2025年中考數學總復習《線段問題(旋轉綜合題)》專項檢測卷附答

案

學校:姓名：班級：考號：

1.在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,根據題意完成下列問題：

⑴如圖①，點。為VA5C內的點，連接8,AD,BD,將。繞著點C按

逆時針方向旋轉90。后得CE.連接桃，BE,若AC=2,CD=1,AD=^,

求證：CD//BE.

(2)如圖②，若點E是VABC中斜邊AB上的點(點E不與點A、3重合),

試求BE?、AE\GE?的數量關系，并說明理由.

2.在VA5c中，ZABC=a,以點B為中心，將VABC順時針旋轉a,得到

VABG；再以點A為中心,將VABG順時針旋轉a,得到VAMG；連結AB,,

⑴如圖1,若AB=2,a=90°,求的的長；

(2)如圖2,60°<?<90°,探究的與型的位置關系，并說明理由.

3.在RCABC中，々=90。,"=磯0。＜。＜45。），點。是線段8C上的動點

（不與點5。重合），將線段繞點。順時針旋轉2a得到線段%.

⑵在線段BC延長線上取一點尸，滿足中=2如，作點E關于直線3C的

對稱點G,連接AG,GF,補充圖形，直接寫出ZAG5的大小，并說明

理由.

4.如圖1,在AABC中，ZACB=90°,BC=AC,點。在A8上，DELAB交

BC于點E,尸是AE中點.

⑴線段中與線段”的數量關系是和FC,位置關系是萬

_____FC;

（2）如圖2,將△BDE繞點5逆時針旋轉成0。＜。＜90。），其他條件不變，

線段四與線段”的關系是否發生變化？寫出你的結論并證明；

⑶將ABDE繞點5逆時針旋轉一周，如果BC=2魚，BE=2,直接寫出線

段股長的取值范圍.

5.如圖1,已知VABC、aBE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDEB=90°,

BC=2,E為BC的中點，將aEB繞點5順時針旋轉角成0。“<360。)，如

圖2,連接AD，CE.

(1)求證：AADBsACEB；

(2)當々=60。時，求AD的值；

(3)當4、。、E三點在同一直線上時，求CE的長.

6.如圖，已知點。是等邊VABC內一點，且瓦)=3,AD=4,CD=5.

(1)求加汨的度數；

以下是甲，乙，丙三位同學的談話：

甲：我認為這道題的解決思路是借助旋轉，我選擇將△3。繞點8順時

針旋轉60。或繞點A逆時針旋轉60°；

乙：我也贊成旋轉，不過我是將△的進行旋轉；

丙：我是將d8進行旋轉.

請你借助甲，乙，丙三位同學的提示，選擇適當的方法求-4)5的度

數；

(2)若改成1?=6,AD=8,CD=10,24汨的度數=°,點A到8。的

距離為；

類比遷移：

(3)已知，ZABC=90。，AB=BC,BE=1,CE=^3,AE=逐，求/BEC的度

數.

7.在VABC中，AB=AC,ABAC=90°,。為平面內的一點.

⑴如圖1,當點。在邊8C上時，BD=2,且/54。=30。，求AD的長;

(2)如圖2,當點。在VABC的外部，且滿足N3DC=45o+ZADC,求證:

BD=y/2AD;

(3)如圖3,AB=6,當。、E分別為48、AC的中點時，把繞點A順

時針旋轉，設旋轉角為。(。＜。＜180。)，直線的與CE的交點為尸，連接PA,

直接寫出旋轉中△尸河面積的最大值.

8.如圖，在VABC中，NBAC=90。，AB=AC=2①,入。上先于點。.點6

是射線上一點，過G作GELGr分別交A3、4。于點E、F：

(1汝口圖①所示，若點區下分別在線段Ab4。上，當點G與點。

重合時，求證：AE+AF=y[2AD;

(2)如圖②所示，當點G在線段AZ)外，且點E與點3重合時，猜想

AE,4尸與4G之間存在的數量關系并說明理由；

⑶當點G在線段上時，請直接寫出AG+3G+CG的最小值.

參考公式：(&+石)=a+b+2y[ab

9.已知，在VA5C中，ZC=90°,AC=BC,E是BC邊上一點.

⑴如圖1,點。是AC邊上一點，連接DE,將加繞點E逆時針旋轉90。

至EF,連接所.若AC=6,BE=3,求ABEF的面積；

(2汝口圖2,連接AE,將AE繞點E順時針旋轉90。至加，連接取

的中點N,連接EN.證明：AB-2EN=y/2EB;

(3)如圖3,已知AC=2/,連接AE,尸為AE上一點，在AP的上方以AP

為邊作等邊△APQ,剛好點。是點尸關于直線AC的對稱點，連接CP,

當CP+g”取最小值的條件下，點G是直線PQ上一點,連接CG，將ACGP

沿CG所在直線翻折得到ACGK(2XCGK與VABC在同一平面內)，連接AK,

當AK取最大值時，請直接寫出廠的值.

