2025年中考第一次模擬考試

數學?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.卜5|的相反數是（）

A.—5B.5C.—D.—

55

1.A

【分析】本題考查的是絕對值和相反數的概念.根據絕對值、相反數的定義即可得出答案.

【詳解】解：根據絕對值的定義，

.■-1-51=5,

根據相反數的定義，

.?.5的相反數是-5.

故選：A.

2.如圖，直線AB,CD被直線C￡所截，ZC=50°,則N1的度數為（）

A.150°B.130°C.50°D.40°

2.B

【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得出答案.

【詳解】解：???AB〃CD,

AZBEC+ZC=180°,

??.Z1=ZBEC=180°-ZC=180°-50°=130°.

故選：B.

3.下列立體圖形中，可能被一個平面截出的截面是長方形的是（）

3.D

【分析】本題考查的是幾何體截面的形狀，截面的形狀既與被截幾何體有關，還與截面的角度和方向有關.認

真觀察圖中的截面是解題的關鍵.根據幾何體截面的概念求解即可.

【詳解】解：由題意可得，可能被一個平面截出的截面是長方形的是圓柱體,

故選：D.

2%+5>3

4.不等式組3x+2>4x的解集在數軸上表示正確的是（）

A.]>B.___________________i

-12-12

4.D

【分析】此題考查了解一元一次不等式組，利用數軸表示不等式組的解集，正確掌握一元一次不等式的解

法是解題的關鍵

【詳解】解：解不等式2x+5?3,得xN-1,

解不等式3x+2>4x,得x<2,

將解集表示在數軸上為：_____________________I

-12

故選：D

5.如圖，CD,CE,CR分別是VABC的高、角平分線、中線，則下列各式中母送的是（）

A

A.AB=2BFB.ZACE=-ZACB

2

C.AE=BED.CDLAB

5.C

【分析】本題考查三角形的三線，根據高線，中線，角平分線的定義，進行判斷即可.

【詳解】解：CE,CT分別是VABC的高、角平分線、中線，

:.AB=2BF,ZACE=-ZACB,CDLAB,

2

故選項A,B,D正確，選項C錯誤；

故選C.

6.如圖，在VABC中，分別以點2,C為圓心，大于［BC的長為半徑畫弧，兩弧交于點。，E,且點。恰

好在AC邊上，直線3E與BC交于點E連接BE>,8E,CE.若CD=2,ZAC3=30°,則四邊形BECZ）的面積

為（）

A.上B.2下>C.4D.8

6.A

【分析】此題考查了菱形的判定和性質、含30。角的直角三角形、勾股定理等知識.由作圖可得到DELBC,

四邊形BECD是菱形,則BC=2CF,DE=2DF,再由含30。角的直角三角形和勾股定理求出AF=1,CF=6，

即可得到BC=2瓜DE=2,即可得到四邊形BECD的面積.

【詳解】解：由題意可知，DE垂直平分BC,BD=CD=BE=CE,

：.DELBC,四邊形BECD是菱形，

BC=2CF,DE=2DF,

CD=2,NACB=30。，

/.DF^-CD=1,

2

CF=yJCD2-DF2=A/3

?.BC=2CF=2?DE=2DF=2,

四邊形BECD的面積為gBCDE=26,

2

故選：A

7.直線4：y=x-2與直線小、=丘+。（k,6為常數，左WO）關于坐標原點中心對稱，若在直線4

上，則機的值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.C

【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點，坐標系中點的對稱，熟練

掌握知識點是解題的關鍵.

先求得直線k與坐標軸的交點為（0,-2）和（2,0）,則其對稱點（0,2）和（-2,0）在直線12,再用待定系數法求直

線4的表達式，把（1，加）代入即可求解.

