2025年中考第一次模擬考試（云南卷）

數學?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共15個小題，每小題2分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.肺炎支原體是一種大小介于細菌和病毒之間的微生物，肺炎支原體直徑約為0.00000005米，約為一根頭

發的五萬分之一，卻有著不可小既的威力.其中數據0.00000005用科學記數法表示為（）

A.0.5x10-7B.5x10-7C.5xl0-9D.5xW8

【答案】D

【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為axlO"的形式，其中1＜忖＜10,

〃為整數，確定〃的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數

相同，當原數絕對值大于等于10時，〃是非負數，當原數絕對值小于1時，”是負數，表示時關鍵是要

正確確定。的值以及〃的值.

【詳解】解：數據0.00000005用科學記數法表示為5x10-8,

故選：D.

2.北京時間2024年1月11日13時30分，我國太原衛星發射中心在山東海陽附近海域使用引力一號遙一

商業運載火箭，將搭載的云遙一號1820星3顆衛星順利送入預定軌道，飛行試驗任務獲得圓滿成功.若火

箭發射點火前5秒記為-5秒，則火箭發射點火后6秒記為（）

A.+6秒B.-6秒C.+1秒D.-1秒

【答案】A

【分析】本題主要考查了正負數的實際應用，正和負是一對具有相反意義的量，點火前用負數表示，那

么點火后用負數表示，據此求解即可.

【詳解】解；若火箭發射點火前5秒記為-5秒，則火箭發射點火后6秒記為+6秒，

故選：A.

3.若而有意義，則x能取的最小整數值是（）

A.0B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【分析】根據二次根式根號下被開方數是非負數時二次根式才有意義，進行解答即可.

【詳解】解：???二次根式根號下被開方數是非負數時二次根式才有意義,

x+3>0,

%>—3,

???尤能取的最小整數值是：x=—3.

故選：C.

【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式根號下被開方數是非負數時二次根式才有意

義是解題的關鍵.

4.下列運算結果正確的是()

A.2a2+a2=2a4B.(―<?-)3=—a6

C.2fl2-(-a3)=2a6D.3a2^-3a2=0

【答案】B

【分析】分別利用合并同類項、積的乘方、單項式乘單項式、同底數暴的除法運算法則化簡求出即可.

【詳解】解：A、2/+/=3/，故此選項錯誤，不符合題意；

B、(-a2)3=-a6,故此選項正確，符合題意；

C、2a2-(-a3)=-2a5,故此選項錯誤，不符合題意；

D、3"+34=1,故此選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了合并同類項、積的乘方、單項式乘單項式、同底數嘉的除法等知識，熟練掌握

相關運算法則是解題關鍵.

5.瓦楞紙箱具有較高抗壓強度及防震性能，能夠抵擋搬運過程中的碰撞、沖擊和摔跌，在商業包裝中有著

舉足輕重的作用.如圖所示，是一件正六棱柱瓦楞紙箱，則該幾何體的主視圖是()

正面

【答案】B

【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖，根據從正面看得到的圖形是主視圖求解即可.

【詳解】解：從正面看，可得如下圖形：

6.C6G的發現使人類了解到一個全新的碳世界.如圖是Ce。的分子結構圖，包括20個正六邊形和12個正五

邊形，其中正五邊形的一個內角的大小是（）

A.108°B.90°C.72°D.120°

【答案】A

【分析】先求出正五邊形的內角和，再根據正五邊形的每個內角都相等求解即可.

【詳解】解：：正五邊形的內角和為：（"-2）義180。=（5-2）><180。=540。，

每一內角的度數為：540+5=108。.

故選：A.

【點睛】本題考查正多邊形內角的計算，熟練掌握多邊形的內角和計算公式及正多邊形關于內角的性質

是解題的關鍵.

7.如圖，在VABC中，ZC=90°,5P平分/ABC交AC于點P,于點E,若BC=8,AC=6,

則的周長為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】本題主要考查了角平分線的性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理.由NC=90。，BC=8,

AC=6,可得到AB=10,由3尸平分,ABC,可得到PC=PE,進而得到△PBE絲△尸3C,則可得

BE=BC=8,AE—2,進而可得。=AE+AC,即可得解.

