第一章導數及其應用1.3導數在研究函數中的應用第二課時（稅長江）一、教學目標1.核心素養通過學習導數在研究函數中的應用，提升運算求解、推理論證能力、體會豐富的數學思想.2.學習目標結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值，以及函數在給定區間上的最大值、最小值（其中多項式函數不超過三次）.（1）探索函數極值的定義和求法（2）運用極值，逆向思考求參數（3）極值和最值的關系，求函數的最值3.學習重點利用導數求函數的極大值、極小值，以及函數在給定區間上的最大值與最小值.4.學習難點函數在某點取得極值的必要條件與充分條件以及利用導數研究函數的綜合應用.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務 任務1 閱讀教材P26－P31，思考：極值的概念是什么？極值在圖象上有什么特征？極值與最值是什么關系？ 任務2 整理求函數極值的一般步驟任務3 思考：導數值為是函數在這點取極值的什么條件？2.預習自測1.設函數，則（）A.為的極大值點 B.為的極小值點C.為的極大值點 D.為的極小值點解：D2.函數f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點的個數為（）A.2B.1C.0D.由a確定解：C3.函數f(x)＝x＋2cosx在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的最小值是（）A.－eq\f(π,2)B.2C.eq\f(π,6)＋eq\r(3)D.eq\f(π,3)＋1解：A（二）課堂設計1.知識回顧（1）函數f(x)在點x0處的導數的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點處的切線的斜率.相應的，切線方程為.（2）利用導數求函數的單調區間的步驟是什么？1.確定函數的定義域；2.求，令，解此方程，求出它在定義域內的一切實根.3.把函數的間斷點（即的無定義的點）的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來然后用這些點把函數的定義域分成若干個小區間.4.確定在各小開區間內的符號，根據的正負判定函數在各個相應小區間的增減性.2.問題探究問題探究一極值與導數有什么關系？重點、難點知識★▲●活動一數形結合，探尋定義請運用導數研究的單調性，并作出其圖象.觀察圖象上和這兩個特殊的位置，思考它們具有什么特征？★▲若函數在處的函數值比它在附近其他點的函數值都小，我們就把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值；函數在處的函數值比它在附近其他點的函數值都大，我們就把叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值.極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值. 需要注意的是：極值點是函數取得極值時自變量的值，是一個實數，不是一個點.從導數的角度看，如果是極小值點，則，而且在附近的左側導數小于0，右側導數大于0；類似地，如果是極大值點，則，而且在點附近的左側導數大于0，右側導數小于0，極值點在導數上有明顯的特征，我們可以借助這一點來尋找函數的極值點.例1.函數的導函數的圖象如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點【知識點：極值的定義】詳解：A通過觀察，左側導數為正，右側為負，，所以為的極大值點.點撥：極值點在導數圖象上具體表現為“變號零點”，判斷極值點時一定要高度關注左右兩邊的符號.●活動二歸納總結，探尋方法例2.設，其中為正實數.（1）當時，求的極值點；（2）若為上的單調函數，求的取值范圍.【知識點：極值的定義和求法，二次不等式恒成立問題】詳解：（1）當時，，由得解得由得，由得，當x變化時與相應變化如下表：x+0-0+↗極大值↘極小值↗所以，是函數的極大值點，是函數的極小值點.（2）因為為上的單調函數，而為正實數，故為上的單調遞增函數，恒成立，即在上恒成立，因此，結合解得.點撥：依據極值的概念可知：可導函數在點處取得極值的充要條件是，且在的左側與右側，的符號不同，所以需要對兩邊的符號加以說明，而列表是最清晰的表達方式.●活動三總結提升求函數極值的一般步驟是什么？（1）求函數的定義域；（2）求導函數，并求出在定義域內的全部實根；（3）判斷的每一個實根左、右兩側的導函數符號：=1\*GB3①如果在一個實根左側附近為正，右側附近為負，那么函數這個實根處取得極大值；=2\*GB3②如果在一個實根的左側為負，右側為正，那么函數在這個實根處取得極小值.問題探究二已知極值求參數.重點、難點知識★▲●活動一抓住特征，逆向思考例3.若函數f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________________.【知識點：函數在某點取得極值的條件】詳解：3，，回代檢驗，x＝1處導數兩端異號，所以在x＝1處取得極值，點撥：函數在極值點處的導數為，但導數值為的點不一定是函數的極值點.也就是說，函數在某點的導數值為是函數在這點取極值的必要而不充分條件，通過將求出的值作回代檢驗是必須的.例4.設x＝1與x＝2是函數f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點.（1）試確定常數a和b的值；（2）試判斷x＝1，x＝2是函數f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.【知識點：函數在某點取得極值的條件】詳解：（1）f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝a＋2b＋1＝0,f′2＝\f(a,2)＋4b＋1＝0)).解得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)，回代檢驗，符合要求，所以a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)，(2)f′(x)＝－eq\f(2,3x)＋(－eq\f(x,3))＋1＝－eq\f(x－1x－2,3x).函數定義域為(0，＋∞)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減∴x＝1是f(x)的極小值點，x＝2是f(x)的極大值點.點撥：答題時注意區分是“極值點”還是“極值”，極值意指函數值，極值點意指的值.問題探究三利用極值求最值重點、難點知識★▲●活動一結合圖象，辨清原理結合的圖象，試求其在上的最小值，你發現什么結論？1.函數在閉區間上的最值有什么結論？般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.此時，函數的最大值和最小值必在極值處或區間的端點處取得.2.求函數在上的最大值與最小值的步驟是什么？（1）求函數在區間內的極值；（2）將函數各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.例5.函數y＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是（）A.－eq\f(17,3)B.－eq\f(10,3)C.－4D.－eq\f(64,3)【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】詳解：A點撥：極值是一個局部概念，是比較極值點附近的函數值得出的，因此端點絕對不是極值點，但最值是一個整體概念，是比較某個區間內的所有函數值得出的；在函數的定義域內可以有許多個極大值和極小值，但若有最大值與最小值，則最大值與最小值具有唯一性；函數的極小值不一定小于極大值，但最大值一定比最小值大.