/2023級高一下學期質量檢測（一）數學試題一、單選題（每題5分，共40分）1.若角的終邊與單位圓相交于點，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數定義直接計算即可.【詳解】由題意，根據三角函數定義，所以.故選：D2.若，則的化簡結果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據同角平方和的關系，結合角的范圍即可化簡求解.【詳解】，由于，所以，故，故選：D3.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】注意到，利用同角三角函數的關系求角的正弦，再利用誘導公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.【詳解】因為為銳角，所以且，所以得，由誘導公式得，.所以.故選:D4.已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設扇形的半徑為，弧長為，由扇形的弧長公式結合扇形的周長可求得、的值，再利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，扇形的周長為，可得，所以，，故該扇形面積為.故選：D.5.已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三角恒等變換化簡函數，再由圖象的平移得到函數的解析式，利用函數的值域，可知的值為函數的最小正周期的整數倍，從而得出選項.【詳解】函數，將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數的圖象，所以函數的值域為.若，則且，均為函數的最大值，由，解得；其中?是三角函數最高點的橫坐標，的值為函數的最小正周期的整數倍，且.故選：C.【點睛】本題考查三角函數的恒等變換，三角函數的圖象的平移，以及函數的值域和周期，屬于中檔題.6.已知函數，則下列結論成立的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于直線對稱C.的最小值與最大值之和為0 D.在上單調遞增【答案】B【解析】【分析】對于根據即可求出；對于可根據函數在對稱軸處取的最值驗證；對于利用解析式可直接求得最大和最小值，驗證即可；對于可求得函數的單調增區間，驗證即可.【詳解】對于,的最小正周期為,故錯誤；對于，2為最大值，所以的圖象關于直線對稱，故正確；對于依據函數解析式得故錯誤；對于令，解得令，得的一個增區間為，故在上為減函數，在上為增函數，故錯誤.故選：7.已知函數的部分圖象如圖所示，把函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.為偶函數B.的最小正周期是C.的圖象關于直線對稱D.在區間上單調遞減【答案】B【解析】【分析】根據給定的圖象依次求出，得函數的解析式，結合圖象變換求出函數，再根據正弦函數性質逐項判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，，則，而，于是，函數的周期滿足：，即，解得，又，即有，而，于，因此，所以，把函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，得到函數的圖象，則，所以，顯然函數為非奇非偶函數，故A錯誤；的最小正周期，故B正確；因為，所以的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；當時，，而正弦函數在上單調遞增，在上單調遞減，則的圖象不單調，故D錯誤.故選：B8.“函數的圖象關于點對稱”的充要條件是“對于函數定義域內的任意，都有”．若函數的圖象關于點對稱，且，則函數與在內的交點個數為（）A.196 B.198 C.199 D.200【答案】B【解析】【分析】由題意首先得，進一步，通過數形結合找規律即可得解.【詳解】由題意，在中，不妨令，得，所以，經檢驗滿足題意，所以所以，如圖所示：由于與都是奇函數，先考慮時的交點個數，由圖可知時，與的交點分布在這49個區間內，且每個區間內都有2個交點，同理時，與的交點分布在這50個區間內，且每個區間內都有2個交點，綜上所述，函數與在內的交點個數為.故選：B.【點睛】關鍵點睛：在由求參數時，可先通過令特殊的值代入表達式得到關于的方程組，進一步解之并檢驗，由此即可順利得解.二、多選題（每題6分，共18分）9.下列代數式的值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判斷B選項；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，；對于B選項，；對于C選項，；對于D選項，.故選：BCD.10.函數的部分圖像如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A.的最小正周期是 B.是奇函數.C.在上單調遞增 D.直線是曲線的一條對稱軸【答案】BC【解析】【分析】由圖像求函數解析式，再根據選項研究函數相關性質.【詳解】由函數圖像可得，，最小正周期，，，則，又由題意可知當時，，即，則，故，所以.的最小正周期是，A選項正確；，是偶函數，B選項錯誤；時，，是正弦函數單調遞減區間，C選項錯誤；由，得曲線的對稱軸方程為，當時，得直線是曲線的一條對稱軸，D選項正確；選項中錯誤的說法是BC.故選：BC11.主動降噪耳機讓我們在嘈雜的環境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲，已知某噪聲的聲波曲線，且經過點，則下列說法正確的是（）A.