【詳解】解：:VABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,

AB=4BC2+AC-=,8?+6?=10，

平分/ABC,NC=90。，PELAB,

：.PE=PC,NPEB=NC=90°,

又?：PB=PB,

:.APBE%/BC(HL),

:.BE=BC=8,

.-.AE=AB-BE=W-8=2,

:.C^AEP=AE+AP+PE=AE+AP+PC=AE+AC=2+6=8.

故選：c.

8.下圖是甲、乙兩同學五次數學測試成績的折線圖，比較甲、乙的成績，下列說法正確的是（)

A.甲平均分高,成績穩定B.甲平均分高,成績不穩定

C.乙平均分高，成績穩定D.乙平均分高，成績不穩定

【答案】D

_100+85+90+80+95?—85+90+80+85+80

【詳解】解:x乙=-------------------=90,躥=------------------------------=84

2

$2乙=g](100-90戶+(85-goy+(80_90)2+(95_90)]=50

S%="85-84『+(9。-8釬+(8。-8心(8。-84)*85-84414

，乙的平均數較高;乙的離散程度較高，不穩定，甲的離散程度較低，比較穩定;

故選:D.

9.把"一2°+1分解因式，正確的是（

A.a(a-2)+1B.(a+l)~C.(a+l)(a-1)D.(a—1)

【答案】D

【分析】直接利用完全平方公式分解因式，即可得出答案.

【詳解】解：a~-2。+1=(a-1),

故選：D.

【點睛】本題考查了公式法分解因式，正確運用完全平方公式是解題關鍵.

10.某次復習課上，老師在黑板上寫了一串單項式，請你觀察規律：a,42a2,耳3,國4,氐5,…，

猜想老師寫出的第〃個單項式為()

A.4nB.dri-la"-'C.yfna"D.sfna"~l

【答案】C

【分析】本題考查了單項式規律探索，根據給出的式子得出規律即可，正確得出規律是解此題的關鍵.

【詳解】解：；4=缶1,缶2,島3,瓜5,

第〃個單項式為瘋”，

故選：C.

11.習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣.”為響應全民

閱讀號召，某校利用節假日面向社會開放學校圖書館.據統計，第一周進館200人次，進館人次逐周增加，

第三周進館242人次，若每周進館人次的平均增長率相同.設每周進館人次的平均增長率為x,根據題意,

可列方程()

A.242(1+尤y=200B.200(1-%)2=242

C.200+200(l+x)+200(l+x)2=242D.200(1+x)2=242

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程與增長率的運用，根據題目中的數量關系，列式即可求解，掌握一元

二次方程是解題的關鍵.

【詳解】解：第一周進館200人次，第三周進館242人次，每周進館人次的平均增長率為x,

200(1+%)2=242,

故選：D.

12.剪紙文化是我國最古老的民間藝術之一.下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

A.

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，進行判

斷即可.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意;

B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意;

C、不是中心對稱圖形，不符合題意;

D、不是軸對稱圖形，不符合題意;

故選B.

554

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，余弦的定義；由勾股定理求出AB=JAC2+BC2，再由余弦的定義得

a的鄰邊

cosZABC=----,即可求解；理解“cosa”是解題的關鍵.

AB斜邊

【詳解】解：由題意得

AB=>JAC2+BC2

=5,

4

cosZABC=—

AB5

故選：C.

14.如圖，5。是。。的直徑，弦AC交5。于點G.連接0C,若NCOD=126。，AB=AD^則NAG5的度

數為（）

B

A.108°B.103°C.98°D.139°

【答案】A

【分析】根據圓周角定理得到NA4D=90°,ZDAC=1/COD=63°,結合AB=AD^得到4=NO=45°,

最后根據三角形的外角計算NAG5的度數.

【詳解】解：?「BD是。。的直徑，

JZBAD=90°,

AB=AD^

：.ZB=ZD=45°9

9：NCOD=126。,

：.ZDAC=-NCOD=-x126°=63°,

22

ZAGB=ZDAC+ZD=63°+45°=108°.

故選：A.

【點睛】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半；推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，90。圓周角所對的弦是直徑，熟練掌握相關

知識點是解題的關鍵.