例6.已知函數.（1）當時，求函數f(x)在上的最大、最小值；（2）當時，求證：時，.【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】解：（1）當時，，于是，令，可得：當時，；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，于是，又，，所以.（2）當時，設F(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnxeq\f(2,3)x3，則F′(x)＝x＋eq\f(1,x)－2x2.因為x＞1，所以F′(x)＜0.所以函數F(x)在區間(1，＋∞)上單調遞減，又F(1)＝eq\f(1,6)＜0，所以，在區間(1，＋∞)上F(x)＜0，即.點撥：若連續函數在開區間內只有唯一一個極值點，則這個極值點一定就是最值點.3.課堂總結【知識梳理】1.極值點和極值的概念：設函數在處的函數值比它在附近其他點的函數值都小，我們就把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值；函數在處的函數值比它在附近其他點的函數值都大，我們就把叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值.2.求函數極值的一般步驟：（1）求函數的定義域；（2）求導函數，并求出在定義域內的全部實根；（3）判斷的每一個實根左、右兩側的導函數符號：=1\*GB3①如果在一個實根左側附近為正，右側附近為負，那么函數這個實根處取得極大值；=2\*GB3②如果在一個實根的左側為負，右側為正，那么函數在這個實根處取得極小值3.求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在區間內的極值；（2）將函數各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【重難點突破】（1）可導函數在極值點處的導數為，但導數值為的點不一定是函數的極值點.也就是說，函數在某點的導數值為是函數在這點取極值的必要而不充分條件.（2）可導函數在點處取得極值的充要條件是，且在的左側與右側，的符號異號.因此，若函數在某個區間內有極值，則在這個區間內一定不是單調函數.也就是說在某個區間內的單調函數沒有極值.（2）在函數的定義域內可以有許多個極大值和極小值，但若有最大值與最小值，則最大值與最小值具有唯一性；函數的極小值不一定小于極大值，但最大值一定比最小值大.4.隨堂檢測1.函數的極大值為__________________.【知識點：利用導數研究函數的極值】解：2.當函數y＝x·2x取極小值時，x＝（）A.eq\f(1,ln2)B.－eq\f(1,ln2)C.－ln2D.ln2【知識點：利用導數研究函數的極值】解：B由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.3.若f(x)＝2x3－6x2＋m在[－2,2]上有最大值3，則f(x)在[－2,2]上的最小值為______________.【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】解：－374.已知f(x)＝2x3－6x2＋3，對任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，則a的取值范圍為________.【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值，恒成立問題】解：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2，又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3，答案：[3，＋∞)5.已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是()A.－13 B.－15C.10 D.15【知識點：函數在某點取得極值的條件】解：求導得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，∴當m∈[－1，1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1，∴當n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.（三）課后作業基礎型自主突破1.函數f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是（）A.0B.eq\f(1,e)C.eq\f(4,e4) D.eq\f(2,e2)【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】解：Bf′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝eq\f(4,e4)，f(1)＝e－1＝eq\f(1,e)，∴f(1)為最大值.2.已知f(x)＝eq\f(1,2)x2－cosx，x∈[－1,1]，則導函數f′(x)是（）A.僅有最小值的奇函數B.既有最大值，又有最小值的偶函數C.僅有最大值的偶函數D.既有最大值，又有最小值的奇函數【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】解：Df′(x)＝x＋sinx，顯然f′(x)是奇函數，令h(x)＝f′(x)，則h(x)＝x＋sinx，求導得h′(x)＝1＋cosx.當x∈[－1,1]時，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上單調遞增，有最大值和最小值.所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函數.3.函數f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍為（）A.0≤a<1 B.0<a<1C.－1<a<1 D.0<a<eq\f(1,2)【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】解：B∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為（）A.－1＜a＜2B.－3＜a＜0C.a＜－1或a＞2D.a＜－3或a＞6【知識點：函數在某點取得極值的條件】解：D5.若f(x)＝xsinx＋cosx，則f(3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，f(2)的大小關系為______________.【知識點：利用導數研究函數的單調性】解：6.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數)在[－2,2]上有最大值3，那么此函數在[－2，2]上的最小值為________.【知識點：利用導數求閉區間上函數的最值】解：－37能力型師生共研7.若函數f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內有極小值，則實數b的取值范圍是（）A.(0,1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.