【詳解】解：當尤=0,貝Uy=-2,

直線4與y軸交于點（0,-2）,

當y=0時，x-2=0,解得x=2,

.?.直線乙與x軸交于點（2,0）,

:直線4：?=尤-2與直線4：y=Ax+人（k,b為常數，發片0）關于坐標原點中心對稱，

可得（0,-2）和（2,0）關于原點對稱的點（0,2）和（-2,0）在直線4上，

將（0,2）和（—2,0）代入y=H+6

f—2左+0=0

得：k9,

直線4的表達式為y=%+2,

,/(1,9)在直線4上，

.,.有7找=1+2=3,

故選：C.

8.拋物線>=加+阮上部分點的坐標如下表，下列說法錯誤的是(

X-3-2-101

y-3-2-3-6-11

A.對稱軸是直線x=—2B.當x=T時，y=-H

C.當x>-2時，y隨X的增大而減小D.拋物線開口向下

8.B

【分析】本題考查了二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，根據二次函數的性質和表格中的數

據，可以判斷各個選項中的結論是否成立，得出答案，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵.

【詳解】解：A、由表格中點(-3,-3),(-1,-3),可知對稱軸是直線x=-2,故此選項不符合題意；

B、根據對稱軸是直線x=-2,圖象過點則根據二次函數的對稱性得當彳=-5時，y=-U,故此

選項符合題意；

c、由表格數據可得，當x>-2時，y隨x的增大而減小，故此選項不符合題意；

D、根據對稱軸是直線*=-2,當％>-2時，>隨x的增大而減小，得出拋物線開口向下，故此選項不符合

題意；

故選：B.

第n卷

二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分)

9.分解因式：a2-16a=—.

9.a(a-16)

【分析】本題考查了提公因式法進行因式分解.直接提取公因式。，即可作答.

【詳解】解：?.?。2—164=。(0-16),

故答案為：a(a-16).

10.如圖，48是0。的直徑，圓上的點D與點C,E分布在直線A3的兩側，NAED=40°,則N3CD=

￡C

D

10.500/50度

【分析】本題考查了圓周角定理.根據圓周角定理可求NACD的度數，然后根據直徑所對的圓周角是直角

得出ZACB=90°求解即可.

ZAED=4O°,

：.ZACD=4O°,

：A3是。。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZBCD=90°-ZACD=50°,

故答案為：50°.

11.幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”當中，根據幻方的相等關系設計出來一個“幻圓”，即

大圓.小圓.橫線.豎線上的四個數字加起來的和均相等.如圖給出了部分數字，則幻圓中6的值為.

11.5

【分析】如圖所示，設小圓空白處為龍，根據題意列出等式，進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設小圓空白處為X,

依意，a+x—3—l=Z?+x—3+4,

a—b=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了列代數式，代數式求值，等式的性質，理解題意是解題的關鍵.

k

12.反比例函數y=Y（左/-3）的圖象經過4（%,%）、網和為）兩點，當無2<。<不時，%>/，則上的取

值范圍是.

12.k<-3

【分析】本題考查了反比例函數的圖象上的點的特征，熟知反比例函數的性質是解題的關鍵.

先根據已知條件判斷出函數圖象所在的象限，再根據系數k與函數圖象的關系解答即可.

【詳解】解：：反比例函數y=Y伏W-3）的圖象經過A（玉,%）、3（孫羽）兩點,當無2<0<不時，%>%,

.??此反比例函數的圖象在二、四象限，

**.k<—3.

故答案為：k<-3.

13.如圖，在菱形ABC。中，ZB=60°,AB=4,0為菱形ABC。的對稱中心，過點0的直線EF交AD于

點、E,交BC于點凡V為C。上的一點，連接。若CM+CF=5,則四邊形OEDW的面積為.

3后

13----------

2

【分析】本題考查菱形的性質、中心對稱性以及解直角三角形的知識點，解題的關鍵是利用菱形的中心對

稱性將四邊形的面積進行轉化.

