專題14幾何綜合六種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型

平面內有兩點A,B,再找一點C,使得ABC為直角三角形

分類討論：

若NA=90。，則點C在過點A且垂直于AB的直線上（除點A夕卜）;

若NB=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上（除點B外）；

若NC=90°,則點C在以AB為直徑的圓上（除點A,B外）.

以上簡稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點能構成直角三角形，但要除去A,B兩點.

題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

分類討論：

若AB=AC,則點C在以點A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若BA=BC,則點C在以點B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”

“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形，但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN

以及線段AB中點E（共除去5個點）需要注意細節

題型三：胡不歸模型

【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為在直線MN上運動的速度為且％＜也，A、

B為定點,點C在直線/WN上，確定點C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區分）

匕匕

ACBC

1)----1----BC+^-AC,記k,即求BC+kAC的最小值.

匕匕

2）構造射線A。使得sinNDAN=k,—=k,CH=k47,將問題轉化為求BC+CH最小值.

AC

3）過B點作BH1AD交MN于點C,交八。于”點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關鍵】在求形如"小+kPB"的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將"R4+kP8”型問題轉

化為"%+PC型.（若Q1,則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。

題型四：阿氏圓模型

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為r,點A、B都在。0外，P為。。上一動點，已知r=k-OB,連

接PA、PB,則當“PA+k，PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

如圖2,在線段0B上截取0C使OC=kr,則可說明△BP。與△PC。相似，即k-PB=PC。

故本題求“PA+/PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示:

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k%+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變為

圓時，即通常我們所說的"阿氏圓"問題.

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。

題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運動軌跡為直線

1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？

解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.

理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ,所以QN始

終為A/W的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

2）如圖，在MPQ中AP=AQ,EIRAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？

理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始

位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。

【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用"垂線段最短"求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；

②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）

【模型解讀】

模型1、運動軌跡為圓弧

模型1-1.如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,Q為4P中點.Q點軌跡是？

如圖，連接A。，取A。中點任意時刻，均有ELA/MQaiAOP,QM:P0=AQ:AP=l:2.

則動點。是以“為圓心，為半徑的圓。

模型1-2.如圖，B4PQ是直角三角形，明4Q=90。且AP=k-AQ,當P在圓。運動時，Q點軌跡是？

如圖，連結A0,作AM3A0,AO:AM=k:l；任意時刻均有B4POEB4QM,且相似比為k。

則動點。是以“為圓心，為半徑的圓。

模型1-3.定義型：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態翻折中）

如圖，若P為動點，但A8=AC=AP,則8、C、P三點共圓，

則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。

模型14定邊對定角(或直角)模型

1)一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動點，AB為定值，EMPB=90°,則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2)一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點，AB為定值，MPB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用："一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差"的性質求解。

壓軸題預測

題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型

1.(2023?安溪縣二模)如圖，是半圓O的直徑，BPLAB,PD與半圓O相切于點。，連接45并延

長，交的延長線于點C.

(1)求證：PB=PC；

(2)若0O的半徑為5,AD=8,求3尸的長.

2.(2023?平房區二模)如圖1,AABC內接于OO中，Afi為直徑，點。在弧BC上，連接AD,CD.

(1)求證：ZCAB+ZD=90°；

(2)如圖2,連接OC交A3于點/，若NZMB+2NC4D=90。，求證：AC=CD；

(3)在(2)的條件下，如圖3,點E在線段CF上，連接AE,BE交AD于點H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

3.(2022?蔡甸區校級模擬)如圖，點E是正方形A5CD邊3C上一點(點E不與3、C重合)，連接DE交

對角線AC于點尸，AAD廠的外接圓。交邊于點G,連接GO、GE.

(1)求NEDG的度數；

(2)若——=-,求tanNDEG.

CE2

B

DC

4.(2023?懷化)如圖，AB是。O的直徑，點尸是。。外一點，上4與0。相切于點A,點C為。O上的一

點.連接尸C、AC.OC,且尸C=R4.

(1)求證：PC為QO的切線；

(2)延長尸C與AB的延長線交于點￡),求證：PDOC=PAOD；

(3)若NC4B=3O。，OD=8,求陰影部分的面積.

