微專題42幾何最值問題

類型一利用“垂線段最短”解決最值問題

方法解讀

類型一定一動型一定兩動型

尸是直線/外的定點，"是直線/M是NR4C內部的定點，N,尸分別

條件

上的動點是AB,AC上的動點

圖^—!L%BB

----------/----J；----iACA八；C

"ir

線段PH是點P到直線l的最短距

結論PM+PN的最小值為M'N的長

離

1.（人教八上練習改編）如圖，在等邊△ABC中，A5=4,點。是邊上的

動點，則線段A。的最小值是.

*/>C

第1題圖

2.（2024東莞模擬）如圖，在等邊△ABC中，A5=6,點尸是邊上的動點,

將△A5P繞點A逆時針旋轉60°得到△4C0,點。是AC邊的中點，連接。°,

則DQ的最小值是.

A

A.

J「X

第2題圖

3.如圖，在△ABC中，ZABC=35°,。是邊AC上一點，E,尸分別是射線

BA,5。上異于點5的動點，連接。5,DE,EF,若NC5D=10°,BD=6,則

DE+EF的最小值為

B

第3題圖

4.（2024中山模擬）如圖，在R3A5C中，ZA=90°,又為5。的中點，H

為上一點，過點。作CG〃AB交的延長線于點G,若AC=8,AB=6,

則四邊形ACGH周長的最小值是.

第4題圖

5.（2024梅州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=%+6的圖象與

%軸交于點A,與y軸交于點5,點尸在線段A5上，PC，入軸于點C,則△尸CO

周長的最小值為.

%

az

第5題圖

6.如圖，在等腰△斗5。中，ZBAC=45°,AB=AC,點尸，Q,尺分別為邊

BC,AB,AC上（均不與端點重合）的動點，當△尸。尺的周長最小時，則NPQH

+ZPRQ的度數為.

第6題圖

類型二利用“兩點之間線段最短”解決最值問題

方法解讀

類型兩定點H■一動點型一定點+兩動點型兩定點+定長型

異側同側尸是N495內部的A,B是定點,M,N分

條件A,5是定點，尸是直線/定點，M,N分別是別是/i,L上的動點，且

上的動點0A,05上的動點MN±h

圖示

PA+PB的PA+PB的

△尸周長的最小AM+MN+BN的最小

結論最小值為最小值為

值為PP的長值為AB+MN的長

AB的長AV的長

1.（北師九上隨堂練習改編）如圖，在邊長為4的正方形A5C。中，E為邊AB

上一點，且AE=1,尸為對角線5。上一動點，連接ERCF,則石7+b的最

小值為，

第1題圖

2.如圖，在等腰△A5C中，AB=BC,AC=3,的垂直平分線OE分別交AB

BC邊于點D,E,尸為AC邊的中點，尸為線段DE上一動點，若△A5C的面積

是9,則尸C+尸尸的最小值為.

第2題圖

3.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=3%2+b%+c與％軸交于點4,B

(4,0),與y軸交于點。(0,-3).點尸是拋物線對稱軸上一點，連接AP、

CP,當AP+C尸的值最小時，點尸的坐標為.

\/

\I

_____L

第3題圖

4.如圖，在矩形A5CD中，AB=3,AD=2,E,尸分別是45,CD上的動點,

EF//BC,則人尸+"+。石的最小值為.

5.(2024香洲區二模)如圖，點A(bm)和5(n,2)在反比例函數y=￡的

圖象上，點。，。分別是X軸正半軸和y軸正半軸上的動點，連接ABBC,CD,

DA,則四邊形A5CD周長的最小值為.

第5題圖

類型三與圓有關的最值問題(6年5考)

考向1點圓、線圓最值問題

方法一點圓最值問題

方法解讀

ffl?圖②

條件：如圖，平面內一定點。和。0,E是。。上的動點，連接。E.

結論：當圓心0在線段DE上時，。石取得最大值（圖①），當圓心。在。E的

延長線上時，DE取得最小值（圖②）.

