2025年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（遼寧卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.若零上10。＜2記作+1CFC,則零下5。（2可記作（）

A.5℃B.10℃C.-5℃D.-10℃

【答案】C

【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵.在一對具有相反意義的量

中，規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示.

【詳解】解：零上io℃記作+i（rc,

零下5。＜2可記作-5。（2.

故選C.

2.已知一個幾何體如圖所示，則該幾何體的主視圖是（）

【答案】B

【分析】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖的概念即從正面看物體得到的圖形求解可得.

【詳解】解：該幾何體的主視圖是

故選：B.

3.中國“二十四節(jié)氣”已被聯(lián)合國教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表

“立春”“谷雨”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心.

根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D.是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意.

故選D.

4.根據(jù)北京青年報2024年11月14日發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示:2023年北京人工智能產(chǎn)業(yè)核心產(chǎn)值突破2686億元,

人工智能作為第四次工業(yè)革命的核心技術(shù)，正在釋放科技革命和產(chǎn)業(yè)變革積蓄的巨大能量，對經(jīng)濟(jì)發(fā)展、

社會治理、國家安全將產(chǎn)生重大而深遠(yuǎn)的影響.數(shù)據(jù)“2686億元”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.268.6x109元B.2.686x10"元

C.0.2686X1O127CD.2.686x1010元

【答案】B

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14忖<10,n

為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點(diǎn)移動了

多少位，"的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：2686億元=268600000000元=2.686x10"元，

故選：B.

5.若關(guān)于x的方程》2-x+機(jī)=0有實(shí)數(shù)根，則加的值可以是（）

A.0.25B.0.5C.1D.2

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握A>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；A=0,方程有

兩個相等的實(shí)數(shù)根；A<0,方程沒有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根的判別式列不等式求解即可.

【詳解】解：：關(guān)于x的方程/_x+機(jī)=0有實(shí)數(shù)根，

.-.A=（-1）2-4Z??>0,

解得：m<0.25,

故選：A.

6.解分式方程三+千=3時，去分母后變形正確的是（）

x-lX-1

A.2+（x+2）=3（x-1）B.2—x+2=3（x-1）

C.2-（x+2）=3D.2-（x+2）=3（x-1）

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，等式兩邊同時乘以（X-1）去分母即可，注意不能漏乘項(xiàng).

【詳解】解：分式方程V+寧=3去分母后變形2+（x+2）=3（x-l）,

x—1x-1

故選：A.

7.已知一次函數(shù)>=京+6（后w0,k、b是常數(shù)）的自變量x與函數(shù)歹的幾組對應(yīng)值如表：

X-2-1012

y86420

則下列結(jié)論正確的是（）

A.y的值隨x值的增大而增大B.圖像不經(jīng)過第一象限

C.當(dāng)x<2時，><0D.不等式foc+6V0的解集是x?2

【答案】D

【分析】本題主要考查運(yùn)用待定系數(shù)法示一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出一次函數(shù)的解

析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.

b=4

【詳解】解：把（0,4）,（2,0）代入了=履+6得,

2k+b=。'

所以，一次函數(shù)解析式為y=-2x+4,

左二一2v0,

引的值隨x值的增大而減小，故選項(xiàng)A不正確；

?.?左二一2v0,萬=4>0,

???一次函數(shù)V=-2x+4的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選項(xiàng)B不正確；

由表格中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x<2時，>>0,故選項(xiàng)C不正確；

不等式履+640的解集是x22,故選項(xiàng)D正確，

故選：D.

8.有這樣一個問題：“今有五人共車，一車空；四人共車，七人步.問人與車各幾何？”意思是：有若干人

坐車，每車坐5人，則空1輛車；每車坐4人，則7人無車坐.問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)有x輛車，根據(jù)題

意，可列出方程（）

A.5x-l=4x+7B.5（x-l）=4（x+7）

C.5（x-l）=4x+7D.5x-l=4x-7

【答案】C

【分析】本題兩種乘車方式中，車的數(shù)量與人的數(shù)量都是相等的，可以將車的數(shù)量設(shè)為x輛，根據(jù)人數(shù)相

等列出方程即可.