15.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺，圓臺也可以看作以直角梯

形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體.直角梯形上、下底旋

轉所成的圓面稱為圓臺的上、下底面，另一腰旋轉所成的曲面稱為圓臺的側面，側面上各個位置的直角梯

形的腰稱為圓臺的母線，圓臺的軸上的梯形的腰的長度叫做圓臺的高.生活中，圓臺的運用很廣泛，如燈

罩、茶幾等.現有一圓臺體的燈罩，經過測量，圓臺的母線A3長為12c〃z,小圓半徑。2長為4cm,大圓

半徑02A長為8%現需給燈罩側面敷上一層紙，這張紙的面積至少是（圓臺的側面展開面積=同圓心角

的大扇形面積-小扇形面積）（）

A.3671cm2B.7271cm2C.1447icm2D.2887icm2

【答案】C

【分析】根據圓錐的側面積：S側=3?2?！?=兀1*1,圓臺的側面展開面積=同圓心角的大扇形面積-小扇

形面積即可.

【詳解】根據題意可知：

O1B〃02A

/.AOBOX=ZOAO2,/OO[B=ZOO2A

:./\OBO^AOAO2

?BO]OB

VAB=12,BO1=4,AO2=8,

JOA=OB+AB=OB+12

.4_OB

9,8~OB+12

.'.OB=12

設AO2=rl,BOl=r2,OA=11=24,OB=12=12

根據圓錐的側面積公式可知：

S大側-S小側=70*111-兀r212=7ix8x24-KX4X12=1447I(cm2)

故選：C.

【點睛】本題考查了圓錐側面積、相似三角形、分式方程的知識；求解的關鍵是熟練掌握圓錐側面積、

相似三角形、分式方程的性質，從而完成求解.

第n卷

二、填空題(本大題共4個小題，每小題2分，共8分)

16.當*=時，函數y=3『T2的值為零.

x-2

【答案】-2

【詳解】試題分析：般=變=^=0,易知x-2和,3x2-12=0.

焉一統

解得x=-2或x=2(舍去)

考點：函數的意義

點評：本題難度較低，主要考查學生對實數及分式意義知識點的掌握.

17.關于X的方程2X2-3X+C=O有兩個不相等的實數根，則C的取值范圍是.

9

【答案】

O

【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出關于C的一元一次不等式，解之即可得出結論.

【詳解】：關于X的方程2x2-3x+c=0有兩個不相等的實數根，...△=(-3)2-4x2c=9-8c>0,解得:

」9

cV-.

8

故答案為c<59.

O

【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當A>0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵.

18.如圖，。，E分別是VABC的邊AB,AC的中點，若VADE的面積為15,則VABC的面積等于.

【答案】60

【分析】根據三角形中位線定理得到DE〃:BC,DE=|BC,證明AADES^ABC,根據相似三角形的

性質計算，得到答案.

【詳解】解：：D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點，

ABC的中位線，

，DE〃BC,DE=；BC,

.,.△ADE^AABC,

.S^ADEzDE1

..T--=(---)2=-,

ABCBC4

VAADE的面積為15,

.二△ABC的面積為60,

故答案為：60.

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相

似比的平方是解題的關鍵.

19.某校開展“我最喜愛的一項體育運動”調查，每名學生必選且只能選一項，現隨機抽查了機名學生，并

將結果繪制成如圖所示的不完整的條形圖和扇形圖，在抽查的機名學生中喜歡足球運動的有人,喜

【分析】本題考查了條形統計圖和扇形統計圖，找出統計圖之間的聯系是解題關鍵.先根據喜歡排球運

動的人數和所占百分比求出總人數，再分別求解即可.

【詳解】解：總人數為21+14%=150（人），

喜歡足球的人數為150x20%=30,

喜歡籃球的對應的扇形圓心角的度數為360。、林=36。，

故答案為30,36.

三、解答題（本大題共8個小題，共62分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

20.（7分）計算：產-卜-5）°+|6-2|+45皿60。.

【答案】2+73

【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

【詳解】解：r2-（^-77）°+|^-2|+4sin60°

=l-l+2-^+4x—

2

=1-1+2-73+273

=2+^/5-

【點睛】本題考查了實數的運算，零指數塞，負整數指數塞，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計

算是解題的關鍵.

21.(6分)如圖所示，點￡在丫45(^外部，點。在8(7邊上.DE交AC于尸，若N1=N2,NE=NC,AE=AC,

求證：AABC^AADE.