1.如圖，在矩形A5CD中，AB=3,BC=4,的半徑為I,若圓心O在矩

形A5CD的邊上運動，則點。到。。上的點的距離的最大值為.

2.（2024珠海模擬）如圖，的半徑為4,圓心M的坐標為（6,8）,點尸

是。”上的任意一點，PA±PB,且尸4,尸5與入軸分別交于4,5兩點.若點4,

點5關于原點O對稱，則當取最小值時，點A的坐標為^.

4O]R

第2題圖

3.（2024東莞一模）如圖，拋物線y=；%2—4與％軸交于A,5兩點，尸是以點

C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，連接尸4,點。是線段尸4的中點，

連接0。，則線段0。的最大值是.

第3題圖

方法二線圓最值問題

方法解讀

圖①圖②

條件：如圖，與直線/相離，設的半徑為心圓心。到直線/的距離為d,

尸是。。上的動點.

結論：點尸到直線/的最小距離為d—r（圖①），最大距離為d+r（圖②）.

4.如圖，在矩形A5C。中，A5=4,BC=3,以點5為圓心，1為半徑作圓，P

是。5上一動點，。是對角線AC上一動點，則尸。的最小值為.

第4題圖

5.如圖，在矩形A5CD中，A5=3,BC=4,0為矩形A5CD的中心，以點。

為圓心，1為半徑作。。，尸為。。上的一個動點，連接AP,OP,OA,則尸

面積的最大值為.

第5題圖

6.如圖，在R3A5C中，AB=4,BC=2,ZASC=90°,半徑為1的。O在

斜邊4。上滾動，點。是。。上一點，則四邊形A5C。的最大面積為

H

第6題圖

考向2利用輔助圓求最值（6年4考）

方法一定點定長作圓（2021.10）

方法解讀

原理：圓的定義：圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合.

情形：在平面內，點A為定點，點5為動點，且AB長度固定.

動點軌跡：動點5的軌跡是以點A為圓心，45長為半徑的圓或圓弧的一部分.

1.（2020廣東17題4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊

緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓

和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，NA5C=90°,點跖N分

別在射線A4,BC上,長度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點，點。

至UA4,5。的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離。E的最小值

為.

HX（：

第1題圖

2.（2024煙臺）如圖，ABCD中，ZC=120°,AB=S,BC=10.E為邊

CD的中點，尸為邊上的一動點，DEF沿E尸翻折得連接

BD'.則4A3。面積的最小值為.

AFI）

/

H

第2題圖

3.如圖，在菱形A5CQ中，AB=6,NA5C=60°,E為BC上一動點、,連接

。石，作點。關于直線。E的對稱點尸，連接5尸，則5尸的最小值為.

方法二定弦定角作圓（6年2考：2021.10、17）

方法解讀

情形：如圖，在AABC中，ZC（a）為定角，所對的弦A3長度固定.

動點軌跡：（1）當0<a<90°時，點。的軌跡如圖①所示，即融；（2）當a

=90°時，點。的軌跡如圖②所示，即。O（不含A,5兩點）；（3）當90°

<a<180°時，點。的軌跡如圖③所示，即崩.

第4題圖

4.（2024梅州市一模）在直角△斗臺。中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,點P

是△斗臺。內一點，滿足NCfiP=N4。尸，則PA的最小值為.

5.（2021廣東17題4分）在△ABC中，ZABC=90°,AB=2,5。=3.點。

為平面上一個動點，NAD5=45°,則線段CD長度的最小值為

6.（2021廣東10題改編）設。為坐標原點，點A,5為拋物線y=%2上的兩個

動點，且。連接點4,B,過點。作0CJ_A5于點C,則點。到y軸距離

的最大值為.

方法三四點共圓（6年2考：2024.22,2023.23）

方法解讀

情況一（同側型）：如圖①②，線段A5情況二（異側型）：如圖③，由

條件長度為定值，點。，。為A3同側兩動點，點A,B,C,。構成的四邊形

KZACB=ZADB中，ZADC+ZABC=180°

D

類型「」念"

R

圖①圖②圖③

結論A,B,C,。四,點共圓

第8題圖

9.如圖，在菱形中，ZASC=60°,AB=6,點、E,尸分別是邊5C,AB

上的點，RAF^BE,連接。廠與4E交于點G,連接。G,則。G的最大值

為.

