卓越聯盟2024-2025學年高一第二學期期中考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第六章到第八章8.5。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則復平面內復數之對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如圖，在四棱錐中，點G在正方形ABCD內，點F在BE上，若DF與EG相交，則下列說法一定正確的是（）A．點G在AC上B．C．D．直線EB，GD交于點B3．已知點，向量，則在方向上的投影向量的坐標是（）A．B．C．D．4．在菱形ABCD中，，點P在線段CD上，則的最小值是（）A．8B．12C．16D．205．如圖，已知用斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖為，已知是周長為6的正三角形，則的面積是（）A．B．4C．D．6．某廣場設置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結論不正確的是（）A．該幾何體有6個面是正方形B．該幾何體有8個面是正三角形C．該幾何體恰有26條棱D．該幾何體的表面積比原正方體的表面積小7．一口古井的形狀為正四棱臺，下小上大，在枯水時節，其水面面積大約為，水深，豐水時節水面面積大約為，水深，則枯水時節的水量大約為（）A．B．C．D．8．如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點，則下列說法不正確的是（）A．直線與NM是異面直線B．C．平面D．直線CP，，AM相交于一點二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知復數，則（）A．B．C．在復平面上，對應的向量與對應的向量的夾角為D．若，則|之的最大值為10．如圖，正三棱柱的側面為邊長為6的正方形，現以上、下底面的內切圓為底面挖掉一個圓柱，則下列說法正確的是（）A．內切圓的半徑為B．被挖掉的圓柱的側面積為C．該幾何體的表面積為D．該幾何體的體積為11．奔馳定理：已知O是內一點，的面積分別為，則．設O是內一點，的三個內角分別為A，B，C，若，且O為的垂心，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．正三棱柱的底面邊長為1，高為4，在棱上分別任取點E，F，則的最小值為_________．13．若某圓錐的側面積為，母線長是底面圓半徑的倍，則該圓錐的體積是_________．14．銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的面積為，則的取值范圍是_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知向量滿足．（1）設，求；（2）若，求實數k的值．16．（15分）已知在復平面內，復數對應的點為，復數對應的點為．（1）當時，設，求的值；（2）若點與點為同一點，求的取值范圍．17．（15分）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．18．（17分）如圖，在正四棱錐中，O，G分別是線段AC，PA的中點，E，F分別在線段BP，BC上，且．（1）證明：O，G，E，F四點共面．（2）證明：平面BDG．（3）若點H在線段PD上，且滿足，試問側棱PC上是否存在一點K，使得平面HAC?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19．（17分）如圖，在棱長為的正方體內，球與球的球心均在線段AC上，這兩個球外切并且球與該正方體的上底面相切，球與該正方體的下底面相切．（1）求這兩個球的半徑之和．（2）當這兩個球的半徑分別為多少時，這兩個球的表面積之和最小？并求出這個最小值．

卓越聯盟2024-2025學年高一第二學期期中考試數學試卷參考答案1．C因為，所以復數z對應的點位于第三象限．2．D因為DF與EG相交，所以平面平面．3．B在方向上的投影向量是．4．A取AB的中點Q（圖略），，因為，所以AB邊上的高為，所以，從而．5．D因為，所以，所以的面積是．6．C因為正方體截去八個正三棱錐，所以比原正方體多出八個正三角形，所以A，B正確．因為原正方體每個表面均有四條棱，所以該幾何體共有24條棱，C不正確．因為截去的每個正三棱錐的側面面積比它的底面面積大，所以D正確．7．B作正四棱臺的中截面，如圖所示，AB，DC，FE分別為豐水、枯水、井底的水面邊長，則．因為，所以，所以枯水時節的水量為．8．C連接（圖略）．點B，，M均在平面上，點N不在平面上，所以與NM是異面直線，A正確．連接（圖略）．因為，所以，B正確．因為CM與不平行，所以CM不平行于平面，C錯誤．連接AP（圖略）．由，知M，P，A，C共面，且平面平面，如圖1，因為，所以。如圖2，因為，所以，則H，I兩點重合，所以CP，，AM相交于一點，D正確．9．ABD因為，所以A正確．因為，所以B正確．，所以對應的向量與對應的向量的夾角為，所以C錯誤．設復數z在復平面內對應的點為Z，因為，即，所以點Z的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，所以的最大值為3，D正確．10．BD邊長為6的正三角形的內切圓半徑為，A錯誤．被挖掉的圓柱的側面積為，B正確．該幾何體的表面積為，體積為，C錯誤，D正確．11．AC因為O為的垂心，所以，A正確，B錯誤．由上知，同理，．因為，所以，所以，同理，所以．因為，所以．設，因為，所以，所以，解得，以，C正確，D錯誤．12．5將三棱柱的側面沿展開得到一個長與寬分別為4與3的長方形，所以．13．設圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，由，得，又，所以，則該圓錐的體積為．14．由，得，解得．因為，所以，所以．，所以．因為，所以，則，從而．15．解：（1）因為，所以．1分又，所以，3分解得，4分所以，5分所以．6分（2）因為，所以，8分因為，所以，11分解得．13分16．解：（1）因為，所以，2分代入，得，6分所以．7分（2）由已知得消去m得，10分令，則，12分所以，14分所以，即的取值范圍為．15分17．解：（1）因為，所以，2分整理得，4分所以．5分因為，所以．6分（2）因為的面積，7分所以．9分又，所以，則．12分又所以，13分所以，14分故，即的取值范圍是．15分18．（1）證明：如圖，連接OG．因為O，G分別是線段AC，PA的中點，所以．2分又，所以，4分所以，5分所以O，G，E，F四點共面．6分（2）證明：由（1）得．7分因為平面BDG，平面BDG，8分所以平面BDG．9分（3）解：如圖，在線段PH上取一點M，使得，作，交PC于點K，連接BM，BK，OH．因為，所以．10分因為平面HAC，平面HAC，11分所以平面HAC．12分同理可證平面HAC．13分因為，平面BMK，平面BMK，所以平面平面HAC，又平面BMK，所以平面HAC．14分因為，所以，16分因為，所以．故在棱PC上存在一點K，使得平面HAC，且．17分19．解：（1）由題知ABCD為過球心和對棱AB，C