本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，準(zhǔn)確抓住數(shù)量關(guān)系列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)車有X輛，

若每車坐五人，則人數(shù)為5(x-l)人

若每車坐四人，則人數(shù)為(4x+7))人

故5(x-l)=4x+7

故選C.

9.如圖，在ZUBC中，ZCAB=20°,乙傷C=30。，將繞點(diǎn)/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)50。得到

AAB'C.有以下結(jié)論：?BC=B'C■②AC〃CP'；③C'B'LBB'；④NABB'=NACC'.其中正確的有

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識點(diǎn)，掌握圖形的旋轉(zhuǎn)只改變

圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BC=B'C\ZC'AB'=NCAB=20°,ZAB'C'=NABC=30。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為

50°,然后通過推理證明對①②③④四個結(jié)論進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:①???將△48C繞點(diǎn)N按逆時針方向旋轉(zhuǎn)50。得到△/5'C',

：.BC=B'C,故①正確；

②?.?將△4BC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)50。得到△48'C',

NBAB'=50°.

ZCAB=20°,

NB'AC=ZBAB'-ZCAB=30°,

?-?ZAB'C=ZABC=30°,

NAB'C'=NB'AC=30。.

.-.AC//C'B',故②正確；

③在A84B'中，AB=AB',ZBAB'=50°,

NABB'=ZAB'B=1(180°-50°)=65°.

/./BB'C'=AAB'B+AAB'C=65°+30°=95°.

.?.C3U88'不成立，故③不正確；

④在A4CC'中，AC=AC,NW=50。，

4呢，=3（180。-50。）=65。

ZABB'=ZACC,故④正確.

???①②④這三個結(jié)論正確.

故選B.

10.如圖，P為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作。。的割線PN8和切線PC（割線P4B和切線PC不重合），C為

A.ZPBC=ZPCA

B.當(dāng)弦N8最長時，NPCB-NPBC=90。

C.NPCB-NOBC=9。。

D.白—0\f,—

BC2AB3

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形，對四個選項(xiàng)的說法依次進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.為O。的切線，是。。的割線,

?.ZPCA+ZACO=ZPCO=90°,

???ZAOC和ZABC所對的弧是AC，

；.NAOC=2/ABC,

-OA=OC,

/CMC=N。。=:(180。一4OC)=；(180。—2/ZBC)=90。一/ZBC,

ZPC4+90°-Z^5C=90°,

/ABC=/PCA,

即N尸5C=N尸C4,原說法正確，故此選項(xiàng)不符合題意;

B.當(dāng)弦45最長時，即為。。的直徑，如圖,

ZACB=90°,

/.ZPCB-ZPCA=90°

由A知：APBC=APCA,

???/PCB-NPBC=90。,原說法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.丁尸。為。。的切線，P45是OO的割線，

???/尸。。=90。，

:"PCB-AOCB=ZPCO=90°,

?；OB=OC,

??.ZOBC=ZOCB,

/.ZPCB-ZOBC=ZPCB-ZOCB=90°,原說法正確，故此選項(xiàng)不符合題意;

D.延長4。交。。于點(diǎn)。，連接8,如圖，

???4D是。。的直徑,

.??/4CQ=90。，

/.ZOAC+ZODC=90°f

???尸。是。。的切線,

???/尸。。=90。，

：.ZPCA+ZACO=90°,

-OA=OC,

??.AOAC=AOCA,

："PCA=/ODC,

又,:就二就，

???/ABC=/ADC,

；"PCA=/PBC,

又???ZP=ZP,

.?.APACSQCB,

PAPCAC

'~PC~~PB~~CB"

又*」

BC2'

：.PA=-PC,PC=-PB,

22

PApA17

???胃:二YX原說法錯誤，故此選項(xiàng)符合題意?