REC

第9題圖

兒何■帔動去演樂

回￡情叱

四點件■求總例

類型四利用二次函數性質解決最值問題

[6年2考:2022.23(2),2021.9]

方法解讀

要求ynaT+Zur+c(aWO)的最值，可將解析式化為頂點式，確定其對稱軸是

否在自變量％的取值范圍內，再畫出圖象，利用數形結合思想及所給端點與對稱

軸的距離，依據二次函數增減性求最值.

1.(2021廣東9題3分)我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊

求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的

三邊長分別為a,b,c,記P="+；+c,則其面積S=Jp(p—a)(p—b)(p—c).

這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值

為()

A.V5B.4C.2V5D.5

2.如圖，二次函數y=—1%2—1%+2的圖象與％軸交于4,5兩點，與y軸交于

點&且。Cm,n)是第二象限內拋物線上一點，則四邊形0CD4的面積的最

大值為

/oT\

第2題圖

3.如圖，R3A5C中，ZC=90°,AC=BC=4,點。是AC的中點，點E是

A5上一動點，點下是5。上一動點，且點石不與端點重合，/DEF=45°,則

BF的最大值為.

/____X

4KU

第3題圖

類型一利用“垂線段最短”解決最值問題

1.2V3【解析】如解圖，過點A作4OUBC于點根據垂線段最短可知，

當點。與點。'重合時，A。的值最小.,:△ABC為等邊三角形，.?.BC=A5=4,

：.BD'=CD'=^BC=2,：.AD'=JzB2—8。或=25.?.線段的最小值是2g.

4

A

第1題解圖

2.當【解析】?.?△A5C是等邊三角形，.?.N5=NAC5=60°,AB=AC=6,

如解圖，過點。作于點。，由旋轉可得/人。。=入8=60°,.?.點0

為射線。。上的動點，又?.?NAC5=60°,：,ZBCQ=nQ°，;點。是AC邊的

中點，??.CD=)C=3,當°。，。。時，夜的長最小，止匕時，點。與。重合，

ZCDQ'=30°,C2，=|CD=j,"-DQ'=JDC2~CQ'=^,的最小值是

3V3

2.

第2題解圖

3.3V3【解析】如解圖，作點。關于BA的對稱點ZT,連接。D，BD',過點

。作的垂線交A4于點E,交BC于點F,由對稱的性質得Z)E=Z)E,.二。石

+EF=D'E+EF=D'F,此時DE+EF的值最小，最小值為線段D'F的長.丁ZABC

=35°,ZCBD=10°,BD=6,ND5A=Nr)5A=NABC—NC5D=25°,

BD'=BD=6,：.ZCBD'=35+25°=60°,：.D'F=BD'sin60°=6X—=3A/3,

2

J.DE+EF的最小值為3V1

4.22【解析】,：CG//AB,：.ZB=ZMCG,是BC的中點，：.BM=CM,

甌FMCG

BM=CM,AAACMG(ASA),：.HM=

(國BMHFCMG

GM,BH=CG,\"AB=6,AC=8,.??四邊形4CG"的周長=4C+CG+GH+AH

=AB+AC+GH=14+GH,如解圖，當GH最小時，即GHLAB時，四邊形ACG”

的周長有最小值，?.?NA=90°,.?.四邊形ACG”為矩形，

.?.GH=AC=8,???四邊形4CG"周長的最小值為14+8=22.

第4題解圖

5.3V2+6【解析】由直線y=%+6的解析式得，當％=0時，y=%+6=6,當

y=0時，％+6=0,解得％=—6,\,一次函數y=%+6的圖象與％軸交于點A,

與y軸交于點5,.?.4(—6,0),B(0,6),則。4=05=6,.?.△450是等腰直角

三角形，由題意，可設點尸的坐標為(a,a+6)(-6<a<0),二?尸CXx軸，：.OC

=-a,PC=a-\-6,C.LPCO的周長為OC+PC+OP=~a+a+6+OP=6+OP,

則求△PCO周長的最小值只要求出。尸的最小值即可，如解圖，過點。作

于點D,則OP的最小值為OD的長，即此時點P與點D重合，ODLAB,：.AD

=BD,.,.OD=|AB=|X^62+62=372,；.△PCO周長的最小值為6+0。=3近

+6.