5.(2023?廣陵區二模)如圖，頂點為A(Y,4)的二次函數圖象經過原點(0,0),點尸在該圖象上，O尸交其

對稱軸/于點/，點M、N關于點A對稱，連接RV,ON.

(1)求該二次函數的表達式；

(2)若點尸的坐標是(-6,3),求AOPN的面積；

(3)當點尸在對稱軸/左側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：

①求證：ZPNM=ZONM；

②若AOPN為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.

6.（2024?寶安區二模）“海之躍”摩天輪是某地區的城市名片.濱城學校九年級（3）班的項目式學習團隊

計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度.

【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上.擬測算的寫字樓與摩天輪在同一

平面內.

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖2）.

圖2圖3

,如圖3,摩天輪的最局局度為128米，半徑為60米，該團隊

分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀

觀測寫字樓最高處。點，觀測數據如表（觀測誤差忽略不計）.

【任務一】初步探究，獲取基礎數據

（1）如圖3,請連接AO、BO,則NAOF=°；

（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置3點的高度.（結果保留根號）

【任務二】推理分析，估算實際高度

（3）根據觀測數據，計算寫字樓的實際高度。N.（結果用四舍五入法取整數，72-1.41）

7.(2022?江北區一模)如圖1,四邊形ABCD是。。的內接四邊形，其中=對角線AC、相交

于點E,在AC上取一點尸，使得"=過點尸作GHLAC交QO于點G、H.

(1)證明：\AED~\ADC.

(2)如圖2,若AE=1,且G”恰好經過圓心O,求3c-CD的值.

(3)若AE=1,EF=2,設跳;的長為無.

①如圖3,用含有x的代數式表示A5CD的周長.

②如圖4,3C恰好經過圓心O,求ABCD內切圓半徑與外接圓半徑的比值.

4*一號

圖1圖2圖3圖4

題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

1.（2022?開州區模擬）如圖，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是3c的中點，E為AC邊上任意一點,

連接小，將線段DE繞點。逆時針旋轉90。得到線段DF,連接￡F,交鉆于點G.

（1）如圖1,若AB=6,AE=yf2,求ED的長；

（2）如圖2,點G恰好是EF的中點，連接所，求證：CD=42BF；

（3）如圖3,若43=4夜，連接CF,當+取得最小值時.請直接寫出斯的值.

圖2圖3

2.(2023春?璧山區校級期中)如圖，直線丫=區+匕經過點4(8,0)和3(0,4)兩點，將AAO3沿直線/對折使

點A和點3重合，直線/與無軸交于點C與AB交于點。，點。的縱坐標為2,連接3c.

(1)求直線4?的解析式；

(2)若點E在x軸的負半軸上，且ABED的面積為10,求ABQE的周長；

(3)已知y軸上有一點尸，若以點3,C,尸為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點

P的坐標.

題型三：胡不歸模型

1.(2023?湘潭縣校級三模)如圖，拋物線丁=加+方龍+3(。H0)與x軸相交于點4-1,0),5(3,0),與y軸

交于點C,連接3C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸為y軸上一個動點，連接3P,求疝片9+103尸的最小值；

(3)連接AC,在x軸上是否存在一點P,使得NPCO+NACO=45。？若存在，求出點P的坐標；若不存

在，請說明理由.

2.(2023?徐州二模)拋物線y=-d+bx+3與直線y=x+l相交于A、3兩點，與y軸相交于點C,點A在

x軸的負半軸上.

(1)求拋物線的函數表達式及頂點。的坐標;

(2)如圖1,直線AB上方的拋物線上有一動點P,過點P作于點求垂線段尸〃的最大值;

(3)如圖2,當點P運動到拋物線對稱軸右側時，連接"，交拋物線的對稱軸于點當AM+或DW

5

最小時，直接寫出此時"的長度.

圖1圖2

3.(2023?丘北縣一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2+法+4與x軸交于A(T,0)、3(2,0)兩

點，與y軸交于點C,連接AC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是線段AC上方拋物線上一動點，點E是x軸上的動點，連接以、PC,當AR4c的面積最大時,

4.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=f-2x-3與x軸交于點A,B（點A在點8的左

側），交y軸于點C,點。為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E.