通過連接相關線段，利用菱形中心對稱性得到一些等量關系.過點作垂線，構造出可以計算面積的三角形.因

為菱形具有中心對稱性，所以將四邊形的面積轉化為幾個易求面積的三角形面積之和或差.利用已知條件

和所作輔助線，結合三角形面積公式（底X高+2）來計算相關三角形面積，進而得出四邊形的面積.

【詳解】如圖，由菱形的中心對稱性可知族=DE,

DE+DM=BF+DM=2CB-（CF+CM）=3

連接AC,

VOA=OC=2,過點。作O〃_LAD于點H,

作OG_LCD于點G,

vZOAH=ZOCG=60°

OH=OG=OA-sin60°=,

連接O。，

則6四邊形OEDM=S^OED+SAOMD=5DE-OH+—DM-OG

=-OH-（DE+DM）=-x-j3x3=—

222

三、解答題（本大題共13個小題，共81分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

0

14.（5分）計算：4-1+卜2卜1

2

14.

4

【分析】本題考查了實數的運算，熟練掌握負整數指數嘉，絕對值，零指數幕是解題的關鍵.

分別計算負整數指數幕，絕對值，零指數幕，再進行加減運算即可.

【詳解】解：原式=J+2-1

4

_5

~4,

15.(5分)先化簡，再求值：(x-2y)2-(x-y)(y+x)-2y2,其中x=2,>=T.

15.3y2—4孫，11

【分析】先算括號內的乘法，再合并同類項，最后代入求出即可.

【詳解】解：(％-2>)2-(％->)(〉+%)-2丫2

2222

=x+4y2-4xy-%+y-2y

=3y2-4xy,

當x=2,y=一］時，原式=3x(-l)2_4x2x(-l)=n.

【點睛】本題考查了整式的混合運算和求值，能正確根據整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵.

16.(5分)解方程：x三+2-告5=1.

x-3x-9

16.x=—2

【分析】本題考查了解分式方程.分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢

驗即可得到分式方程的解.

r+25

【詳解】解：二一』二1

(%+3)(%+2)-5=/—9,

x2+5x+6—5=d—9,

5%=-10

x=-2,

檢驗：當x=-2時，尤2-9/0,

二原分式方程的解為x=-2.

17.(5分)如圖，在DABCD中，/B=30。，ACLBC.請用尺規作圖法在邊上求作一點E,使CE=DE.(

保留作圖痕跡，不寫作法)

17.見解析

【分析】根據題意，作出CD的垂直平分線(或作出NACD的角平分線)，交AD于點E,即可求解.

【詳解】解法一：如圖所示，作8的垂直平分線，交AD于點E,則點E,即為所求；

解法二：如圖所示，作Z4CD的角平分線，交AD于點E,則點E,即為所求;

?.?四邊形9CD是平行四邊形，

AB//CD,AD//BC,

/B+ZBCD=180°,ZD+/BCD=180°,

ZD=ZB=30°,

---ACLBC.AB//CD,

NACD=NR4c=60。，

,/CE1平分ZAC￡>,

NECD=ND=30°,

：.EC=ED.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，作角平分線，作垂直平分線，平行四邊形的性質，熟練掌握基本

作圖是解題的關鍵.

18.（5分）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與3。交于點。，BEVAC,CFA.BD,垂足分別為E、F.求

證：OE=OF.

18.證明見解析.

【分析】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的性質和判定，掌握矩形的對角線互相平分且相等是解

決問題的關鍵.

根據矩形的性質求出。8=0C,根據AAS推出Z\BEgACFO即可證得結論.

【詳解】證明：???四邊形A3。是矩形，

:.AC=BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

OB=OC,

?：BELAC,CF±BD,

ZBEO=ZCFO=90°f

在△BE。和△CR9中，

ZBOE=ZCOF

<ZBEO=ZCFO,

OB=OC

ABEO^ACFO（AAS）,

：.OE=OF.