COlx

第5題解圖

6.90°【解析】如解圖，作點尸關于的對稱點P,關于4。的對稱點

連接PP',分別交ABAC于點。，R,連接AP,4P".則PQ=P。，P"R=PR,

AP=AP'=AP",ZP'AQ=ZPAQ,ZP"AR=ZPAR,：.CAPQR=PQ+QR+PR=

P'Q+QR+P"R=P'P",ZP'AP"=ZP'AQ+ZPAQ+ZP"AR+ZPAR=2ZBAC

=2X45°=90°,.?.△/PP'為等腰直角三角形，AP=AP，=4P〃，.?.PP，=VL4P,

當APLBC時,AP最短，即△PQR周長最小，此時NAPQ=ZAPQ=45°,ZAP"R

NAPH=45°,：.ZQPR=90°,：.ZPQR+ZPRQ=90°.

//-必：*二丁尸

第6題解圖

類型二利用“兩點之間線段最短”解決最值問題

1.5【解析】如解圖，連接CE交友)于點廣，.?.EF+C尸2CE,.?.當點尸與

點尸重合，即C,F,E三點共線時，石7+C廠有最小值，最小值為CE的長.丁

四邊形A5C。為正方形，ZABC=90°,AB=BC=4,VAE=1,：.BE=3,

在R35CE中，由勾股定理，得CE=BE2+BC2=5,/+。尸的最小值為

5.

第1題解圖

2.6【解析】如解圖，連接5P.,「DE是線段的垂直平分線，，點5與。

關于。E對稱，BP=CP,：.PC+PF=BP+PF,BF,當B,P,尸三點共線時，

PC+尸尸最小.?尸為AC邊的中點，A5=5C,：.BF±AC,：.S^ABC=^AC-BF=

9.VAC=3,：.BF=6,，PC+P下的最小值為6.

1

ur，、

第2題解圖

3.(|,—荒)【解析】如解圖，連接5。交拋物線對稱軸于點尸，止匕時AP+CP

z9

’1?A/)c=0b=——

的值最小，???拋物線過(4,0),(0,—3)兩點，J一,解得因

<c=—3(c=—3

?二拋物線表達式為尸%2—%—3,.?.拋物線對稱軸為直線％=|,設直線的表

（77,=13

達式為>=加工+〃（根WO）,將5（4,。），C（O—3）代入y=znx+〃中，得,

?Am-\-n=0

7?2———

解得4，，直線5。的表達式為尸白一3,當％=：時，y=—?J點尸的

{n=__—3c428

坐標為e—

第3題解圖

4.7【解析】由題意知E尸=BC=AZ)=2,如解圖，過點尸作尸G〃CE,交BC

延長線于點G,連接AG,丁石「〃BC,.?.四邊形EFGC為平行四邊形，，CE=

GF,CG=EF=2,則AF+CE=A尸+尸G2AG,.??當A,F,G三點共線時，AF

+C石取得最小值，最小值為AG的長，VJBG=JBC+CG=4,...在中，

AG=IAB2+BG2=5,：.AG+EF=7,.\4尸+石尸+。石的最小值為7.

第4題解圖

5.4A/5【解析】?.?點A(l,機)和5(小2)在反比例函數y=￡的圖象上，...m=4,

n=2,：.A(1,4),BQ,2),.,.AB=V5,如解圖，分別作點A關于y軸的對稱點

4,作點5關于入軸的對稱點夕，連接A3交y軸于點O,交工軸于點C,此時

四邊形45CD的周長最小，最小值為49+45的值.根據對稱的性質，得A{—1,

4),BQ,—2),.,.49=3西，.?.四邊形A5CD周長的最小值為3遮+y=4遍.

