/安徽省安慶市2025屆高三第三次模擬考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．復數的共軛復數是（

）A． B． C． D．2．等比數列中的，是函數的極值點，，則（）A．1 B． C． D．3．已知向量滿足,,且,則（）A．1 B． C． D．24．曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（）A． B． C． D．15．已知函數滿足，當時，，則（）A．2 B．4 C．8 D．186．正四棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，若一個球的球心到正四棱臺各個面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺與該球的體積之比為（）A． B． C． D．7．已知點在圓上，A（，0），，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．8．已知函數，若對于任意的使得不等式成立，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨立事件C． D．10．設函數，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，無極值點C．，使在上是減函數D．圖象對稱中心的橫坐標不變11．如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點，動點滿足，其中，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則三棱錐的體積為定值C．若，則直線與直線所成角的最小值為60°D．若動點在三棱錐外接球的表面上，則點的軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．已知函數的圖象在處的切線經過坐標原點，則實數．14．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，若在C上存在點P（不是頂點），使得，則C的離心率的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數列中，，設為前n項和，．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和16．如圖，四棱錐中，平面平面，為棱上一點.

(1)證明：；(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽的結果互不影響．規(guī)定：凈勝局指的是一方比另一方多勝局．(1)如果約定先凈勝兩局者獲勝，求恰好4局結束比賽的概率；(2)如果約定先凈勝三局者獲勝，那么在比賽過程中，甲可能凈勝局．設甲在凈勝局時，繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為，比賽結束（甲、乙有一方先凈勝三局）時需進行的局數為，期望為．①求甲獲勝的概率；②求．18．已知點為橢圓的右端點，橢圓的離心率為，過點的直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)試判斷線段的中點是否為定點，若是，求出該點縱坐標，若不是，說明理由.19．已知函數.(1)當時，求的極值；(2)若，求的值；(3)求證：.

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意知，令，所以復數的共軛復數為，故選C.2．【答案】A【詳解】由求導得.由或；由.所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.所以函數的極大值點為，極小值點為.由題意可知，所以.故選A.3．【答案】A【詳解】因為，則，又因為，由得，則，則，故選A.4．【答案】A【詳解】，所以在點處的切線方程為，它與的交點為，與的交點為，所以三角形面積為故選A.5．【答案】C【詳解】因為，所以．因為，所以．故選C.6．【答案】B【詳解】如圖作出正四棱臺的軸截面圖，可知這個等腰梯形的內切圓就是內切球的最大圓，根據，設球的半徑為，則由直角三角形中的勾股定理得：，利用等面積法：，可得：，解得：，再由棱臺體積公式得：，由球的體積公式得：，所以正四棱臺與球的體積之比是：，故選B.7．【答案】B【詳解】設，，，則，整理后，與已知軌跡方程展開整理得：，對照，得，解得，所以.則當、、三點共線時取得最小值故選B.8．【答案】A【詳解】因為，由可得，即函數的定義域為，可得，即，構造函數，其中，則，故函數在上單調遞增，所以，可得，則，即，其中，令，其中，則，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，解得.綜上，故選A.9．【答案】ACD【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨立，B錯；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選ACD．10．【答案】BD【詳解】對于A，當時，，求導得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點，A錯誤；對于B，，當時，，即恒成立，函數在上單調遞增，無極值點，B正確；對于C，要使在上是減函數，則恒成立，而不等式的解集不可能為，C錯誤；對于D，由，得圖象對稱中心坐標為，D正確.故選BD.11．【答案】ABD【詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，故A正確；因為，，所以點在直線上，又因為，，所以四邊形是平行四邊形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；點為的中點，坐標為，點的坐標為，向量，向量，設直線與直線所成的角為，，又因為，當時，，即直線與直線所成角的最小值為，故C錯誤；因為三棱錐即為三棱錐，又底面是直角三角形，過的中點作平面，是三棱錐外接球的球心，因為平面，所以，又，所以三棱錐外接球的半徑，因為點在平面內，又在三棱錐外接球的表面上，所以的軌跡是平面截三棱錐外接球的截面圓，又易得到平面的距離為1，所以截面圓的半徑為，所以的軌跡的周長為，故D正確.故選：ABD.12．【答案】【詳解】因為，所以，所以.13．【答案】【詳解】因為，所以，所以，又，所以在處的切線方程為：，又切線方程過原點，把代入得，解得：．14．【答案】【詳解】設與軸交點，連接，由對稱性可知，，如圖所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中，，∴，∴，由，且三角形的內角和為，，即，則綜上，．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）數列中，，為前n項和，當時，，，當時，①，②，由②-①得：，，即，當時，，遞推可得：，，，，由累乘法可得：，，又因為，所以，即，經檢驗，當時符合上式，所以；（2）由（1）可知，，所以：，所以；所以數列的前n項和.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點，連接平面平面，平面平面平面平面平面

，即又平面平面平面（2）連接，設，連接平面平面，平面平面，易知取中點，連接，則兩兩互相垂直.分別以為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系

則，，設平面的一個法向量則即令，則設直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的.正弦值為17．【答案】(1)(2)①；②．【詳解】（1）4局結束比賽時甲獲勝，則在前2局甲乙各勝一局，并且第3，4局甲勝，概率為；4局結束比賽時乙獲勝，則在前2局甲乙各勝一局，并且第3，4局乙勝，概率為，所以恰好4局結束比賽的概率為．（2）①在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局，繼續(xù)比賽獲勝的概率為；若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結束，根據全概率公式，，同理，，，，由，，得，與聯立消去，得，又，，得，與聯立消去，得，所以甲獲勝的概率為．②在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局，繼續(xù)比賽至結束，還需要局，共進行了局；若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結束，共進行了1局，則，即，同理，即，，即，，即，，即聯立與，得，聯立與，得，代入，得，所以．18．【答案】(1)(2)是，MN的中點為【詳解】（1）由題意得，，又，解得，，，所以橢圓的標準方程為；（2）設，，因為直線經過且與橢圓交于BC兩點，所以直線BC的斜率一定存在，故設直線BC的方程為：，其中，由得：，，得；x1+，，又因為直線AB的方程:，得，同理由+===故MN的中點為.19．【答案】(1)在處取得極小值，無極大值；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求導，根據函數的單調性可得最值；（2）分情況討論函數的單調性與最值情況，可得參數值；（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據，可得證.【詳解】（1）當時，，，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