ABPB-PA33

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，等邊對等角，相似三角形的判定

與性質(zhì)等知識點(diǎn).能根據(jù)選項(xiàng)中的描述，畫出相應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分)

11.當(dāng)天=石-1時，代數(shù)式/+2x+2020的值是.

【答案】2024

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，代數(shù)式求值等知識點(diǎn)，運(yùn)用配方法是解題

的關(guān)鍵.本題也可以直接代入，但使用配方法更為簡便.

先將X2+2X+2020變形為(x+l『+2019,然后將x=V^-l代入求值即可.

【詳解】解：當(dāng)了=囪-1時，

x2+2x+2020=x2+2x+l+2019=(x+1)2+2019=(V5-1+1)2+2019=(V5)2+2019=5+2019=2024,

故答案為：2024.

12.如圖，點(diǎn)A,5的坐標(biāo)分別為（2,0）,（0,1）,若將線段48平移至4片的位置，貝h+Z）的值是.

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一平移，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平移前后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)可知平移方式為向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度，再由“上加下

減，左減右加”的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】解：?點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（2,0）,（0,1）,4（0,6）,用（a,2）

二將線段N8平移至?xí)r的平移方式為向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度，

，。=0+1=1,6=0+1=1,

a+b=1+1=2,

故答案為：2.

13.一個不透明布箱子里只裝有機(jī)個紅球和3個白球（除顏色外其余都相同），從中任意摸出一個球是紅球

3

的概率為丁，則機(jī)的值為

4

【答案】9

【分析】本題考查了概率的計(jì)算，分式方程的運(yùn)用，掌握隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.確定紅

球的數(shù)量，總的數(shù)量，根據(jù)任意摸出一個球是紅球的概率為3:，列式求解即可.

4

3

【詳解】解：有加個紅球和3個白球（除顏色外其余都相同），任意摸出一個球是紅球的概率為

4

m_3

m+34

解得，m=9,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=9是原方程的解，且原分式方程有意義，

??.m的值為9,

故答案為：9.

14.如圖，點(diǎn)/（a,3）,8優(yōu),1）在反比例函數(shù)y=j的圖像上，點(diǎn)C,。分別是x軸、y軸上的動點(diǎn)（C,。不同

時與原點(diǎn)重合)，則四邊形/BCD的周長的最小值為.

【分析】首先求出/(L3),8(3,1),再作/點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P,8點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)。，根據(jù)對稱的性

質(zhì)得到尸(-1,3),P。分別交x軸、夕軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時四邊形

的周長最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得.

【詳解】???點(diǎn)/(。,3),8伍,1)在反比例函數(shù)y=:的圖像上，

33、

：.a=—=1,b=—=3,

31

如圖，作/點(diǎn)關(guān)于7軸的對稱點(diǎn)尸，2點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)。，

二尸(7,3),2(3,-1),

連接尸。分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、。點(diǎn)，

四邊形A8CD的周長=/8+/O+O)+8C=/8+PZ)+Z)C+C02/8+P。

???當(dāng)點(diǎn)尸，D,C,。四點(diǎn)共線時，四邊形428的周長最小，即/3+尸。的長度

AB+PQ=J(_Ip+(3+1>+7(1-3)2+(3-1)2=6后.

???四邊形/BCD的周長的最小值為60.

故答案為：6A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，軸對稱性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟練運(yùn)用

兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)幾何圖形周長最短的問題是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在平行四邊形48。中，￡為N2延長線上一點(diǎn)，尸為/。上一點(diǎn)，NDEF=NC,若DE=4,

【答案】y

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得出

AD=BC,N4=NC,結(jié)合已知得出△。尸E?,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合題意求出/O的長度即

可.

【詳解】解：???四邊形N8CD是平行四邊形，

/.AD=BC,=

vZDEF=ZC,

???/DEF=N4,

?：ZEDF=ZADE,

???/\DFE~/\DEA,

DEAD

'~DF~~DE"

7

?；DE=4,AF=一，

3

7

：.DF=AD-AF=AD——,

3

4AD

AD--4,

3

.-.42=^AD-^-AD,

.?./。=個或/。=-3（舍去）,

。的長是不，

故答案為：§

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.(10分)(1)計(jì)算：-l2004+(5-^)°-

（2）化簡：,「一1三土衛(wèi)

u+2。+1a+1

【答案】（1）-9（2）-

a

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

（1）原式分別進(jìn)行乘方、零指數(shù)累和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案;

（2）原式分子與分母先進(jìn)行因式分解，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得到結(jié)果.

