湖南省長沙市2024屆高三上學期第一次調研測試數學試卷（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知函數\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，則函數\(f(x)\)的值域為（）A.\((0,1)\)B.\((0,1]\)C.\([0,1)\)D.\([0,1]\)2.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，則集合\(A\)的元素個數為（）A.0B.1C.2D.33.已知\(\log_23=a\)，則\(\log_32\)的值為（）A.\(\frac{1}{a}\)B.\(\frac{1}{2a}\)C.\(2a\)D.\(\frac{1}{2}a\)4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，則該數列的公差為（）A.2B.3C.4D.55.已知平面直角坐標系中，點\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，則線段\(AB\)的中點坐標為（）A.\((2,3)\)B.\((2,2)\)C.\((3,3)\)D.\((4,4)\)6.已知函數\(f(x)=x^33x\)，則函數\(f(x)\)在區間\([0,2]\)上的最大值為（）A.0B.2C.4D.87.已知復數\(z=1+i\)，則\(|z|^2\)的值為（）A.1B.2C.3D.48.已知正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱長為2，則異面直線\(AB\)與\(CC_1\)所成的角的大小為（）A.\(30^\circ\)B.\(45^\circ\)C.\(60^\circ\)D.\(90^\circ\)9.已知事件\(A\)和\(B\)相互獨立，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(A\capB)\)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.410.已知等比數列\(\{b_n\}\)中，\(b_1=2\)，\(b_3=18\)，則該數列的公比為（）A.2B.3C.6D.911.已知函數\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)，則函數\(f(x)\)的導數為（）A.\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)B.\(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)C.\(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\)D.\(\frac{1}{x^2+1}\)12.已知直線\(l:y=mx+b\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切，則\(m^2+b^2\)的值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.已知\(\sin\theta=\frac{1}{2}\)，且\(\theta\)在第二象限，則\(\cos\theta\)的值為_________。14.已知函數\(f(x)=\lnx\)，則函數\(f(x)\)在區間\([1,e]\)上的最小值為_________。15.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，則該數列的前5項和為_________。16.已知直線\(l:y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=4\)相交于兩點，則\(k\)的取值范圍為_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分10分）已知函數\(f(x)=x^22x+1\)，求函數\(f(x)\)的單調區間。18.（本小題滿分12分）已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_3=9\)，求該數列的前n項和\(S_n\)。19.（本小題滿分12分）已知平面直角坐標系中，點\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,6)\)，求三角形\(ABC\)的面積。20.（本小題滿分12分）已知復數\(z=1+i\)，求\(z^2\)的值。21.（本小題滿分12分）已知函數\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求函數\(f(x)\)的反函數。22.（本小題滿分12分）已知直線\(l:y=mx+b\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切，求\(m\)和\(b\)的關系式。四、附加題（本大題共2小題，共20分。）23.（本小題滿分10分）已知函數\(f(x)=\lnx\)，求函數\(f(x)\)在區間\([1,e]\)上的最大值。24.（本小題滿分10分）已知等比數列\(\{b_n\}\)中，\(b_1=2\)，\(b_3=18\)，求該數列的前n項和\(T_n\)。一、選擇題答案1.B2.D3.A4.B5.A6.D7.C8.A9.B10.D11.C12.A二、填空題答案13.314.515.216.417.118.319.220.4三、解答題答案17.解答：函數$f(x)=x^22x+1$的單調遞增區間為$x\in(\infty,1]$，單調遞減區間為$x\in[1,+\infty)$。18.解答：等差數列$a_n$的前n項和$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n1)d)$，其中$a_1=3$，$d=3$，代入得$S_n=\frac{n}{2}(6+3(n1))$。19.解答：三角形$ABC$的面積$S=\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$，底為$BC$，高為$A$點到$BC$的垂直距離，可計算得出。20.解答：$z^2=(1+i)^2=1+2i1=2i$。21.解答：函數$f(x)=\frac{1}{x}$的反函數為$f^{1}(x)=\frac{1}{x}$。22.解答：直線$l:y=mx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$b^2=1m^2$。四、附加題答案23.解答：函數$f(x)=\lnx$在區間$[1,e]$上的最大值為$f(e)=1$。24.解答：等比數列$b_n$的前n項和$T_n=b_1\frac{1r^n}{1r}$，其中$b_1=2$，$r=3$，代入得$T_n=2\frac{13^n}{13}$。1.函數函數的單調性、奇偶性、周期性指數函數、對數函數、冪函數的性質函數的極值與最值2.數列等差數列和等比數列的通項公式數列的前n項和公式數列的單調性3.平面向量向量的加減運算向量的數量積與向量積向量在幾何中的應用4.解析幾何直線與圓的位置關系橢圓、雙曲線、拋物線的性質空間幾何中的距離與角度計算5.概率與統計古典概率與條件概率統計數據的描述與推斷隨機變量的分布與期望6.三角函數三角函數的基本公式三角函數的圖像與性質解三角形的方法7.不等式基本不等式的應用一元二次不等式的解法含參不等式的求解各題型知識點詳解及示例選擇題考察基礎知識，如集合、復數、數列、函數性質等。示例：已知$f