10.在VABC中，ZACB=90°,。是BC上一點.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,E是A3中點，tan/BCE*,CE=5,AD=3亞,求線段即的

長度；

(2)如圖2,C4=CB,點下在線段AD上，將線段W繞點C順時針旋轉90。

得到線段CG,連接BG,交AC于點H,當NG4D=2NABG時，試猜想AF與

C”的數量關系，并證明你的結論；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點”在庭上，點N在CG上，FM=CN,

連接AM,若CF=2幣,直接寫出"WN+NG的最小值.

11.在AABC中，AC=AB,/C4B=120。，點。是邊A3上的一動點.尸是

邊C￡＞上的動點.連接AF并延長至點E,交BC于G,連接班.且

AE+ZBDF=180°,ZAFC=60°.

(1)如圖1,若BC=6布,BE=4,求8的長.

(2)如圖2,若點。是的中點，求證：AE=DF+^3BF.

(3)如圖3,在(2)的條件下，將ABDE繞點B順時針旋轉，旋轉中的

三角形記作△2期，取。四的中點為“，連接CM.當CM最大時，直

接寫出募的值.

12.通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的

目的，下面是一個案例，請補充完整.原題：如圖1,點E、尸分別

在正方形A2CZ)的邊BC、CD上，ZEAF=45°,連接試猜想防、BE、DF

之間的數量關系

(1)思路梳理：

把AABE繞點4逆時針旋轉90。至△ADG,可使與A￡＞重合，由

ZADG=ZB=90°,得，ZFDG=180°,即點尸、D、G共線，易證A4FG絲

,故所、BE、之間的數量關系為.

(2)類比引申：

如圖2,點石、尸分別在正方形鉆8的邊CB、DC的延長線上，

㈤F=45。.連接EF,試猜想EF、BE、。廠之間的數量關系為

并給出證明.

(3)聯想拓展：

如圖3,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。、E均在邊8C上，且

ZBAD+ZEAC=45°.若BD=2,EC=2y/3,直接寫出AD和AE的長.

13.在AABC中，AC=BC,AC=6,ZACB=a,點。是BC邊上任意一點，

點E是直線AD上一動點，連接班，將BE繞點3順時針旋轉，旋轉角為

明得到線段防，連接所.

⑴如圖1,a=90%/8AD=15。，點F在射線AD上，求所的長；

(2)如圖2,BF//AD,CGLAE于點G,2ZABF-3ZEBF=4ZBAE,猜想線段

GE,3E，AC之間存在的數量關系，并證明你的猜想：

(3)如圖3,?=60°,點下在射線AD上，點尸是BE上一點且滿足Ab=3BP,

連接"，直接寫出當初最小時，點P到的距離.

14.如圖所示，等腰直角VABC中，ZACB=90°.

⑴如圖1所示，若。是VABC內一點，將線段8繞點。順時針旋轉90。

得到CE,連結A，BE,則線段AD、破的關系為;

⑵如圖2所示，若。是VASC外一點，將線段CD繞點c順時針旋轉90。

得到CE,且AE=AB,求證：BD=y/2CD;

⑶如圖3所示，若OC是斜邊相的中線，M為下方一點，且OM=竽,

CM=1,/BMC=45。,求出3M的長.

15.如圖，將線段A8繞點A逆時針旋轉a至!JAC,點。是平面內一點，

連接BC,AD,BD,CD,^ZCAB=ZCDB.

⑴如圖1,當夕=60。時，直接寫出8D,CD,AD之間的數量關系；

(2)如圖2,當3120。時，探究多產是否為定值，并說明理由；

(3)當a=120。，AB=5,AD=2時，請直接寫出乩)的長.

參考答案

1.(1)證明見解析

(2)2CE2=BE2+AE2,理由見解析

【分析】(1)根據勾股定理的逆定理得到WC=90。，根據旋轉的性質

得到CD=CE,ZDCE=90°,求得NCED=NCDE=45。，根據全等三角形的性

質得到/CE3=/ADC=90。，求得NBEZXNCZJE,根據平行線的判定定理得

至l」CD〃3E；

(2)根據旋轉的性質得到CE=B,ZECF=90°,求得ZA=/4BC=45。，根

據全等三角形的性質得到防=鉆，ZCBF=ZA=45°,根據勾股定理得到

結論.

【詳解】(1)證明：：AC=2,CD=1,AD=6,

/.CD2+AD2=1+3=4=AC2,

ZADC=90°,

加將。繞著點C按逆時針方向旋轉90。后得CE,

/.CD=CE,ZDCE=90°,

/.ZCED=ZCDE=45°,

ZACB=90°,AC=BC,

ZACB-ZBCD=ZDCE-ZBCD,

即ZACD=ZBCE,

在"IC。和"CE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.AACDgABCE(SAS),

/.ZBEC=ZADC=90°,

：.ABED=ZBEC-ZCED=90°-45°=45°,

/.ZBED=ZCDE,

CD//BE.