第5題解圖

類型三與圓有關的最值問題

考向1點圓、線圓最值問題

1.6【解析】如解圖，在。。上任取一點E，，連接CE',則CEWCO+

0E1,當。、0、?三點共線時，C?取得最大值，即當點E與石重合時，CE取最

大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.連接AC,,.,COWAC,.?.當點0

與點A重合時，CO取得最大值時.在R3A5C中，?[A5=3,BC=4,：.AC=5,

.??0C最大=5,最大=0C最大+0E=6.???點。到。。上的點的距離的最大值為

第1題解圖

2.(-6,0)【解析】如解圖，連接尸O,丁尸斗，尸5,.?.NAP5=90°,?點A、

點5關于原點O對稱，.\40=50=尸O,.?.A5=2PO,若要使A5取得最小值，

則尸0需取得最小值，連接0河交。用于點P,當點尸位于尸位置時，O尸取得

最小值，過點〃作軸于點0,VM(6,8),則0。=6,"。=8,：.OM=

10,又?：MP，=r=4,0P'=M0~MP'=10-4=6,：.OA=OP'=6,.??點A坐

標為(一6,0).

第2題解圖

3.1【解析】如解圖，連接5P,當y=0時，|x2—4=0,解得％i=4,X2=-4,

則A(—4,0),5(4,0),：.OB=4,二?。是線段0A的中點，為AAB尸的中

位線，AOQ^BP,當5尸最大時，0。最大，當5尸過圓心。時，PB最大,如

解圖，當點尸運動到尸位置時，BP最大,此時，0。取得最大值，最大值為匏尸

VC(0,3),：.OC=3,：.BC=JoB2+0C2=5,：.BP'=5-\-2=7,，線段0。的

最大值是最

第3題解圖

4.1【解析】如解圖，過點5作于點。，交。5于點尸，此時尸。的

值最小.,在矩形A5CZ)中，A5=4,5。=3,。5的半徑為1,JAB2+BC2

=42+32=5,BP=1,sinZACB=—=—=~,解得5。=^..?.尸。=50—5P

YACBC55

=￡-1=￡工尸。的最小值為《

p_____4

也

■Z---------娼心

,4\/)

第4題解圖

5.-【解析】如解圖，連接OC,當點尸到AC的距離最大時，AAO尸的面積

4

最大，過點。作AC的垂線，與O。在矩形A5CQ外交于點P,交AC于點

此時△AOP的面積最大.?在矩形A5CD中，A5=3,5C=4,.\AC=AB2+BC2

qi119

=5,AD=4,AC>A=-,*.-ADDC=-ACDM,：.DM=—,：.PM=PD+DM=1

2225

+—=—?△AOP面積的最大值為二。4?尸加=工義9><"=".

5522254,

Jr'/Iy1

哈、J

ITC

第5題解圖

6.4+2遮【解析】VAB=4,BC=2,ZABC=90°,.*.AC=^AB2+BC2=

2V5.,「S四邊形ASCD=SAABC+SAACD,5AABC=|ABBC=4,二,當SAACD取得最大值時，

S四邊形A5CD有最大值.如解圖，過點D作DELAC于點E,過點O作OF±AC于點

F,連接0。'：DE^OD+OF,J當。，O,尸三點共線，即當點E與點尸重合

時，OE取得最大值，最大值即為00+0下的值.丁。。在AC上滾動，.二0尸=1,

.二。石最大=0。+0尸=2,.?.以4CD最大=%。。石最大=：*2遙乂2=2遙,.'.S四邊形A5CD

最大=SAABC+SAACD最大=4+2V5.

I)

第6題解圖

考向2利用輔助圓求最值

1.2V5-2【解析】如解圖，連接BE,5D由題意得5Z)=j22+42=2遮，

VZMBN=9Q°,MN=4,E為MN的中點，：.BE=^N=2,.??點E的運動軌

跡是以點5為圓心，2為半徑的弧，J當點E落在線段5。上時，的值最小,

???OE的最小值為2V5-2.