19.（5分）某校為豐富學生的課余生活，強化學生的校園安全意識，準備舉辦一次趣味知識競答活動，計

劃購買兩種獎品獎勵答題優秀同學.已知A種獎品比5種獎品每件貴12元，且購買A種獎品15件，B

種獎品10件，共需資金280元.求A種獎品每件需要多少元.

19.A種獎品每件需要16元

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.設A種

獎品每件需要X元，則8種獎品每件需要（X-12）元，列出方程求解即可.

【詳解】解：設A種獎品每件需要無元，則B種獎品每件需要（》-12）元.

根據題意，得15x+10（x—12）=280,

解得x=16.

答：A種獎品每件需要16元.

20.（5分）化學實驗課上，王老師帶來了Mg（鎂）、AI（鋁）、（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這四種金

屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應來制取氫氣.（根據金屬活動

順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫氣，而C"不能置換出氫氣）

（1）小明從四種金屬中隨機選一種，則選到Mg（鎂）的概率為；

(2)小明和小紅分別從四種金屬中隨機選一種金屬分別進行實驗，請用列表或畫樹狀圖的方法，求二人所選

金屬均能置換出氫氣的概率.

20.⑴;

⑵2

16

【分析】本題考查的是根據概率公式求概率，用列表法求概率.

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)根據列表法求概率即可求解.

【詳解】(1)由題意得，選到圖的概率為:

故答案為：;

4

(2)列表如下：

MgAlZnCu

Mg(Mg,Mg)(Mg,Al)(Mg,Zn)(Mg,Cu)

Al(Al,Mg)(Al,Al)(Al,Zn)(Al,Cu)

Zn(Zn,Mg)(Zn,Al)(Zn,Zn)(Zn,Cu)

Cu(Cu,Mg)(Cu,Al)(Cu,Zn)(Cu,Cu)

由表格知共有16種等可能的結果，其中二人所選金屬均能置換出氫氣的結果有：(Mg,Mg),(Mg,A1),

(Mg,Zn),(Al,Mg),(Al,Al),(Al,Zn),(Zn,Mg),(Zn,Al),(Zn,Zn),共9種，

9

二人所選金屬均能置換出氫氣的概率為3.

21.(6分)2025年春節期間，某市舉辦煙花表演，其中最美煙花當屬“驚艷天梯”.當煙花在空中點燃的那

一刻，一段段明亮的臺階依次向上顯現，在空中逐漸形成一幅美妙的“天梯”圖案，十分驚艷.如圖，某專業

團隊在水平地面DE上豎直架設測角儀，測量“天梯”的長度，在C處測得“天梯”最低點B的仰角

ZBCF=30°,最高點A的仰角NACF=76。，若DE=150m,A,B,F,E共線且垂直于地面，且與C,

。位于同一平面內.請你根據以上信息，計算出天梯48的長度.(結果精確至11m,參考數據：上一.73,

sin76°a0.97,cos76°q0.24,tan76°?4.01)

A

21.“天梯”A3的長度約為515m

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，由題意得，CF=Z)E=150m,在RIABB中，根

據三角函數的定義得到8尸=且。/，在RtAAC尸中，根據三角函數的定義得到

3

AF

tanZACF=tan76°=—?4.01,于是可得到結論.

CF

【詳解】解：由題意得，CF=Z)E=150m,

在RUBC尸中，ZBCF=30°,ZBFC=90°,

??tanNBCF=tan30°=，

CF3

解得BF=@CF,

3

A尸

在RtAACF中，tanZACF=tan76°=-----右4.01,

CF

解得AF=4.O1CF,

/.AB=AF-BF=4.01CF--CF?601.5-86.5=515m,

3

答：“天梯”"的長度約為515m.