2004-2

【詳解】解：（1）_l+（5-/r）°-^

=—1+1—9

=-9；

/c、Q2—1Q2—Q

(2)--------+-----

Q+2q+16/+1

(tz+l)2Q+1

+6Z+1

(4+1)2

17.（8分）某教育科技公司銷售43兩種多媒體，這兩種多媒體的進(jìn)價與售價如表所示:

AB

進(jìn)價（萬元/套）32.4

售價（萬元/套）3.32.8

（1）若該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)兩種多媒體共50套，共需資金132萬元，該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)45兩種

多媒體各多少套？

（2）若該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)兩種多媒體共50套，其中購進(jìn)A種多媒體加套（10?加（20）,當(dāng)把購進(jìn)的

兩種多媒體全部售出，求總利潤W（元）與加之間的函數(shù)關(guān)系，并說明當(dāng)購進(jìn)A種多媒體多少套時，能獲

得最大利潤，最大利潤是多少萬元？

【答案】（1）購進(jìn)A種多媒體20套，8種多媒體30套

（2）購進(jìn)A種多媒體10套時，能獲得最大利潤，最大利潤是19萬元

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方

程組，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；

（2）根據(jù)題意可以寫出利潤與勿的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)加的取值范圍和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得利潤

的最大值.

【詳解】（1）設(shè)A種多媒體。套，3種多媒體6套，

a+b=50〃二20

由題意可得:3。+2.46=132’解得

6=30'

答：購進(jìn)A種多媒體20套，8種多媒體30套；

（2）由題意可得：w=（3.3—3）機(jī)+（2.8—2.4）x（50—機(jī)）=—0.1加+20,

??.w隨機(jī)的增大而減小，

?.-10<m<20,

.?.當(dāng)加=10時，卬取得最大值，此時w=19,

答：購進(jìn)A種多媒體10套時，能獲得最大利潤，最大利潤是19萬元.

18.（8分）某校七年級計(jì)劃組織一次一分鐘跳繩比賽.為了解學(xué)生一分鐘跳繩個數(shù)的情況，抽取部分學(xué)生

進(jìn)行了一次一分鐘跳繩測試，并將測試的成績繪制成了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表:

成績X個/分頻數(shù)

60<x<1006

1004％v140m

140Vx<18018

180Vx<2204

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)統(tǒng)計(jì)表中的根=,頻數(shù)直方圖中的組距是;

(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中180Wx<220部分對應(yīng)的圓心角度數(shù)是°；

(3)若每分鐘跳繩140個以上(包括140個)的為“優(yōu)秀”，七年級共有1350名學(xué)生，請估計(jì)該年級有多少名

學(xué)生可以獲得“優(yōu)秀”.

【答案】(1)17,40

(2)32

(3)660名

【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，從統(tǒng)計(jì)圖表中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵：

(1)用140Vx<180的人數(shù)除以所占的比例求出樣本容量，用樣本容量減去其他組的頻數(shù)，求出加的值，

用一個范圍的端點(diǎn)值之差求出組距即可；

(2)根據(jù)加的值，補(bǔ)全直方圖即可，用360度乘以180Vx<220的人數(shù)所占的比例求出圓心角的度數(shù)即可;

(3)利用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：18—40%=45；

加=45-6-18-4=17；

組距為：100-60=40；

故答案為：17,40.

(2)補(bǔ)全直方圖如圖：

A頻數(shù)

18

16

14

12

4

10360°x—=32°；

845

6

4

2

0

故答案為：32.

(3)1350x更生=660(名)；

45

答：估計(jì)該年級有660名學(xué)生可以獲得“優(yōu)秀”.