第1題解圖

2.20V3-16【解析】如解圖，以點E為圓心，EC長為半徑作圓，過點E作

EGLA5交5A的延長線于點G,交。E于點此時△A5D的面積最小，?.,在

口ABC。中，ZC=120°,ZABC=60°,7^=10,易得A5與CD間的距

離為5g,.'.EG=5V3,二石為邊的中點，；.DE=DE=[D=4,：.GD'=

5V3-4,??.84即的最小值為]乂8又(5g-4)=20g一16.

R匕-------7、t

第2題解圖

3.6V3-6【解析】如解圖，連接。尸，根據對稱性質可知。尸=CD,?.?四邊形

A5CD為菱形，.?.A5=AZ)=Cr)=JDF=6,???點下的運動軌跡為以點Z)為圓心，

長為半徑的曲，連接5。交“于點G,當B,F,。三點共線，即點尸與點

G重合時，5尸的值最小，最小值為5G的長，過點A作于點M,?.,在

菱形A5CD中，NABC=60°,ZABD=30°，在R3A5M中，5Af=AAcos30°

=3V3,：.BD=643,\"DG^AD=6,:.BG=BD—DG=6?—6,即3尸的最小

值為6V3—6.

第3題解圖

4.2【解析】如解圖，取5。的中點O,以5。為直徑作。O,與AB交于點E,

連接OP,AO,VZACB=90°,ZACP+ZBCP=90°,ZCBP=ZACP,

：.ZCBP+ZBCP=90°,：.ZCPB=90°,.?.點尸在以BC為直徑的圓弧CE

上運動，AP^AO-OP,J當點尸，A,O三點共線時，尸A有最小值，?.?點。是

1

的中點，BC=6,/BPC=90°,：.P0=C0=-BC=3,在RtAACO中，VAC

=4,.,.AO==5,的最小值=5—3=2.

第4題解圖

5.V5-V2【解析】如解圖，根據定弦定角，確定△A5Q的外接圓。O,點。

在的優弧循上運動，連接AO,BO,DO,CD,0C,過點。作

于點尸，VZADfi=45°,ZAOB=90°,,：OA=OB,AB=2,：.△OAB>

等腰直角三角形，：.0A=0B=^-AB=>/2,NA5O=45°,：.Z0BF=ZABC~

ZABO=45°,...△05下是等腰直角三角形，：.OF=BF=*B=1,\'BC=3,

：.FC=BC~BF=2,：.0C=JoF2+FC2=V5,'：OD+CD^OC,當點。運

動到OC與。0的交點E時，CD的值最小，最小值為OC—0E,即遮一VI

第5題解圖

6.1【解析】設A(m足)，B(b,為，則直線。4的解析式為產奴，

koA'koB~—1,**?koB=—；?直線。8的解析式為y=一不，將點5(6,左)代

入y=一中，得〃2=一2也J5=一工，.，.R—工，與，設直線AB的解析式為y

aaaaaz

q2=772(1-pH一一1

=mx+”0nW0),,解得17na,...直線AB的解析式為y

=m-(--)+nln=1

=(a—》%+l,如解圖，設AB與y軸交于點。，當％=0時，y=l,：.D(0,1),

即00=1,,.,0C_LA5,.?.點。在以0。為直徑的圓上，當點。在半圓0。的中

點處時，點。到y軸的距離最大，此時0C=CD,過點。作于點E,

?.?0。是直徑,.*.Z0CD=90°,：.CE=DE=^OD=^.

、At1/

vvJo/

___L

ffN*

第6題解圖

7.6V2【解析】?.?NA5C=NAZ)C=45°,，A,B,C,。四點共圓，AC為OO

的弦，如解圖，當AZ)為。0的直徑時，A。取得最大值，此時NACZ)=90°,

"：AC=6,ZADC=45°,.,.AD=V2AC=6V2.

第7題解圖

8.2V2【解析】如解圖，過點。作COLLAB于點O,連接00,則NA0C=

90°,?.?在R3ABC中，AC=BC=4,：.AB=4y/2,：.AO'=BO'=2y[2,,:CE

是由C。繞點。逆時針旋轉90°