22.(7分)某市采用分段收費標準的方式來鼓勵節約用水，居民每月應交水費M元)與用水量M噸)之間的

(1)月用水量超過5噸時，試求y與x的函數關系式;

(2)若某戶居民本月比上個月多用水2噸，而水費多5.5元，求該戶本月用水量多少噸？

22.⑴y=3.5%-7.5

(2)該戶居民本月用水量為6噸.

【分析】此題是一次函數的應用，關鍵是分析統計圖，得出兩個不同的直線表示的意義，再結合問題進行

解答.

(1)利用待定系數法即可求解；

(2)先判斷出上月用水量不超過5噸，本月用水量超過5噸.設本月的用水量為。噸，則上個月的用水量

為(〃-2)噸，根據題意列出方程，求解即可.

【詳解】(1)解：設月用水量超過5噸時，y與x的函數關系式為，=左+"％*0),

/、/、f5x+Z?=10

把5,10,8,20.5代入得

+〃=ZU.J

f左=3.5

解得7

［力=-7.5

y=3.5工一7.5；

(2)解：設月用水量不超過5噸時，y與x的函數關系式為'=如，

把(5,10)代入得10=5a,

解得a—2,

用水量不超過5噸時，y=2x,

若本月和上月用水量都不超過5噸，那么水費應該多4元，

若本月和上月用水量都超過5噸，那么水費應該多7元，

所以上月用水量不超過5噸，本月用水量超過5噸.

設本月的用水量為。噸，則上個月的用水量為(4-2)噸，

貝3.5a-7.5—2(a—2)=5.5,

解得a=6,

該戶居民本月用水量為6噸.

23.(7分)為保護學生視力，讓學生在學校專心學習，防止沉迷網絡和游戲，促進學生身心健康發展，2024

年2月1日教育部印發《關于加強中小學生手機管理工作的通知》，要求中小學生原則上不得將個人手機帶

入校園.某校為了解全校學生在此之前使用手機情況，隨機抽取了部分學生調查其一周使用手機的時間，

并用調查結果繪制了如下統計圖表，請根據統計圖表解答以下問題：

組人

使用時間f(小時)

別數

A0<r<2a

B2<r<420

C4<r<650

D6<r<810

E8<r<105

扇形統計圖

(1)?=,填出所抽取學生一周使用手機時間的中位數落在_____組；

(2)若以各組組中值(例如0W2的組中值為1小時)代表各組的實際數據，求出所抽取學生一周使用手機

時間的平均數及眾數；

(3)若該校共有1200名中學生，請你估計該校學生中一周使用手機的時間在6小時以上的有多少人？

23.(1)15；C

(2)平均數為4.4小時，眾數為5

(3)該校學生中一周使用手機的時間在6小時以上的有180人

【分析】本題考查頻數分布表、扇形統計圖，加權平均數、眾數、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明

確題意，利用數形結合的思想解答.

(1)根據C組的頻數和所占的百分比，可以計算出本次抽取的人數，然后即可計算出A組的頻數，再根據

頻數分布表中的數據，即可得到相應的眾數；

(2)根據頻數分布表中的數據，可以計算出這組數據的平均數，寫出相應的眾數；

(3)根據頻數分布表中的數據，可以計算出該校學生中一周使用手機的時間在6小時以上的有多少人.

【詳解】(1)解：這次調查的學生人數為50+50%=100(人)，

A組人數是：100-20-50-10-5=15(人)；

二。=15,

所抽取學生一周使用手機時間的中位數落在C組，

故答案為：15；C；

(2)解：平均數為a5xl+20x3+50x5+10x7+5x9)+100=4.4(小時)，眾數為5；

(3)解：(10+5)-100x100%=15%,1200xl5%=180(人)

答：該校學生中一周使用手機的時間在6小時以上的有180人

24.(8分)如圖，在RtaABC中，NABC=90。，點。在A3上，以。為圓心，02為半徑的。。切AC于

點。，過點A作AE，CO交C。的延長線于點E.

⑴求證：NCAE=NCOB.

3

(2)若BC=6,sin/A4C=w，求AE的長.

