難點與解題模型10平行線中的常見的四種“拐角”模型

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

題型二：“鉛筆”模型

題型三：“雞翅”模型

題型四：“骨折模型”

儲國￡藉淮撬分

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

|IililS--”……-…-…

一、“豬蹄”模型

i豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個點，分別與平行線上的點構成“豬蹄”。

豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步驟總結

;步驟一：過豬蹄（拐點）作平行線

:步驟二：借助平行線的性質找相等或互補的角

;步驟三：推導出角的數量關系

模型結論：ZB+ZD=ZDEB.

二、鋸齒模型

已知圖示結論（性質）證明方法

AB

AB〃DENB+NE=NC

上遇拐點做平行

DE線（方法不唯

1

AB一）

AB〃DE*NB+NM+NE=NC+NN

DE

,一aF4也

a〃b所有朝左角之和等于所有朝右角的和

力”-l?^****^

b

*--------------^*4

【中考母題學方法】

【典例1-1］（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，直線AB〃CD,將一個含60。角的直角三角尺EGF按圖中

方式放置，點E在A3上，邊GF、EF分別交CD于點、H、K,若NBEF=64°,則NGHC等于（）.

A.44°B.34°C.24°D.14°

【典例1-2】（2020?湖南?中考真題）如圖，已知ABI3OE,01=30°,02=35°,貝峋BCE的度數為（）

A.70°B.65°C.35°D.5°

【典例1-3］（2024?在平區一模）如圖，AB//EF,ZC=90°,則P,7的關系是（）

A.a+P~y=90°B./?+y-cr=90°

C.。+4+/=180。D.B=a+y

2

【典例1一4】（2024?河南南陽?模擬預測）傳統文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強學生體質，同時

讓學生感受中國傳統文化，某校將國家非物質文化遺產"抖空竹”引入陽光特色大課間.如圖①是某同學"抖

空竹”時的一個瞬間，小紅同學把它抽象成數學問題：如圖②，已知AB〃CD,NAEC=131。，ZBAE=57°,

則NDCE的度數為（）

【典例1-5】（2023?北京西城?統考一模）下面是解答一道幾何題時兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種,

3

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］（2024?遼寧?模擬預測）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面（如圖），明亮的

光束是由位于拋物線反射鏡焦點F上的光源產生的，此時光線沿著與拋物線的對稱軸平行的方向射出,

若N/C￡>=40。，=70。，則光線FC與FG形成的NCFG的度數為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【變式1-2］（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，AB//CD,OB±OD,若/ABO=36。，則NODC的度數為

C.72°D.108°

【變式1-3］（2024?甘肅,模擬預測）如圖1,是我國具有自主知識產權、用于探索宇宙的單口徑球面射電望

遠鏡"中國天眼如圖2,是"中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反

射面），入射波AO經過三次反射后沿O'A'水平射出，且。4〃O'A,已知入射波AO與法線的夾角Nl=35。，

則ZA'ON=（）

圖1圖2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【變式1-4］（2024?云南昆明?模擬預測）如圖，已知a〃人若與的夾角為105。，Zl=55°,則N2的

度數為（）

4

A

A.105°B.125°C.130°D.150°

【變式1-5］（2024?江蘇常州?一模）如圖，直線。〃以點A在直線a上，點C在直線。上，,若N1=44。,

貝I]Z2=

【變式1-6］問題情境：如圖1,已知4BEICD,^APC=108°.求NP4B+NPC。的度數.

圖1圖2圖3圖4

經過思考,小敏的思路是:如圖2,過P作PEMB,根據平行線有關性質，可得NPAB+NPCD=360°-ZXPC=

252°.

問題遷移：如圖3,ADEIBC,點P在射線OM上運動，AADP=Na,乙BCP=邛.

⑴當點P在A、B兩點之間運動時，上CPD、Na、NS之間有何數量關系？請說明理由.

（2）如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、。三點不重合），請你直接寫出NCP。、Na、N/?之間

的數量關系.

⑶問題拓展：如圖4,MA^NAn,X2--------Bnr-4t是一條折線段，依據此圖所含信息，把你

所發現的結論，用簡潔的數學式子表達為.

5

題型二：“鉛筆”模型

「福TMT逑T3.....

從豬蹄模型可以看出，點E是凹進去了，如果點E是凸出來，如下圖:

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結論：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母題學方法】

【典例2-1】(崇川區校級三模)如圖，已知ZA=140°,ZE=120°,則NC的度數是()

A.80°B.100°C.120°D.140°

【典例2-2[（2024春?啟東市校級月考）如圖，直線a//b,Nl=28°,則N3=度，N3+N4+/5=

度.

【典例2-3】請在橫線上填上合適的內容.

(1)如圖(1)已知貝=

解：過點E作直線E73/AB.