(2)解：2CE2=BE2+AE2,

理由：將C￡繞著點。逆時針旋轉90。得到b,連接跖，BF,

貝(jCE=CF,ZECF=90°,

?「ZAC6=90。，AC=BC,

：.ZA=ZABC=45°9

ZACB-ZBCE=ZECF-ZBCE,

ZACE=ZBCF,

在AACE和NBCF中,

AC=BC

<ZACE=ZBCF9

CE=CF

/.AACE^ABCF(SAS),

/.BF=AE,ZCBF=ZCAB=45°,

/.ZEBF=ZABC-^-ZCBF=45°+45°=90°,

22222

/.EF=CF+CE=BE+BF9

2CE2=BE2+AE2.

【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等

三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線是解題

的關鍵.

2.⑴A瓦=2

(2)平行，理由見詳解

［分析］(1)通過旋轉的性質得ZABC=ZABA=ZBAlBl=a=90。，和AB=網，

證明四邊形A%片為正方形，再根據正方形的性質即可求出.

（2）過點A作AEIIA瓦交巡于點E,由旋轉的性質和平行線的性質可

得ZAEB=ABE=a,易證4耳=4￡,因為AE||AA,所以四邊形AEA由為平

行四邊形，故可得出A411AB.

【詳解】（1）解：根據旋轉性質可得當。=90。時，

/ABC=44網=ZB^B,=a=90°,

，四邊形A%4為矩形，

;旋轉的性質可得AB=%,

四邊形A%好為正方形，

.二AB=AB[=2.

，A片的長為2.

（2）A瓦與A8的位置關系是平行.

理由：如圖，過點A作AE||A4交現于點石，

則ZAEB=B^B=a,

由旋轉的性質可得A2=%=A耳，ZABA=研4=a,

**?Z.AEB=ABE=a,

AB=AE,

，A.B^AE,

又TAEIIA瓦，

四邊形AEA1與為平行四邊形，

，A411Ag.

破與邛的位置關系是平行.

【點睛】本題考查了正方形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，

旋轉的性質，平行線的性質的判定，等腰三角形的性質和判定，熟練

掌握以上知識是解題的關鍵.

3.(1)見詳解

(2)ZAGF=90°

【分析】(1)連接犯并延長，交AC于點”，取晶中點N,連接DV,

由等腰三角形的“三線合一”得到DNL3E,NBDN=g/BDE=a,可證明

DN//AC,再根據平行線的性質即可求證；

(2)在射線OC上取點“，使得連接BGQGRGAF,先證明

NDGH=9。。，則可得3/1=黑=黑，再證明N1=44C,則cos/AC=*,

DIICrAC

繼而警=粵，可證明'G=ZACF，因止匕ABG-AACF，可證明^ABC^AGF，

CrAC

繼而求解.

【詳解】(1)證明：連接班并延長，交AC于點M,取防中點N,連

接DN,

由題意得。3處ZBDE=2a,

?:BE中點、為點、N,

DN±BE,ZBDN=-ZBDE=a,

2

ZDNB=9Q°,

;ZC=a,

ZBDN=ZC,

，DN//AC,

/.ZDNB=ZCMB=90°,

即：BEA.AC；

(2)解：ZAG產=90。，

在射線。。上取點H,使得DH=BD,連接5G,OG,HG,A尸,

,/DB=DE,DE=DG,

DB=DG,

..Z1=ZDGB,

?;DH=DB,

/.DH=DG,

：.N2=N3,

Z1+ZBGH+Z3=18O°,

/.2ZDGB+2Z2=180°,

/./DGB+N2=90。,

即/DGH=90。，

CF=2BD,

/.BH=CF,

?八BGBG

??cosZ1=-----=-----

BHCF

丁點￡與點G關于此對稱，

Z1=Z4,

?/ZABC=90°,BE1AC,

：.N4+Z5=N5+/a4C=90。，

/.Z4=ZfiAC,

Z1=ZBAC,

AR

VcosABAC=——,

AC

?BGBA

?*CF-AC?

ZC=a,

：.ZACb=180。-。,Z4=90°-a,

/.Zl=90°-a,

?ZABG=90°+90°-=180°-cr,

/.ZABG=ZACF,

/.AABGS^ACF,

/.ZBAG=ZCAF,

ZBAC=ZGAF,

*/△ABGSAACF,

?ABAG

**AC-AF?

?ABAC

?*AG-AF?

△ABCS^AGF,

/.ZAGF=ZABC=90°.

【點睛】本題考查了旋轉變換以及軸對稱變換的性質，平行線的性質，

等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數，熟練

掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵.

4.(1)=,±；

(2)線段如與線段”的關系不發生變化.證明見解析；

(3)1<BF<3.

【分析】(1)由直角三角形斜邊中線定理即可證明Q=FC,進而可證

DF1CF；

(2)如圖，延長AC到M使得CM=C4,延長切到N,使得DN=DE,

連接5N、BM、EM、AN,延長ME■交AN于H,交A5于。證明

△ABNg&WBE，推出M=再利用三角形中位線定理即可解決問題;

(3)分別求出所的最大值、最小值即可解決問題.