24.(1)見解析

(2)2小

【分析】本題是圓綜合題，考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數的定

義、三角形面積的計算等知識，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

(1)由切線的性質得出OD_LAC,再證得RSODC絲RtAOBC(HL),得出/OCO=/3CO,即可得出結論;

(2)由sinZBAC=2^=[,設OD=3x,則。4=5x,OB=3x,再由銳角三角函數定義求出AC=10,然后

由勾股定理求出43=8,進而得出x=l,求出OC=3A，最后由5摻℃=3。。乂￡=：4。。。,即可得出結

果.

【詳解】(1)切AC于點D,

:.OD±AC,

ZODA=ZODC=90°

在AODC和RtZXOBC中

\OD=OB

[oc=oc"

RtAODC=RtAOBC(HL)

:.ZDCO=ZBCO

-AE±CO,

.\ZAEC=90°,

.\ZDCO-bZCAE=90°

?.?NBCO+NCOB=900,

.\ZCAE=ZCOB

(2)在Rt^OZM中，sinZBAC=—,

OA5

設OD=3x,則OA=5x,OB=3x,

在中，

BC=6,sinABAC,

AC5

AC=-BC=10,

3

AB=y/AC2-BC2=V102-62=8

?「OA+OB=AB,

/.5x+3x=8,

解得X=l,

OD=3,OA=5,

在RtZkO3C中，

由勾股定理得oc=VOB2+BC2=732+62=36，

???A^_LCO,OD_LAC,

SZ-.iA/iOC/CC=2-OCAE=-2ACOD,，

ACOD10x3c[-

...AE=—尸=273,

OC3V5

即AE的長為2后

25.（8分）公路隧道是專供汽車運輸行駛的通道，隧道的修建在縮短運行距離、提高運輸能力、減少事故

等方面起到重要的作用.某隧道頂部橫截面可視為拋物線，如圖1.隧道底部寬A3為10m,高OC為5m.為

了避免司機在隧道內行車疲勞，交通技術部門擬在隧道頂部安裝上下長度為20c機的警示燈帶.普通貨車的

高度大約為2.5m(載貨后高度)，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cM.

圖1隧道實物圖

(1)在圖2中建立合適的平面直角坐標系，并求拋物線的解析式.

(2)在你建立的坐標系中，在安全的前提下，確定燈帶懸掛點的橫坐標的取值范圍.

25.(1)坐標系見解析；y=-1x2+5

(2)-3<x<3

【分析】本題主要考查了二次函數在實際問題中的應用，待定系數法求解析式，理清題中的數量關系、熟

練掌握待定系數法及二次函數的性質是解題的關鍵.

(1)以。為原點，A3所在直線為x軸，以oc所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，利用待定系

數法即可得解；

(2)先計算出懸掛點的縱坐標yN3.2,然后由縱坐標范圍即可確定橫坐標范圍.

【詳解】(1)解：以。為原點，所在直線為x軸，以OC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標

系，

頂點C的坐標為(0,5),設拋物線的解析式為:y=ax2+5.

拋物線過點A(-5,0),

25a+5=0,

解得：

???拋物線的解析式為y=-1.r2+5；

（2）解：，.?普通貨車的高度大約為2.5m（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm.

???懸掛點的縱坐標y>2.5+0.2+0.5=3.2,

即懸掛點的縱坐標的最小值是3.2.

當y=3.2時，一g尤2+5=3.2,

/.x=±3,

懸掛點的橫坐標的取值范圍是：-3<x<3.

26.（10分）問題探索：

（1）如圖1,在矩形A38中，點尸分別在邊AB、上，連接CE、，且CE止于點G,若——=2,

AD

問題解決：

⑵如圖2,小明家原有一塊四邊形菜地，其中AB〃CD,DA±AB,AD=20米，CD=10米，CB=IQ下

米，后經土地資源再分配調整為五邊形A