6

SZFEB=().()

ABHCD,EF//AB,

0()//().(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行)

田NFED=().().

ZB+ZD=ZBEF+AFED.

SZB+ZD=ZBED.

(2)如圖②，如果AB〃CZ>,貝l]NB+NBED+ND=()

【典例2-4]如圖，已知ABIBC。.

CD

圖4

(1)如圖1所示，01+02=

(2)如圖2所示，01+02+03=；并寫出求解過程.

(3)如圖3所示,回1+國2+國3+回4=

(4)如圖4所示，試探究團1+團2+03+回4+回+即=

【中考模擬即學即練】

【變式2-1](江蘇模擬)如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中測得NB=140°,ZD=120°,

則NC的度數為()

B

ED

A.120°B.100°C.140°D.90°

【變式2-2】問題情境：如圖1,ABWCD,"48=130。,A.PCD=120°,求乙4PC的度數.

7

圖5備用圖1備用圖2

思路點撥：

小明的思路是：如圖2,過P作PEII48,通過平行線性質，可分別求出NAPE、NCPE的度數，從而可求出

乙4PC的度數；

小麗的思路是：如圖3,連接4C,通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出N4PC的度數；

小芳的思路是：如圖4,延長4P交DC的延長線于E,通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出乙4PC

的度數.

問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的乙4PC的度數為°;

問題遷移：

(1)如圖5,4D||BC,點P在射線。M上運動，當點P在A、B兩點之間運動時=乙a,乙BCP=邛.乙CPD、

Na、之間有何數量關系？請說明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時(點P與點A、B、。三點不重合)，請你直接寫

出NCPD、Na、邛間的數量關系.

8

【變式2-3］（1）如圖1,60/2，求財］+（兇2+朋3=.（直接寫出結果）

（2）如圖2,/曲/2，求04；+蜘2+蜘3+骷4=.（直接寫出結果）

（3）如圖3,/曲/2，求蜘［+蜘2+蜘3+&44+蜘5=.（直接寫出結果）

（4）如圖4,1^12,求0Ai+EM2+...+l3An=.（直接寫出結果）

⑴⑵（3）

題型三：“雞翅”模型

【典例3-1】（2024?廣東深圳?模擬預測）抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一.明代

《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間

流行的歷史至少在600年以上.如圖，通過觀察抖空竹發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：

AB//CD,ZBAE=94°,ZDCE=122°,則3E的度數為（）

9

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

【典例3-2]A施CD點P為直線AB,CD所確定的平面內的一點.

(1)如圖1,寫出0ApC、財、EIC之間的數量關系，并證明;

(2)如圖2,寫出0ApC、&4、EIC之間的數量關系，并證明;

(3)如圖3,點E在射線84上，過點E作EimPC,作附EG=aPEK點G在直線C。上，作財EG的平分

線EH交PC于點、H,若13Ape=30。，回以8=140。，求回PEHr的度數.

圖1圖3

10

【典例3-3】（2023?重慶大渡口?統考模擬預測）在數學課上老師提出了如下問題：

如圖，乙B=160°,當乙4與ND滿足什么關系時，BC||DE?

小明認為ND-乙4=20。時BC||DE,他解答這個問題的思路和步驟如下，請根據小明的思路完成下面的作

圖與填軍肇

解：用直尺和圓規，在的右側找一點M,^DAM=AD（只保留作圖痕跡）.

SZ.DAM=乙D,

回①_________________

0ZD-乙DAB=20°

=@°,

EIZB=160°,

+Z.BAM=（3）°,

回④_________________

0BC||DE.

所以滿足的關系為：當ND—乙4=20。時，BC||DE.

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【中考模擬即學即練】

【變式3-1］如圖，若ABHCD,則回1+團3-回2的度數為.

【變式3-2］問題探究:

如下面四個圖形中，AB//CD.

(1)分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中,"與回2、團3三者之間的關系.

(2)請你從中任選一個加以說明理由.

圖4

解決問題:

(3)如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于。點的燈泡發出兩束光線08、0C經燈碗反射后平行

射出.如果她2。=57°,ar>CO=44°,那么I38OC=

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【變式3-3】已知直線ABEICD,P為平面內一點，連接力、PD.

⑴如圖1,已知回4=50°,回。=150°,求回APD的度數；

(2)如圖2,判斷回力8、0CDP,MPD之間的數量關系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP0PD,ON平分I3PDC,若團%N+；EI%B=0/1PD,求MA/。的度數.

AB

P

C~D

圖1-

題型四：“骨折模型”

?Aiiis......

模型結論：ZE=ZB-ZD

【中考母題學方法】

【典例4-1](2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則/A=

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【典例4-2】（2023?四川資陽?中考真題）如圖，AB//CD,