【詳角軍】(1)VZADE=ZACE=9Q°,AF=FE,

「?DF=AF=EF=CF,

ZFAD=4FDA,ZFAC=ZFCA,

/.ZDFE=/FDA+/FAD=2/FAD,ZEFC=ZMC+ZFC4=2ZFAC,

?.?CA=CB,ZACB=90°,

ABAC=45°,

/.ZDFC=ZEFD^ZEFC=2(ZFAD^-ZFAC)=90°,

/.DF=FC,DF1FC,

故答案為：=,-L；

(2)線段如與線段FC的關系不發生變化.理由如下：

如圖，延長AC到M使得加=8,延長a到N,使得DN=DE,連接BN、

BM、EM、AN,延長ME交A2V于"，交AB于0,

VZACB=90°,BC=AC,

：.ZBAC=ZABC=45°,

?「BC-LAM,AC=CM,

BA=BM,

/.ZABC=ZMBC=45°,

：.ZABM=90°,

同理可證3￡=3N,/EBN=9伊

ZABM=ZEBN=90°,

：.ZNBA=ZEBM,

：.△ABNgJWBE(SAS),

/.AN=EM,ZBAN=ZBME,

AF=FE,AC=CM,

/.CF=^EM,FC\\EM,

同理可證尸。=；AN,FD\\AN,

/.FD=FC,

/BME+/BOM=90°,ZBOM=ZAOH,

/.ZBAN+ZAOH=90°,

：.ZAHO=90°,

：.AN1MH,FD1FC；

(3)如圖2,連接防.

V\BE-BF\<BF<BE+BF,

???如圖3時防取得最大值時，點石落在A8上時,

如圖4中，當點石落在A5的延長線上時,所的值最小,

VAB=4,BE=2,

AE=AB+BE=6,

???點歹是AE的中點,

AF=EF=3,

B/的最小值4-3=1,

綜上所述，

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉變換，全等三

角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，三角形

三邊的關系，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常

用輔助線，構造全等三角形解決問題.

5.⑴見解析

（2）庭

⑶CE長為姮乎或叵走.

【分析】

此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和

性質，含30度角的直角三角形的性質，判斷出會跖是等邊三角形是

解本題的關鍵.

（1）先判斷出告=黑，再判斷出夾角相等，即可得出結論；

AnDU

（2）先判斷出是等邊三角形，進而判斷出/3EC=90。，求出CE,

借助（1）的結論得出比例式，即可得出結論；

（3）分兩種情況：先判斷出"=90。，利用勾股定理求出AE,進而

得出A。，最后借助（1）結論得出比例式，即可得出結論.

【詳解】（1）

證明：在RtZXABC中，AC=BC=2,ZACB=9Q°,

:.ZB=45°,

,BC

,,=0，

AB2

同理：ZDBE=45°,些=交

14BD2

.BCBE

ZABC=ZEBD,

ZACB-ZABE=ZDBE-ZABE,

:.ZCBE=ZABD,

:.AADBs"EB；

(2)

如圖2,旋轉前，點E是8C的中點,

:.BE=-BC=1,

2

在RtAABC中，AB=^2BC=2也

圖2

取的中點，連接跖，

/.BF=-BC=1,

2

:.BF=BE,

由旋轉知，NCB石=60。，

.△BEF是等邊三角形，

:.ZBFE=6O°,EF=BF=CF9

:.ZBCE=30°9

..NBCE+NCBE=9。。，

ZBEC=90°,

:.CE=A/BC2-BE2=石，

由(1)知，AADB^ACEB,

.ADAB

'~CE~~BC"

..3空三邁里反

BC2'

(3)

①當點E在線段AD上時，如圖3,

圖3

vZBED=90°,

:.ZAEB=90°,

在Rt"BE中，根據勾股定理得，河=房-BE?=J(2物?二近,

Ri公BED中,DE=BE=1,

.?.AD=AE+DE=yfi+l,

由(1)知，AADBMCEB,

,ADAB

"CE~BC，

丁ADBC(V7+l)x2V14+A/2

②當點E在線段AD的延長線上，如圖4,

圖4

同①的方法得，AE=不，

:.AD=AE-DE=yf7-l,

由(1)知，AADBSMEB,

,ADAB

"CE~BC，

“ADBC(V7-l)x2714-^

C/S=--------------=-----------==-----=-----------------,

AB2-722

即：滿足條件的CE長為"詆或巫"L

6.⑴ZADB=150。

(2)150,4.

(3)ZBEC=135°

【分析】(1)甲：將"DC繞點2逆時針旋轉6。。，得到△BEA,連接祝，

分別計算-4DE與/①汨的度數即可得到L的度數.乙：將ABAD繞

點3順時針旋轉60。，得到V3CP,連接加，分別計算/班》與ZDFC的

度數即可得到4DB的度數.

(2)利用(1)中的方法，同理可得W8=150。，再由30度直角三角

形性質可求點A到刖的距離；

(3)利用(1)中的方法，將△及邊繞著點3順時針旋轉90。，得到VCM,

同理可得NF8E=/BEb=45。，ZFEC=90°,由此即可求出/BEC=135。.