【答案】見解析

【分析】由題意可得出NBAC=NZME,再利用ASA即可證明A4BC之△ADE.

【詳解】證明：=

,Zl+NDAC=Z2+ADAC,即ABAC=Z.DAE.

ABAC=NDAE

在VABC和VADE中，＜AC=AE,

ZC=ZE

：.AABC絲△ADE(ASA).

【點睛】本題考查三角形全等的判定.掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵.

22.(7分)2024年10月26日，中甲聯賽第29輪，云南玉昆隊坐鎮玉溪高原體育運動中心迎戰大連英博

隊.本場比賽是本賽季云南玉昆隊的主場收官之戰，也是中甲聯賽前兩名球隊之間的較量，受到廣大球迷

高度關注，吸引了19981人到現場觀賽.最終，玉昆隊以2:0的比分戰勝大連英博隊，捍衛了“高體”主場不

敗的記錄.某單位組織員工從A地到2地的玉溪高原體育運動中心觀看比賽，已知A地到B地的路程為60

千米,乘坐C型車比乘坐D型車少用20分鐘，C型車的平均速度是D型車的1.5倍，求O型車的平均速度.

【答案】。型車的平均速度為60千米/小時.

【分析】本題考查分式方程的應用，設。型車的平均速度為x千米/小時，則C型車的平均速度是L5x千

米/小時，根據“乘坐C型車比乘坐。型車少用20分鐘，”建立方程求解，并檢驗，即可解題.

【詳解】解：設。型車的平均速度為x千米/小時，則C型車的平均速度是L5x千米/小時，

606020

根據題意可得,

x1.5x60

解得x=60,

經檢驗x=60是該方程的解，

答：。型車的平均速度為60千米/小時.

23.(6分)杜甫是唐代偉大的現實主義詩人，被后人譽為“詩圣”.《絕句》是杜甫住在成都浣花溪草堂時寫

的，描寫了草堂周圍明媚秀麗的春天景色.如圖，將這四句古詩分別寫在編號為A,B,C,。的4張卡片

上，卡片除編號和內容外，其余完全相同，將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，小莉和小芳玩抽詩句的游

戲.

A兩個黃鵬鳴翠柳，B一行白鷺上青天.

C窗含西嶺千秋雪，。門泊東吳萬里船.

(1)小莉從中抽取一張卡片，恰好抽到的是這首詩的首句的概率為.

(2)小莉先抽一張卡片，接著小芳從剩下的卡片中抽一張，用畫樹狀圖法或列表法求兩人所抽卡片上的詩句

恰好成聯(注：A與8為一聯，C與。為一聯)的概率.

【答案】⑴:

(2)-

3

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率的知識.此題比較簡單，注意列表法與樹狀圖法可以不重

復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的

事件；掌握概率=所求情況數與總情況數之比是解題的關鍵.

(1)直接根據概率公式求解即可；

(2)列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可.

【詳解】(1)小莉從中抽取一張卡片，恰好抽到的是這首詩的首句的概率為

故答案為：(；

(2)用列表法列舉所有可能的結果：

小芳

ABCD

小莉

AA、BA、CA、D

BB、AB、CB、D

CC、AC、BC、D

DD、AD、BD、C

共有12種等可能的結果，其中抽到A、B（B、A）或C、D（D、C）的情況有4種，

41

兩人所抽卡片上的詩句恰好成聯的概率為三=4.

123

24.（8分）如圖，在VABC中，=點。是3C的中點，連接AD,點￡是AD的中點，延長3E至

點F,使EF=BE,連接AT、CF,8尸與AC交于點G,連接DG.

（1）求證：四邊形ADC/是矩形;

(2)若AC=3,tanZABC=V2,求DG的長.

【答案】（1）見解析

⑵6

【分析X1）證明△出絲△DEB（SAS），推出AF〃DB,由等腰三角形的性質推出DB=DC,ADLBC,

證明四邊形ADCV是平行四邊形，據此即可得出結論；

（2）由等腰三角形的性質以及tan/ABC=7^，推出AD=0CD,由勾股定理推出CD?+AD?=AC?=9,

求得BC=2y[3,再根據直角三角形斜邊中線的性質即可求解.