函數奇函數B.函數在區間上單調遞減C.，使得D.，存在常數使得【答案】ABD【解析】【分析】由經過可求出的解析式，利用奇偶性定義可判斷A；利用正弦函數的單調性可判斷B；求的值可判斷D，利用，分、、，三種情況求的化簡式可判斷C．【詳解】因為經過，所以，即，，解得，，又，所以，則，對于A，，時，令，可得，故為奇函數，所以A正確；對于B，時，，對于在上單調遞減，可得在上單調遞減，所以B正確；對于D，，所以恒，即存在常數m=0，所以D正確；對于C，當，時，，當，時，，當，時，，所以C錯誤．故答案為：ABD.【點睛】關鍵點睛：對于C選項的關鍵點是利用，分、、，三種情況求的化簡式.三、填空題（每題5分，共15分）12.函數的最小正周期是，則______．【答案】【解析】【分析】利用三角函數的周期公式直接求出即可.【詳解】因為函數的最小正周期是，所以可得，解得，故答案為：.13.已知，點為角終邊上的一點，且，則角________．【答案】．【解析】【分析】由三角函數定義可得，已知等式用誘導公式變形得可得，結合角的大小及范圍求得，然后由兩角差的正弦公式求得后可得．【詳解】∵，∴，∴，．又，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．故答案為：.【點睛】本題考查已知三角函數值求角，要求角，一般先求出這個角的某個三角函數值，這里有一個技巧，由角的范圍（也可先縮小范圍），確定在此范圍內三角函數是單調的函數值，這樣所求角唯一易得．14.已知函數，若對任意的，，當時，恒成立，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將問題轉化為對任意的，當時，恒成立，不妨設，將問題轉化為在單調遞減，再結合利用正弦函數的性質求出的取值范圍．【詳解】，由，得，所以，所以，因為對任意的，當時，恒成立，所以對任意的，當時，恒成立，，不妨設，則問題轉化成在單調遞減，所以，其中，解得，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法,使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論；三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.四、解答題（5道題，共77分）15.已知，其中.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方關系、結合的范圍計算可得答案；（2）先用誘導公式，然后用平方關系變形，再用弦化切計算可得答案.【小問1詳解】由題意，又在第三象限，，故解得；【小問2詳解】.16.已知函數的部分圖象如圖所示，（1）求的解析式；（2）當時，求的最值．【答案】（1）（2）最小值是－1，最大值是2．【解析】【分析】（1）由求，由最小正周期求，由求，可得的解析式；（2）時，，結合正弦函數的圖像和性質，求的最值．【小問1詳解】∵，，∴；由圖象可知：最小正周期，∴，又，∴，解得：，又，∴，∴；【小問2詳解】當時，，∴當即時，，∴當即時，，∴當時，的最小值是－1，最大值是2．17.設函數，.（1）求的最小正周期和對稱中心；（2）若函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，求函數在區間上的值域.【答案】（1）的最小正周期為，對稱中心為；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡函數的解析式為，根據正弦函數的圖象與性質即可求解的最小正周期與對稱中心；（2）根據三角函數圖象變換規則求出的解析式，判斷函數在上的單調性從而求得值域.【詳解】（1）令，解得，所以的最小正周期為，對稱中心為；（2）函數的圖像向左平移個單位得到函數，令，解得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以函數在區間上的值域為.【點睛】本題考查三角恒等變換，求正弦型函數的周期性、對稱性與單調性，三角函數圖象變換規則，屬于中檔題.18.如圖是一種升降裝置結構圖，支柱垂直水平地面，半徑為1的圓形軌道固定在支柱上，軌道最低點，，.液壓桿、，牽引桿、，水平橫桿均可根據長度自由伸縮，且牽引桿、分別與液壓桿、垂直.當液壓桿、同步伸縮時，鉸點在圓形軌道上滑動，鉸點在支柱上滑動，水平橫桿作升降運動（鉸點指機械設備中鉸鏈或者裝置臂的連接位置，通常用一根銷軸將相鄰零件連接起來，使零件之間可圍繞鉸點轉動）.（1）設劣弧的長為，求水平橫桿的長和離水平地面的高度（用表示）；（2）在升降過程中，求鉸點距離的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）軌道圓心為，圓的半徑為1，劣弧的長為時，有，由三角函數表示出和的長；（2）證明出，則，通過換元利用基本不等式求出最大值.【小問1詳解】記軌道圓心為，則，設劣弧的長為，則，得，.【小問2詳解】由已知，，，，則，又，所以，則，令，有，.則，，因為，當且僅當時，取到等號，所以鉸點距離的最大值為.【點睛】方法點睛：求的最大值時，證明，由已知的和，有，通過換元，有，借助基本不等式可求最大值.19.設n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式．例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式．（1）若切比雪夫多項式，求實數a，b，c，d的值；（2）已知函數在上有3個不同的零點，分別記為，證明：．【答案