【詳解】(1)解：(1)選擇甲：如圖1,作4?E=60。，且BE=BD,連

接￡>E,AE,則VBZJE是等邊三角形，

*/△ABC是等邊二角形，

:.AB=BC9ZABC=60°,

.\ZABE=ZCBD,

:.AABEACBD,

AE=CD=5,

?/AD2+DE2=42+32=52=AE2,

ZADE=90°,

:.ZADB=ZADE+ZBDE=90°-^-60°=150°；

乙：如圖2,同理可得，ZBFD=60°,NDFC=90°,

.\ZADB=ZBFC=ZBFD+ZDFC=600+90°=150；

丙：如圖3同理可得，ZAGD=60°,ZBDG=90°,

ZADB=ZADG+ZBDG=60O+90°=150；

圖3

(2)同理(1)可得：AD-+BD1=CD-,

/.ZADB=150°,

如圖4,過點A作血)的垂線AH,垂足為H,

/.ZADH=30°,

AH=-AD=4,

2

故答案為：150,4.

(3)如圖5,將繞著點8順時針旋轉90。，得到VCBF,連接用,

圖5

...AABE^ACBF,

:.BE=BF=1,AE=CF=y[5,

：.NFBE=NBEF=45。，

:.EF2=BE^+BF2=2

-,'EF2+EC2=2+3=5=盤,

二?ZFEC=90°,

ZBEC=ZBEF+NFEC=45。+90。=135。

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉和平移的性質、全

等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、正方形的性質以

及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形

和全等三角形，依據圖形的性質進行計算求解.

7.(1)2A/2

(2)見解析

(3)95/2-9

【分析】(1)將△的沿折疊，得到△母，連接DE,利用全等三

角形的判定與性質以及勾股定理求解即可；

(2)過A作AEJ_AD,且=連接利用全等三角形的判定與

性質以及勾股定理求解即可；

(3)連接尸。交48于G,證明出4c(SAS),得至I1/DBA=NECA,

然后證明出-BPC為直角三角形，點尸在以3C中點V為圓心，3M為半

徑的圓上，連接尸河交43所在直線于點N,當鉆時，點尸到直線A8

的距離最大，然后利用三角形中位線和勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，將△的沿A5折疊，得到連接￡>E,

圖1

VAB=AC,ABAC=90°

：.ZC=ZABC=45°,

將△板)沿AB折疊，得到△年,

，AABD^/\ABE

ZABE=ZABD=4509BE=BD,AE=AD,ZBAD=ZBAE=30°

/.ZEBD=90°,ZDAE=60°

，VAD石為等邊三角形，△①汨為等腰直角三角形

/.AD=DE,2BD2=DE2

AD=DE=y/2BD=2y[2;

(2)如圖，過A作且AE=AD,連接

圖2

?/AE±AD

:.ZDAE=ZBAC=90°

ZBAE=ZDAC9

又<AD=AE,AB=AC

：.四△GW(SAS)

/.ZACD=ZABE

?.?ZACD+ZDCB+ZABC=90°

ZDCB+ZABC+ZABE=90°

NBOC=90。

AE=AD,AE±AD

2

/.ZADE=4509DE=2AD,SRDE=y/2AD

vZBDC=45°+ZADC

:.NBDC=ZADC+45。=NEDC,DO=DO,ZDOB=ZDOE=90°

：.ADOB注ADOE(ASA)

BD=DE=y/2AD;

(3)如圖3,連接PC交相于G點

圖3

屋/ME繞A點旋轉

.AD=AE,AB=AC,

*ZDAE=ZBAC=90°

?ZDAB=ZEAC

.△Q4B也△E4C(SAS)

?ZDBA=ZECA

?ZPGB=ZAGC

?ZBPC=ZGAC=90°

A3PC為直角三角形

.?.點尸在以3c中點M為圓心，8M為半徑的圓上，連接9交科所在

直線于點N,

當尸加，血時，點尸到直線的距離最大，

/ABAC=90°

，A、P、B、。四點共圓

PMLAB,

.?.N是AB的中點

是5c的中點

.，.MN=-AC=3

2

AB=AC=6,

?*.CB=』G+G=6五,

BM=PM=-BC=3y/2,

2

:.PN=3近-3,

?\點尸到AB所在直線的距離的最大值為3收-3.

/.的面積最大值為:ABxPN=；x6x(3&-3)=90-9.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角

形的性質和判定，三角形中位線性質，四點共圓性質，勾股定理等知

識，作出輔助線是解本題的關鍵.

8.(1)證明見詳解

(T)AE+AF=4IAG,理由如下

⑶3n+3應

【分析】(1)根據等腰三角形的性質和全等三角形的性質即可求證;

(2)過點G作曲上AG交延長線于點H,由等腰直角三角形可得

ZDAB=ZDAC=45°,AG=HG,由"AS4"可證"G尸四?GE,可得AF=3H,

可得結論；

(3)將AABG繞點A順時針旋轉60。得到△連接B'C,過點B，

作？N，AC,交C4的延長線于點N,由旋轉的性質可得

AG+BG+CG=GG'+B'G'+CG,則當點？，點G,點G,點C共線時,AG+BG+CG

的值最小，最小值為EC的長，由30。角所對直角邊是斜邊一半和勾股

定理可求解.

