中國行動(2019——2030年)》文件精神，某校組織學生參加大課間體育活動，共安排了5個項目，分別為跑步、體操、乒乓球、街舞、踢毽子，規定每人參加其中3個項目.假設每人參加每個項目的可能性相同，已知甲同學參加的3個項目中有“乒乓球”，則他還參加“踢毽子”項目的概率為（）A． B．C． D．8．進行n次獨立試驗，每次試驗成功的概率均為p，則第r次成功之前恰失敗k次的概率為（）A． B． C． D．9．已知的展開式中x的系數為19，求的展開式中x2的系數的最小值為（）A．81 B．C．10 D．9二、填空題（本大題共6小題）10．若組合數，則.11．在的展開式的中間一項是.12．的展開式中的系數為(用數字作答).13．已知，若，則．14．如圖，現要用紅，橙，黃，綠，藍5種不同的顏色對某市的6個行政區地圖進行著色，要求有公共邊的兩個行政區不能用同一種顏色，則共有種不同的涂色方法.

15．如圖所示，正方形是一塊邊長為的工程用料，陰影部分所示是被腐蝕的區域，其余部分完好，曲線為以為對稱軸的拋物線的一部分，．工人師傅現要從完好的部分中截取一塊矩形原料，當其面積有最大值時，的長為．

三、解答題（本大題共5小題）16．根據二項式定理完成下列各題：(1)求的展開式；(2)化簡17．已知函數(1)求函數的單調區間；(2)求方程在區間上的解的個數.18．已知函數（a為常數）.(1)若函數在處的切線經過點，求實數a的值；(2)若函數有兩個極值點，求實數a的取值范圍.19．已知f(x)＝(＋3x2)n的展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式中系數最大的項．20．已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意可知：，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】因為每名同學均有3個選擇，且互不干擾，所以選法的可能方式共有種.故選A.3．【答案】C【詳解】因為的展開式的通項為，可知第項的系數為，即為第項的二項式系數，根據二項式系數的性質可知：的最大值為，所以系數最大的項為第項.故選C.4．【答案】D【詳解】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選D.5．【答案】D【詳解】因為，則，令，可得，解得.故選D.6．【答案】C【詳解】因為從12名候選人中選4名同學，且有4名候選人來自甲班，可知隨機變量X服從超幾何分布，故C不正確；所以X的所有取值為0，1，2，3，4，故A正確；甲班恰有2名同學被選到的概率為，故B正確；隨機變量X的期望為，故D正確；故選C.7．【答案】B【詳解】設甲同學參加的“乒乓球”項目為事件，甲同學參加的“踢毽子”項目為事件，則，所以.故選B.8．【答案】B【詳解】因為第r次成功之前恰失敗k次，可知一共進行次，第r次成功，前次中成功次，所以所求概率.故選B.9．【答案】A【詳解】的展開式通項為，則展開式中x的系數為，即展開式中的系數為，且，根據二次函數的知識知，當或10時，上式有最小值，所以當，或時，項的系數取得最小值81.故選A.10．【答案】8【詳解】因為，則，解得或，又因為，所以.11．【答案】20【詳解】由二項式展開式的性質可得展開式一共有7項，所以中間一項為第4項，所以在的展開式的中間一項是.12．【答案】【詳解】由題意可知：的展開式中的系數即為的展開式中的系數，因為的展開式通項為，則含的項為，所以展開式中的系數為.13．【答案】【詳解】因為，所以，解得．14．【答案】1260【詳解】若只用3種顏色，先涂，則有種不同的涂色方法，此時與的顏色相同，與的顏色相同，與的顏色相同，所以共有種不同的涂色方法；若只用4種顏色，先涂，則有種不同的涂色方法，此時第4種顏色可以涂，當涂時，則與的顏色相同，與或的顏色相同，有2種不同的涂色方法；當涂時，則與的顏色相同，與的顏色相同，有1種不同的涂色方法；當涂時，則與的顏色相同，與或的顏色相同，有2種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法；若用5種顏色，先涂，則有種不同的涂色方法，此時第4和第5種顏色可以涂，當涂時，則與的顏色相同，有種不同的涂色方法；當涂時，則與或或的顏色相同，有種不同的涂色方法；當涂時，則與的顏色相同，有種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法；綜上所述：共有種不同的涂色方法.15．【答案】【詳解】由題知，以為原點，建立平面直角坐標系，如圖，則，，設方程為：，所以，，方程為：，令矩形面積為，當時，，當，設，則，所以，則，令，則，在上遞增，令，則或，在上遞減，又，，，所以當的長為時，該矩形面積最大.

16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，因為，所以.17．【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為(2)答案見解析【詳解】（1）對求導得，令，解得或，令，解得，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）由（1）可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的最小值為，且，從而當或時，方程在區間上的解的個數為0；當或時，方程在區間上的解的個數為1；當時，方程在區間上的解的個數為2.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，且，則，即切點為，切線斜率，可得切線方程為，將點代入得，整理可得解得：，所以.（2）因為，當，即時，在定義域內恒成立，可知在上單調遞增，所以無極值點，不合題意；當，即時，令，解得或；令，解得；可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以有兩個極值點，符合題意；當，即時，令，解得；令，解得；可知在上單調遞減，在上單調遞增，所以有1個極值點，不符合題意；綜上所述：a的取值范圍是.19．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）令，則展開式中各項系數和為，展開式中的二項式系數和為，依題意，，即，整理得，于是得，解得，而5為奇數，所以展開式中二項式系數最大項為中間兩項，它們是，；（2）由(1)知展開式通項為，令Tr＋1項的系數最大，則有，即，整理得，解得，而，從而得，所以展開式中系數最大項為.20．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.【方法總結】對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1通常要