（1）連接班），點M是線段班）上一動點（點〃不與端點3,。重合），過點M作交拋物線

于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作軸，垂足為H,交于點尸，點P是線段OC上一動

點，當取得最大值時，求叱+FP+」PC的最小值；

3

（2）在（1）中，當MN取得最大值,“b+EP+gpC取得最小值時，把點尸向上平移暗個單位得到點Q,

連接A。，把AAOQ繞點。順時針旋轉一定的角度以0。<（/<360。），得到△AOQ1其中邊4。交坐標軸

于點G.在旋轉過程中，是否存在一點G,使得NQ'=NQ'OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點。

5.(2023?江城區三模)如圖，拋物線y=-夜/一6后x+7夜交x軸于A,3兩點(點A在點3左側)，交

y軸于點C,直線丁=缶+7應經過點A、C,點M是線段AC上的一動點(不與點A,C重合).

(1)求A,3兩點的坐標；

(2)當點、P,C關于拋物線的對稱軸對稱時，求尸M+諉AM的最小值及此時點M的坐標;

3

(3)連接BC,當AAOM與AABC相似時，求出點M的坐標.

備用圖

6.（2024?宿遷模擬）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線>=62-2辦+3與無軸交于點A,B（點A在

點3的左側），交y軸于點C,點A的坐標為（-1,0）,點。為拋物線的頂點，對稱軸與無軸交于點E.

（1）填空：a=，點3的坐標是；

（2）連接點M是線段上一動點（點M不與端點3,。重合），過點/作肱V_LBD,交拋物線

于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NHLx軸，垂足為"，交BD于點F,點尸是線段OC上一動

點，當AAWF的周長取得最大值時，求FP+UpC的最小值；

2

（3）在（2）中，當AAWF的周長取得最大值時，FP+’PC取得最小值時，如圖2,把點P向下平移之叵

23

個單位得到點0,連接AQ,把AA。。繞點。順時針旋轉一定的角度。（0。<]<360。），得到△400「其

中邊4。交坐標軸于點G.在旋轉過程中，是否存在一點G,使得@2=OG?若存在，請直接寫出所有

滿足條件的點。'的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

7.（2023?南山區三模）如圖，在AACE中，CA=CE,NC4E=3O。，經過點C,且圓的直徑AB在線

段上.

（1）試說明CE是QO的切線；

（2）若AACE中AE1邊上的高為/z,試用含耳的代數式表示O。的直徑9；

（3）設點。是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD,當gc￡）+O方的最小值為6時，求。。的直徑

至的長.

題型四：阿氏圓模型

1.(2024?長沙模擬)閱讀材料，回答下列小題.

閱讀材料1:

調和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數學家們便發現了一組具有特殊比例關系

的點列：調和點列.

我們定義：若一直線上依次存在四點A,B,C,D,滿足AB-CD=8C-AD,則稱A,B,C,。為調

和點列.從直線外一點P引射線B4,PB,PC,PD,則稱PB,PC,PD為調和線束.

(1)如圖1,過圓。外一點尸作圓。的切線R4,PB,并引圓。的割線PCD,設PD與A交于點E.

①求證：P,C,E,。是調和點列.

②求證：ACBD=BCAD.

閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對于平面上的兩定點A,3和平面上一動點P,若尸到A和3的距離之比為

定值，則點P的軌跡是一個圓，我們稱該圓是點P關于AB的“阿氏圓

(2)根據閱讀材料1,2,回答①②小題.(本題圖未給出)

①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置.

②若點尸關于的“阿氏圓”交至于C,D,求證：A,C,B,。為調和點列.

(3)如圖2,ABCD是平行四邊形，G是三角形/WD的重心，點尸，Q在直線上，滿足GP與PC垂

2.(2024?萊蕪區校級模擬)在AABC中，ZCAB=90°,AC=AB.若點。為AC上一點，連接BD,將

繞點3順時針旋轉90。得到BE,連接CE,交AB于點尸.

圖3

(1)如圖1,若ZABE=75。,皮)=4,求AC的長；

(2)如圖2,點G為3c的中點，連接FG交BD于點若NABD=3O。，猜想線段DC與線段8G的數

量關系，并寫出證明過程；

(3)如圖3,若至=4,。為AC的中點，將AABD繞點B旋轉得△A!BD,連接A'C、4。，當A。+交AC

2

最小時，求可450?