【詳解】(1)解：由題：在VASC中，ZBAC=90°,AB=AC=6,AD±BC

于點，GE1GF,

則。也是BC上的中點，即AD是3c的垂直平分線，

VZ￡4D=ZC=45°,AD=CD,ZADE=ZCDF,

/.AADE也ACDF(ASA),

..AE=CF,

,\AE+AF=AC,

AE+AF=y[2AD.

(2)AE+AF=42AG,理由如下：

如圖1,過點G作〃GLAG交AB延長線于點

.?.ZDAB=NDAC=45。,

ZAHG=ZBAD=45°,

:.AG=HG,

/.AH=?AG,

?.?ZEGF=ZAGH=90。,

.\ZAGF=ZEGH,

又???ZA/7G=44G=45。，

:小AGF沿AHGE(ASA)，

：.AF=BH,

:.AH=AE+BH=AE+AF=42AG.

(3)如圖2,將A>G繞點A順時針旋轉60。得到△連接GG,

B'C,過點a作?N,AC,交C4的延長線于點N,

/.ZBABr=60°,NGAG'=60°,BG=BG,

.,.△AG(7是等邊三角形，

AG=GG,

AG+BG+CG=GG'+B'C+CG,

:?當點？，點G,點G,點C共線時,

AG+3G+CG的值最小，最小值為9C的長,

ZBfAC=ZB'AB+ZBAC=60。+90。=150°,

ZB'AN=30°,

.'.BW=3,AN==3^3,

:.CN=6+3j3,

B'C=7(6+3A/3)2+9=3A/6+3>/2,

.1AG+BG+CG的最小值為：3n+30.

【點睛】考查綜合運用旋轉的知識作輔助線證明的能力，用旋轉的知

識解決幾何最值問題，對于與等腰直角三角形有關的證明題往往要進

行圖形的9。。旋轉，把要證明的要素集中到一個熟悉的圖形中進行，

最值問題常常要通過軸對稱和旋轉6。。把要求的線段之和或差轉化為

俱有固定端點的折線，然后據兩點之間線段最短來解決.

9.(1)9|

(2)見解析

(3)2-6

【分析】(1)證明ACDE%HE。可得CE=m=3,由三角形的面積公式

可求解；

(2)作輔助線如解析圖，證明△兩名JWGN,可得NE=GN,MG=BE,

進,zjz-OjMG=EQ=BE,BQ=\f2BE,證明AAEQ/AEMG,可得EG=AQ,從

而可得結論；

(3)作輔助線如解析圖，可得當點c,P,N三點共線時，有

最小值，由折疊的性質可得CP=CK,進而得點K在以。為圓心，CP為

半徑的圓上運動，可得當點K落在AC的延長線上時，AK有最大值,

然后由直角三角形的性質和等邊三角形的性質可求解.