19.（8分）為了扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供80萬元無息貸款用于某大學(xué)生開辦公司，生產(chǎn)并銷售自

主研發(fā)的一款電子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營的利潤逐步償還無息貸款.已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40

元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其他費(fèi)用15萬元.該產(chǎn)品每月銷量了（萬件）與銷

售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求月銷量V（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價定為50元時，為保證公司每月利潤達(dá)到5萬元（利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其他

費(fèi)用），該公司可安排員工多少人？

（3）若該公司有80名員工，銷售單價定為70元時，則該公司可在幾個月后償還無息貸款？

【答案】（l）j^=-^x+8（40<x<60）,^=-^x+5（60<x<100）；

（2）40人

（3）該公司可在8個月后償還無息貸款.

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用;

（1）分兩種情況：當(dāng)40WxW60時，令y=kx+b,當(dāng)60Wx時，設(shè)y=ax+〃，再利用待定系數(shù)法求解解析

式即可；

（2）設(shè)公司可安排員工。人，定價50元時，利用利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其他費(fèi)用再建立方

程求解即可；

（3）先求解當(dāng)銷售單價為x=70時，該公司有80名員工時每月的利潤，再建立不等式求解即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)40VXW60時，令＞=丘+6,

[60斤+6=2

則[40k+b=4,

\k=~—

解得，10,

b=8

y=-----x+8；

10

當(dāng)60?x<100時,

^y=mx+nf

f60m+n=2

[80m+n=1

1

,m=---

解得：,20,

n=5

1「

y=-----x+5；

20

（2）解：設(shè)公司可安排員工a人，定價50元時，

由5=（-：x50+8]x（50一40）一15一0.25a,

解得：a=40（人）；

（3）解：當(dāng)銷售單價為x=70時，該公司有80名員工,

??.此時利潤為:

-^x70+51x(70-40)-15-80x0.25

=1.5x30-15-20

=10；

設(shè)該公司〃個月后還清貸款，貝心0〃280,

???〃28,

該公司可在8個月后償還無息貸款.

20.（8分）為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，某校組織學(xué)生前往渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館緬懷革命先烈.初到紀(jì)念館，數(shù)學(xué)興

趣小組的同學(xué)們就發(fā)現(xiàn)廣場上有一座雄偉壯觀的勝利塔（如圖1）,想知道勝利塔的高度（塔頂?shù)剿降?/p>

面的距離），于是他們進(jìn)行了測量.如圖2,他們在地面上的點(diǎn)/處用測角儀測得塔頂。的仰角為30。，在

點(diǎn)2處測得塔頂。的仰角為60。.已知N2=112m,測角儀的高度是L6m（點(diǎn)4反。在同一條直線上）.根

據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求勝利塔的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，V3?1,732）

圖1

【答案】99m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得AM=NB=CE=1.6m,AW=AB=112m,ZDEM=90°,ZDNE=60°,ZDME=30°,先利用三角

形的外角性質(zhì)可得NO〃N=NMEW=30。，從而可得DN=〃N=112m,然后在中，利用銳角三

角函數(shù)的定義求出。E的長，然后再加上CE即可解答.

【詳解】解：由題意得：AM=NB=CE^l.6m,MN=AB=\\2m,ADEM=90°,ZDNE=60°,ZDME=30°,

???NDNE是ADMN的外角，

ZMDN=ZDNE-ZDMN=30°,

ZDMN=ZMDN=30°,

：.DN=MN=\12m,

在RtACWE1中，DE=DN-sin60。=T12xJ=56也（m）,

2

.-.￡>C=Z>￡+C￡=5673+1.6-56x1.732+1.6-99m.

答：勝利塔的高CD約為991n.

21.（8分）如圖，48為。。的直徑，。為圓心，“E切。。于點(diǎn)C,與48的延長線交于點(diǎn)MD1EO

交E。延長線于點(diǎn)。，ZDMA=ZAED.

