第3講不等式的恒成立與存在性問(wèn)題

典型例題

【例1】已知函數(shù)/(x)=xlnr+ox2-l,H/'(1)=-1.

⑴求〃%)的解析式.

⑵若對(duì)任意xe(0,+8),都有-加;，T,求m的最小值.

⑶求證:函數(shù)y=/(x)-xeA的圖像在直線y=-2x-l的下方.

【例2］已知函數(shù)/(x)=aeX-4x(aeR),當(dāng)a=l時(shí)，求證：曲線y=/(%)的圖像

在拋物線y=-%2-1的上方.

［例3］已矢口/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)=k(x+l).

(1)當(dāng)左=2時(shí),求證:任意%>TJ(x)<g(x)恒成立.

⑵若存在天〉-1,使得xe(-Uo)時(shí)恒有/(%)>g(x)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范

圍.

［例4］設(shè)函數(shù)/(x)=ae*-無(wú)一l(acR),當(dāng)無(wú)?0,+8)時(shí)，/(x)>0恒成立，求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

［例5］已知函數(shù)=；a(aeR),對(duì)任意的xe(L+oo),/(x)＞五恒成立,求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.3.已知函數(shù)=-2x,當(dāng)尤＞0時(shí),若曲線

y=f(x)在直線y=-X的上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【例6】已知函數(shù)f(x)=］nx-ax2+2ax,若/(尤),，龍恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

、

【例7】設(shè)函數(shù)g(x)==Jxe0,-，若g(x)<a恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值.3.

taaxlI2,

設(shè)函數(shù)/(%)=In(1+ax)+Z;x,g(x)=/(x)-bx1，若曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,ln3)處

的切線與直線llx-3y=0平行.

⑴求。涉的值.

⑵求實(shí)數(shù)M鼠3)的取值范圍，使得g(x)>k(x2-*對(duì)x?0,+⑹恒成立.

【例8】已知函數(shù)/(x)=」一+ln%,曲線y=/(九)存在斜率為0的切線，求實(shí)數(shù)a

x—2

的取值范圍.

［例9］已知函數(shù)/(x)=x2-ax+Iwc^aGR),若X>1時(shí)，/(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)

,5,7

a的取值范圍.3.已知函數(shù)/(x)=%3+—x2+?x+b,g(x)=X3+2%2+1歐+仇。力為

常數(shù)).令尸(X)=/(x)-g(x),若函數(shù)/(X)存在極值,且所有極值之和大于

5+ln2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【例10］已知函數(shù)/(x)=(2x+l)liu-^x2-2%,設(shè)g(x)=/'(x)+x-a,若關(guān)于x

的不等式g(無(wú))<0有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【例11］已知函數(shù)y(x)=mx?-x—.

⑴求函數(shù)”力的極值.

(2)求證:存在/,使得/(%0)<1.

4Px—3

【例12］已知函數(shù)f(%)=2mlwc-x,g(x)=——j—(meR).求證：當(dāng)相>1且尤〉0

時(shí)，總有g(shù)(x)+3f(尤)>0.

【例13］設(shè)函數(shù)y(x)=eA-ax+-1(a>0),當(dāng)x<l時(shí),函數(shù)/(x)的圖像恒在x軸

上方,求實(shí)數(shù)。的最大值.

【例14］已知函數(shù)/(%)=三二若對(duì)任意和馬<。,+8),都有

/(xj-/(x)...成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.

2e

【例15】已知函數(shù)/(x)=x+sinx.若不等式/(x)..atcosx在區(qū)間04上恒成立,

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【例16］已知函數(shù)"%)=六%2+依+。)，若關(guān)于％的不等式/(同,,6"在［。,+8)

上有解,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【例17］已知函數(shù)〃H=工+0皿(心0),若關(guān)于x的方程〃尤)=左有解，求實(shí)數(shù)

左的取值范圍.

【例18］設(shè)函數(shù)/(%)=加+(a-2)x-hit的極小值點(diǎn)為與.若0<x()<1,在曲線

y=f(x)上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P位于x軸的下方?若存在,求出一個(gè)點(diǎn)P的坐

標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Inx

【例19】已知函數(shù)/(x)=--+a(x-l),若時(shí),/(x)<0在區(qū)間(0,+。)上恒

JC

成立,求實(shí)數(shù)。的值.

【例20］已知函數(shù)〃x)=lnx+Zzx+Gg(x)=H2+2"(x)在x=l處取得極大值

1.

⑴求b和c的值.

⑵當(dāng)