【詳解】（1）解：如圖1,過點尸作mJL直線于”,

:將DE繞點￡逆時針旋轉90°至EF,

:./DEF=9U。,DE=EF,

VAC=6=BC,BE=3,

/.CE=BE=3,

*/ZACB=ZDEF=ZH=9Q0,

：.ZCED+ZCDE=90°=ZCED+ZBEF

ZCDE=ZBEF,

ACDEM出EF(AAS),

/.CE=FH=3,

???A5￡F的面積=；3￡切=|；

(2)證明：如圖2,過點M作MG〃改，交直線NE于點G,過點E作

EQ//AC,交相于Q,

?/MG//BC,

.ZG=ZNEB,/GMN=/EBN,ZGME=/CEM,

???點N是瓶的中點，

/.MN=BN,

△5EN%MGN(AAS),

：.NE=GN,MG=BE,

：.GE=2NE,

,/EQ//AC,

/.ZCAB=ZEQB=45°=ZABC,ZC=ZQEB=ZCEQ=90°,

：.QE=BE,

/.MG=EQ=BE,BQ=41BE,

:將AE繞點石順時針旋轉90。至EN,

/.AE=ME,ZAEM=90°=ZCEQ,

/.ZAEQ=AMEC,

/.ZAEQ=ZEMG,

：.△AEQ%EMG(SAS),

EG=AQ9

「?AB=AQ+BQ=2NE+42BE；

（3）解：如圖，作點。關于AE的對稱點C,連接AC,CC',

?點。是點尸關于直線AC的對稱點，

.AP=AQ,AC平分NPAQ,AC垂直平分尸Q,

?△APQ是等邊三角形，

./C4P=30。，

.PN=-AP,

2

?點。與點C關于AE對稱，

.PC=PC,AC=AC,ZCAP=ZC'AP=30°,

.ZCAC=60°,

.△C4C為等邊三角形，

?CP+-AP=C'P+PN,

2

?當點c,p,N三點共線時，+有最小值,

?將△CGP沿CG所在直線翻折得到ACGK,

.CP=CK,

.點K在以。為圓心，CP為半徑的圓上運動，

?當點K落在AC的延長線上時，AK有最大值，

?△C4C為等邊三角形，CNLAC,

.CN垂直平分AC,

'AC=2下,

.AN=CN=y(3,

'PN=；AP,PN2+AN2^AP2,

.PN=1,AP=2=CP,

c

：.ZAPN=ZCPN=9。，

''將△CGP沿CG所在直線翻折得到ACGK,

CP=CK=2,Z.CKG=ZCPG=60°

KN=2+粗，4KGN=30。,

NG=6KN=26+3,

%KG=：X2X（26+3）=2百+3,

?,，…二號乂?。=5

?S&CGK=26+3=2+石

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，

折疊的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質等知識,

確定點P的位置是解題的關鍵.

10.（1）BD=5

⑵AF=2CH,證明見解析

⑶5+庖

【分析】（1）過點E作EG,8c交2C于點G,由題意得到EG=：CG,利

用勾股定理得到EG,CG,根據E是A8中點，ZACB=90°,得到

CE=BE=AE=5,推出ABCE是等腰三角形，即得至lj3C=23G=2CG=8,利

用勾股定理求出AC,CD,即可求出8D的長；

（2）延長BC,在3c延長線上截取ar=C3,取BG的中點0,連接CQ，B'G,

證明AACF絲》CG（SAS）,得至[jZB，=NC4O,A尸=?G,設NABG=（z,則

ACAD=AB'=2a,根據點。，。分別為例3G的中點推出CQ〃皆G,得至I」

NBCQ=NB，=2a,由三角形外角的性質得至ljNCQG=45。+a,NBHC=45。+a,

推出/XCQa是等腰三角形，故得到CQ=S=.G,即可得出結論；

（3）連接陽，取FG的中點P,連接CP,PM,PN,將GC繞點G逆時針

旋轉30。得到GC’,過點尸作尸SLGC,交GC’于點S,交GC于點T；根

據△CFG是等腰直角三角形，得CPLPG,利用勾股定理求得FG=2內，

貝ljPG=PF=g/G=&?,由題意證明"GN0ApeM（SAS）,得到

NGPN=NCPM,PN=PM,進而得到ZMPN=9O。，ZWPN是等腰直角三角形，

推出"WN=2PN,y]2MN+NG=2PN+NG,此時當點N與點T重合時，有

NS=；NG,PN+；NG有最小值，則在WN+NG=2PS有最小值，最后根據

ZMNC=ZSPG,利用銳角三角函數求解出MN,PN的長即可得出PS的長,

即可得出結果.

【詳解】（1）解：如圖，過點E作EG,3c交8c于點G,

,/tan/BCE=—3,EGIBC,

4'

??,CE=5,

75

:.CE2=CG2+EG2,BP—CG2=25,

「.CG=4,EG=3,

???E是AB中點，ZACB=90°,

.e.CE=BE=AE=5,AB=2BE=10,

“CE是等腰三角形，

BC=2BG=2CG=8,

22

???AC=YIAB-BC?

.'.AC=6,

■■AD=3號

：.CD=YIAD2-AC2=3,

:.BD=BC-CD=5；

(2)解：AF=2CH,理由如下:

如圖，延長BC,在BC延長線上截取CB=CB,取BG的中點Q,連接CQ,B'G,

???線段b繞點C順時針旋轉90。得到

線段CG,

:.CF=CG,ZFCG=9Q°,

ZACB'=ZB'CG+ZACG=90°,ZFCG=NAb+NACG=90°,

:.NB'CG=ZACF,

■：CB=CA,CB'=CB,

:.CA^CB'

AACF^AB,CG（SAS）,

NB'=ACAD,AF=B'G,

設ZABG=cr,貝lj/C4D=/?=2a,

???點C。分別為網3G的中點,

CQ//B'G,

ZBCQ=ZB'=2a,

ZCQG=45°+a,ZBHC=45°+a,

是等腰三角形，

CQ=CH=；B'G,

-.-AF=B'G,

:.CH=^AF,gpAF=2CH；

（3）解：如圖，連接FG,取FG的中點尸，連接CP,PM,PN,將GC繞點

G逆時針旋轉30。得到GC’,過點尸作PS_LGC,交GC'于點S,交GC于

點T;

??AC尸G是等腰直角三角形,點尸是FG的中點,

CP1.FG,PC=PG,NPGC=/PCF=45。,

FG=VCF2+CG2==2舊，

PG=PF=-FG=>/14,

2

FM=CN,貝l]CR_CM=CG_NG,

;.CM=NG,

???PC=PG,NPGC=NPCF=45。,

△PGW^APCM(SAS),

ZGPN=NCPM,PN=PM,

NGPC=9Q。,

:"CPM+/CPS=/CPS+Z.GPS=90°,

,ZMPN=9Q°,

??.zw/w是等腰直角三角形，

也MN=2PN,y/2MN+NG=2PN+NG,

如圖，此時當點N與點7重合時，有NS=：NG,PN+；NG有最小值,

則垃MN+NG=2PS有最小值，

?：/GPS+/CPN=90°,

ZMNC=/SPG,

???△GPS,WNC都是直角三角形,

sinZMNC=sin/SPG,

.GSCM

"PG~MN,

設2vs=x,^\NG=CM=2x,GS=6x,CN=2>Ji-2x,

由x2x

四一MN

3

V42MN=2PN，

2V2T

，PN二——

3

:.PS=PN+NS=^^-+x

3

,/tanZMNC=tan/SPG,

2x

CM

即2幣-2x12后

CNu+x-------

3

3V7-V2T

解得:x=------------

6

27213V7-V21A/7+V21

...PS=----------F

362

也MN+NG=2PS=不+而.