【詳解】（1）證明：：點E是AD中點，

AE=DE,

AE=DE

在△AEF'和&DEB中，＜/AEF=NDEB,

EF=EB

：.AAEFHDEB(SAS),

：.AF=DB,ZAFE=ZDBE,

：.AF//DB,

???AB=AC,點D是BC中點，

：.DB=DC,ADIBC,

：.AF=DC,NADC=90。，

???四邊形ADCF是平行四邊形，

,/ZADC=9Q°,

???平行四邊形ADC尸是矩形；

(2)解：???A8=AC,點D是中點，

:?DB=DC,AD1BC,tanZABC=tanZACB=72,

4f)_

—=V2,即A￡)=忘CD，

VCD2+AD2=AC2=9,即C￡P+2Cr>2=9,

CD=y/3,BC=2CD=2退，

VAC±BF,即NBGC=90。，且點D是BC中點，

DG==BC=6.

2

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，矩形的判定，解答本

題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

25.(8分)“建盞”作為一種茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一張名片.“建盞”的焙燒方法目前有兩種：“柴

燒”和“電燒”，制坯的原料是用當地的紅土和白土.已知某種同樣規格的建盞，一個柴燒的坯體原料紅土需

要90克，白土需要60克，一個電燒的坯體原料紅土需要75克，白土需要75克.在不考慮破損的情況下，

某生產車間在一次生產中恰好用了紅土1530克，白土1170克.

(1)在這次生產中，“柴燒”和“電燒”建盞各生產多少個？

(2)該車間計劃購買禮盒，現有兩種禮盒可供選擇，A禮盒可裝2個建盞，2禮盒可裝6個建盞，若要把本次

生產的建盞恰好全部裝完，且禮盒裝滿，有幾種購買方案？請說明理由.

【答案】(1)“柴燒”建盞生產12個，“電燒”建盞生產6個

(2)有四種購買方案，見解析

【分析】(1)設這次生產喋燒”建盞x個，“電燒”建盞y個，根據“一個柴燒的坯體原料紅土需要90克，

白土需要60克，一個電燒的坯體原料紅土需要75克，白土需要75克.”再建立方程組解題即可；

(2)設A禮盒購買m個，B禮盒購買n個，根據題意，得2機+6〃=18,再利用方程的正整數解可得

答案.

【詳解】(1)解：設這次生產“柴燒”建盞x個，“電燒”建盞y個，根據題意，得

j90x+75y=1530

[60x+75y=1170

"12

解這個方程組得：<，

[y=6

答：“柴燒”建盞生產12個，“電燒”建盞生產6個.

(2)由(1)可知共生產18個建盞，設A禮盒購買m個，B禮盒購買n個，

根據題意，得2m+6n=18,

化簡得m+3n-9,

所以m-9-3n,

因為m,n均為非負整數，

所以9-3n>0,

所以?<3,且n為非負整數，

所以當〃=3時，7〃=0：

當，=2時，m=3,

當〃=1時,m=6,

當〃=0時,m=9,

所以共有四種購買方案.

【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，二元一次方程的正整數解問題，理解題意，確定相等關

系建立方程或方程組是解本題的關鍵.

13

26.(8分)如圖，已知二次函數>=尤2+/尤+2圖象與無軸交于A,C兩點，與y軸交于點艮

(1)連結8(7,求直線的解析式；

(2)點尸為該二次函數圖象在第一象限上一點，當ABCP的面積最大時，求尸點的坐標及ABCP面積的最大

值.

【答案】(l)y=—+2

(2)A3CP面積的最大值為2,此時尸(1,3)

【分析】(1)求出B,C兩點坐標，利用待定系數法求解；

131

(2)過尸點作PQ〃'軸交2c于點。，設尸億-5?+學+2),則。-t+2),然后構建二次函數，利

用二次函數的性質求解.

13

【詳角牽】(1)解：?.,對于y=—萬％2+萬工+2,

令％=0,可得y=2,

..5(0,2),

13

令y=0,可得一一無？+—尤+2=0,

22

解得x=-l或4,

.'.A(-l,0),C(4,0),

設直線BC的解析式為y=履+2,

4左+2=0,

解得左=

，直線BC的解析式為y=-；x+2；

(2)解：過尸點作PQ〃，軸交BC于點。，

131

設尸。,一耳」+］，+2),則Q(，,-—t+2),

13