(1)求證：及是。。的切線；

(2)若E4=6,M4=8,求O。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)3

【分析】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(1)由MALE。得到90。，再由已知角相等及對頂角相等，得到/。4￡=/。=90。，利用切線的判

定方法判斷即可得證；

(2)在RtAE/M■中，利用勾股定理求出EW的長，利用切線長定理得到EC=E4=6,由EM-EC即可求

出MC的長，在Rt^CMO中，設(shè)。C=r,則有MO=8-r,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程求解即可.

【詳解】(1)解：???〃￡>_LEZ>,

.?./￡>=90°,

???ZDMA=ZDEA,ZMOD=ZEOA,

:"DMA+ZMOD=/DEA+ZEOA,

ZOAE=ND=90°,

為圓的半徑，

.??胡為圓。的切線；

(2)解：連接OC,

在RME4M中，EA=6,MA=8,

根據(jù)勾股定理得：ME=A/62+82=10,

???EM與瓦4都為圓的切線，

EC=E4=6,

.■.MC=EM-EC=10-6=4.

???瓦4為圓。的切線，

ZOCM=90°,

在RtzXCMO中，設(shè)OC=r,則有MO=8-r,

根據(jù)勾股定理得：（8-r）2=r2+42,

解得：r=3,

則圓的半徑為3.

22.（12分）【概念感知】

在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于點(diǎn)P和函數(shù)圖象給出如下定義：過點(diǎn)P作x軸的垂線交函數(shù)圖象上于點(diǎn)

點(diǎn)尸與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)之差力-%稱為點(diǎn)P到函數(shù)圖象上的有向量.

【概念理解】

3

（1）如圖1,點(diǎn)尸在直線y=-x+3上，函數(shù)圖像上對應(yīng)的解析式為了=-一.

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2,則點(diǎn)P到函數(shù)圖像A的有向量等于；

②若點(diǎn)尸到函數(shù)圖像￡的有向量等于1,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【概念應(yīng)用】

（2）如圖2,函數(shù)圖像4對應(yīng)的解析式為了=/-3》+3；函數(shù)圖像右對應(yīng)的解析式為了=-》+3,點(diǎn)P的坐標(biāo)

為（加,〃），其中。《優(yōu)4。+2,若點(diǎn)尸到函數(shù)圖像口的有向量與點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4有向量之和等于0,且〃的

最大值為9,求。的值.

圖1圖2

【答案】⑴①g②尸(-1,4)或P(3,0)

(2)Q=-2或〃=4

【分析】(1)①根據(jù)“有向量”的定義計(jì)算即可求解；

②設(shè)P&T+3),過點(diǎn)P作x軸的垂線交函數(shù)圖像Z于點(diǎn)。，貝I］。，T)，然后根據(jù)“有向量”的定義計(jì)算即

可求解；

(2)由題意得：點(diǎn)P到函數(shù)圖像4的有向量為加+3),點(diǎn)p到函數(shù)圖像4的有向量為

〃-(-優(yōu)+3),因?yàn)辄c(diǎn)尸到函數(shù)圖像4的有向量與點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4有向量之和等于0,所以得到

H-(m2-3m+3)+H-(-/M+3)=0,化簡得〃=；(加一2『+1,分兩種情況討論：①當(dāng)a+2<2時，即"0時,

”隨加的增大而減小；②當(dāng)。22時，〃隨加的增大而增大；即可解答.

【詳解】(1)解：①將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2代入>=-無+3,得力=1,

將點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)2代入y=——,得V°=—；，

.??點(diǎn)尸到函數(shù)圖像￡的有向量等于丹-%=1-1-T=j

故答案為：—；

②,??點(diǎn)尸在直線y=-x+3上，

可設(shè)P&T+3),過點(diǎn)尸作x軸的垂線交函數(shù)圖像Z于點(diǎn)。，則

???點(diǎn)尸到函數(shù)圖象Z的有向量等于1,

解得￡=-1或％=3，

.?.P（-1,4）或尸（3,0）；

⑵解：由題意得：點(diǎn)?到函數(shù)圖像右的有向量為"（/-3加+3）,點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4的有向量為