3.(2023?萬州區模擬)如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,過點C作CD//AS交過點3的直線

于點￡),ZABD=3O°,直線加交AC于〃.

(1)如圖1,若筋=2,求加的長;

(2)如圖2,過點A作AG_L3r＞交班＞于點G,交3c的延長線于E,取線段AB的中點尸，連接GF,求

證：GF+-JiGH=BH.

(3)在(2)的條件下，過點。作Z)PJ_鉆交AB于點尸，若點M是線段G尸上任一點，連接3M,將ABGM

沿5M折疊，折疊后的三角形記為△3GM,當工47+DG取得最小時，直接寫出tan/PDG的值.

2

4.(2022?從化區一模)已知，AB是QO的直徑，AB=4及,AC=BC.

(1)求弦3c的長；

(2)若點。是他下方OO上的動點(不與點A,B重合)，以CD為邊，作正方形CD￡F,如圖1所示,

若〃是DP的中點，N是3c的中點，求證：線段"N的長為定值；

(3)如圖2,點尸是動點，且釬=2,連接CP,PB,一動點。從點C出發，以每秒2個單位的速度沿

線段CP勻速運動到點尸，再以每秒1個單位的速度沿線段PB勻速運動到點5,到達點3后停止運動，求

點。的運動時間f的最小值.

E

圖1圖2

5.（2022?市中區校級模擬）如圖，在AABC與ADEF中，ZACB=NEDF=90°,BC^AC,ED=FD,

點。在AB上.

(1)如圖1,若點尸在AC的延長線上，連接AE,探究線段AF、AE.AD之間的數量關系，并證明你

的結論;

(2)如圖2,若點。與點A重合，且AC=30,DE=4,將ADER繞點。旋轉，連接班'，點G為防的

中點，連接CG,在旋轉的過程中，求々CG+BG的最小值;

2

(3)如圖3,若點。為AB的中點，連接班'、CE交于點M,CE交AB于點、N,且3C:DE:ME=7:9:10,

請直接寫出世的值.

圖2

圖1

圖3E

題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）

1.（2022?沈陽）【特例感知】

（1）如圖1,AAOB和AC。。是等腰直角三角形，NAO3=NCOD=90。，點C在。4上，點。在80的延

長線上，連接AD,BC,線段AD與3C的數量關系是；

【類比遷移】

（2）如圖2,將圖1中的ACOD繞著點。順時針旋轉旗0。<l<90。），那么第（1）問的結論是否仍然成立？

如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由.

【方法運用】

（3）如圖3,若AB=8,點C是線段至外一動點，AC=3A/3,連接BC.

①若將CB繞點C逆時針旋轉90。得到CD,連接A￡>,則A3的最大值是；

②若以BC為斜邊作RtABCD（B,C,D三點按順時針排列），Z.CDB=90°,連接AD,當Z.CBD=ZDAB=30°

時，直接寫出AD的值.

圖1圖2圖3

2.(2021?武進區模擬)如圖①，二次函數y=-—+6無+。的圖象與x軸交于點A(-1,0)、8(3,0),與y軸交

(1)求二次函數的表達式.

(2)當點P不與點A、3重合時，作直線"，交直線BC于點Q,若AAB。的面積是ABPQ面積的4倍，

求點P的橫坐標.

(3)如圖②，當點P在第一象限時，連接竹，交線段3c于點M,以AAf為斜邊向外作等腰直角

三角形AAW,連接BN,AABN的面積是否變化？如果不變，請求出AABN的面積；如果變化，請說明理

由.

題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）

1.（2023?崖州區一模）若AC=4,以點C為圓心，2為半徑作圓，點尸為該圓上的動點，連接AP.

⑴如圖1,取點3,使AABC為等腰直角三角形，44c=90。，將點P繞點A順時針旋轉90。得到AF.

①點P'的軌跡是—（填“線段”或者“圓”）；

②。的最小值是一；

（2）如圖2,以AP為邊作等邊AAPQ（點A、P、。按照順時針方向排列），在點P運動過程中，求CQ的

最大值.

（3）如