【點睛】本題考查了三角形綜合問題，等腰三角形的判定與性質，全

等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形中位線的性質，解直角三

角形，正確構造輔助線，證明三角形全等和構造直角三角形是解題的

關鍵.

11.(l)cn=2Vi9

(2)見解析

_17+473

()EM"一-5~

【分析】(1)解等腰三角形ABC求得電，解斜三角形鉆石，求得AE,

證明AACDmABAE,進而求得結果；

(2)作AQLCO于Q,作于H,連接DE,作交C4的延長

線于R,由AACDMA&鉆得出CD=AE,證明ACQ=ABAH可得CQ=AH,解斜三

角形ACD可得tan/C4D,進而得出質和3F的關系，進一步求得結論；

(3)可得出點/在以8為圓心，孝8。為半徑的圓上運動，當點M運

動到CB的延長線交0B的N處時，CM最大,然后解直角三角形E2N和

斜三角形,，進一步得出結果.

【詳解】(1)解:如圖1,

圖1

作AT,3c于T,作招，環交BE的延長線于R,

AC=AB9

ZCAT=ZBAT=-ABAC=60°BT=-BC=3^3,

22，

BT

AB=

sinZBAT

2

在四邊形BERD中，ZE+ZBZ)F=180°,ZDFE=ZAFC=^)°,

.\ZABE^DFE=1SO°,

ZABE=120°,

在RtAABR中，ZABR=1SO°-ZABE=60°,AB=6,

/.B^=6cos60°=3,A7?=6sin60°=6x^=3^,

:.ER=BE+BR=1,

:.AE={AR2+ER2=收回+72=2M,

在AACD和ABAE中，

ZCAB=ZABE=120°

<ZADC=ZE

AC=AB

:.^ACD=ABAE(AAS),

；.CD=AE=2M;

(2)證明：如圖2,

作AQLCD于Q,作于H,連接￡>E,作￡>R，G4交C4的延長線于R,

由(1)知：/^CD=ABAE,

:.BE=AD,ZBAE=ZACD,CD=AE,

??,點。是AB的中點，

/.AD=BD,

BE=BD,

,\ZBDE=ZBED,

???ZE+ZBDF=180°,ZAFC=60°,

???點3、E、F、。共圓，

:.ZBFD=ZBED,ZBFE=ZBDE,

ZBFD=ZBFE=-ZDFE=-ZACF=30°,

22'

h\

FH=BF-cosZBFE=BF-cos30°=—BF,BH=-BF,

2'2

在RtAAFQ中,

QF=AF-cosZAFC=AFCOS600=|AF,

在AACQ和Afi4H中，

ZAQC=ZAHB=90°

<ZCAD=NBAE,

AC^AB

ACQ=ABAH(AAS),

:.CQ=AH,

:.CF-QF=FH+AF,

AF--AF=—BF+AF,

22

:.CF=-BF+-AF,

22

設AD=X,貝!jAC=AB=2AD=2x,

在RtAADR中，ZDAR=18O0-ZBAC=6O°,

AR=—AD=—x,DR=——x,

22'2

/.CR=AC+AR=2x+—x=—x,

22'

Tl_73

tanNBAE=tanZACD=—

5-5

CR—x

2

.BHA/3

??----------=--------a

AH5

.-AF底

?-2=蛇，

AH5

AH=—BF,

6

:.AF+FH=—BF,

6

:.AF+4BF:半BF,

-,AF=—BF,

3

,■,CF=—BF+-AF=—BF+-x^-BF=>/3BF,

22223

■,AE=CD=DF+CF,

:.AE=DF+y/3BF;

(3)解：如圖3,

由（2）得：BD=BE,

丁點M是的中點,

:.BM±DE,

■.■ZBDE=30°,

BM=BD-cos30°=-BD,

2

二點M在以B為圓心，岑8。為半徑的圓上運動，

，當點“運動到CB的延長線交08的N處時，CM最大,

設BE=BD=x,

/.AB=2x,

:.BN=-x,

2，

ZABE=120°,ZABC=30°,

:.NEBN=NCBE=90°,

EM2=EN2=BE2+BN2=x2+(1x)2=|x2,

在RtAABH中，AB=2x,ZABC=30。,

==x

??~^9BH=y/3x?

:.NH=BN+BH=?X+LX,

2

.-