?—(-m+3),

???點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4的有向量與點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4有向量之和等于0,

n—(m1—3m+3)+〃一(一加+3)=0,

2n={m1-3加+3)+(一加+3)=m2-4m+6,

+1，

當(dāng)。+2<2時，即。<0時，〃隨機(jī)的增大而減小,

.?.當(dāng)機(jī)=4時，"的最大值等于9,

19

.-.-(a-2)+1=9,

解得Q=6或。=一2,

?.?。=6〉0（舍去）,

當(dāng)a22時，〃隨加的增大而增大，

.,?當(dāng)加=〃+2時，〃的最大值等于9,

1?

/.-(^+2-2)+1=9,

解得a=4或a=-4,

-4<2(舍去)，

「.4=4,

綜上所述a=-2或。=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解一元一次方

程、解一元二次方程等知識點(diǎn)，根據(jù)題意理解“有向量”的定義以及掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

23.(13分)【背景提出】

(1)如圖1,等腰RtZUBC中，N4cB=90°,CB=CA,直線即經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作40，ED于點(diǎn)。,

過點(diǎn)8作于點(diǎn)E,求證：ABEC/ACDA.

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖2,已知直線4：y=gx+5與x軸交于點(diǎn)A,與V軸交于點(diǎn)8,將直線4繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。至

直線4,求直線4的函數(shù)表達(dá)式.

(3)如圖3,將圖1四邊形放到平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E與。重合，邊ED放到x軸上，若03=2,

0c=1,過線段N8的中點(diǎn)。，作直線0〃垂直線段BC交x軸于點(diǎn)//,直線。尸垂直線段NC交無軸于點(diǎn)

F,求線段H尸的長.

(4)如圖4,平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)8(3,-4),過點(diǎn)8作胡，x軸于點(diǎn)A,3cLy軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是線

段NB上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是直線>=-2x+l上的動點(diǎn)且在第四象限內(nèi).若△CPZ)是等腰直角三角形.請直接寫

出點(diǎn)。的坐標(biāo).

圖1圖2圖3圖4

【答案】（1）見解析；（2）y=-4x-12；（3）萬月=，；（4）點(diǎn)。的坐標(biāo)為或（4,-7）或

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證/8CE=N0AD,從而利用AAS可證ABEC用AC"；

（2）過點(diǎn)8作交。于尸，過尸作尸軸于"，則A傷尸是等腰直角三角形，由（1）同理可得

NOAB=\HBF,則網(wǎng)-3,5）,利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；

（3）由（1）得ABOC咨ACDA,得43,1）,再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出。[永|],待定系數(shù)法求出直線5c

的解析式為>=-2x+2,直線/C的解析式為y=根據(jù)直線平移，求出直線”的解析式為

了=*:，直線的解析式為y=-2x+g,得出”（-訓(xùn)，瑞，0）最后求出結(jié)果即可；

（4）分點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)或點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時或點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)三種情況，分別畫出圖形，利用（1）中型

全等可得點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可解決問題.

【詳解】證明：-DLED,BELED,

/BEC=/ADC=90。,

ZACD+ZDAC=90°f

-ZACB=90°f

:.ZBCE+ZACD=90°,

z./BCE=/CAD,

在△BEC和△CD4中，

"/BEC=ZADC

</BCE=ADAC,

BC=AC

.?.△S￡C^AC^（AAS）；

（2）過點(diǎn)8作交4于F,過尸作切，y軸于〃，如圖所示:

則AFBA=90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：NE4B=45。,

.?.△48尸是等腰直角三角形，

AB=BF,

由(1)同理可證附AHBF(AAS),

OA=BH,OB=FH,

把x=0代入y=gx+5得：y=5,才巴夕=0代入歹=gx+5得：0=|x+5,

解得：x=-3f

???力(-3,0),5(0,5),

OA=3,OB—5,

:.OH=8,FH=5,

”(-5,8),

設(shè)4的函數(shù)