(0，eq\f(1,2))【知識點：函數在某點取得極值的條件】解：Df′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)內有極小值，∴在(0,1)內存在點x0，使得在(0，x0)內f′(x)<0，在(x0,1)內f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0,\r(2b)<1，))∴0<b<eq\f(1,2).8.設直線x＝t與函數f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點M，N，則當|MN|取到最小時t的值為________.【知識點：利用導數求函數的最值】解：eq\f(\r(2),2)當x＝t時，f(t)＝t2，g(t)＝lnt，∴y＝|MN|＝t2－lnt(t＞0).所以y′＝2t－eq\f(1,t)＝eq\f(2t2－1,t).當0＜t＜eq\f(\r(2),2)時，y′＜0；當t＞eq\f(\r(2),2)時，y′＞0.∴y＝|MN|＝t2－lnt在t＝eq\f(\r(2),2)時有最小值.9.設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A.B.C.D.【知識點：構造新函數，數學思想：數形結合】解：D∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴當x<0時，[f(x)g(x)]′>0，∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函數.又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.又∵f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，∴f(x)g(x)在R上是奇函數，其圖象關于原點對稱.∴x∈(－∞，－3)時，f(x)g(x)<0，當x>0且x∈(0,3)時，f(x)g(x)<0.10.設函數在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線.（1）求的值；（2）若函數，討論的單調性.【知識點：利用導數研究曲線上某點切線方程，函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性】解：（1）因，又在x=0處取得極限值，故從而.由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即.（2）由（1）知，，則，令=1\*GB3①當；=2\*GB3②當，故K=1時，g（x）在R上為增函數；=3\*GB3③方程有兩個不相等實根當函數當時，故上為減函數時，故上為增函數.探究型多維突破11.設函數f(x)＝ex－eq\f(k,2)x2－x.（1）若k＝0，求f(x)的最小值；（2）若k＝1，討論函數f(x)的單調性.【知識點：利用導數求函數的最值，利用導數研究函數的單調性】解：（1）k＝0時，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增.故f(x)的最小值為f(0)＝1.（2）若k＝1，則f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x，定義域為R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上單調遞增，由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上單調遞減.∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上單調遞增.12.設函數.（1）求的單調性；（2）若函數在上有兩個零點，求的取值范圍(其中e為自然對數的底數).【知識點：零點個數的判定，利用導數研究函數的單調性】解：（1）由題知：的定義域為，且令，得，解得：或（舍），于是.當時，；時，.所以的單調遞減區間為，的單調遞增區間為.（2）由于函數在上有兩個零點，故在上有兩個不同的根，由（1）知：在上單調遞減，上單調遞增，于是時，，又，當，且時，，故.即實數的取值范圍為.自助餐1.函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內有極小值點（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個【知識點：函數在某點取得極值的條件】解：A2.函數f(x)＝x3－3x2＋2在區間[－1,1]上的最大值是（）A.－2 B.0 C.2 D.4【知識點：利用導數求函數的最值】解：C3.已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于(1,0)，則極小值為（）A.0B.－eq\f(4,27)C.－eq\f(5,27)D.1【知識點：利用導數研究函數的極值】解：Af′(x)＝3x2－2px－q，由題知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝eq\f(1,3).經檢驗知x＝1是函數的極小值點.∴f(x)極小值＝f(1)＝0.4.設a∈R，若函數y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點，則（）A.a>－3B.a<－3C.a>－eq\f(1,3)D.a<－eq\f(1,3)【知識點：函數在某點取得極值的條件】解：By′＝aeax＋3，由條件知，方程aeax＋3＝0有大于零的實數根，∴0<－eq\f(3,a)<1，∴a<－3.5.已知a≤eq\f(1－x,x)＋lnx對任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，則a的最大值為（）A.0B.1C.2D.3【知識點：利用導數求函數的最值】解：A6.設函數y＝f(x)在(0，＋∞)內有定義，對于給定的正數K，定義函數，若函數，恒有，則（）A.K的最大值為eq\f(1,e)B.K的最小值為eq\f(1,e)C.K的最大值為2D.K的最小值為2【知識點：利用導數求函數的最值】解：B由f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，令f′(x)＝，得x＝1.當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，所以f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)在x＝1時取得最大值eq\f(1,e)，而f(x)≤K恒成立，所以eq\f(1,e)≤K，故K的最小值為eq\f(1,e)，選B.7.設函數f(x)＝x·(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝________________.【知識點：函數在某點取得極值的條件】解：68.函數f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則a的取值范圍為____________.【知識點：函數在某點取得極值的條件，根分布問題】解：f(x)的定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝2x＋eq\f(a,1＋x)＝eq\f(2x2＋2x＋a,1＋x)(x＞－1)，由題意知2x2＋2x＋a＝0在(－1，＋∞)上有兩個不等實根x1，x2且x1＜x2，令g(x)＝2x2＋2x＋a(x＞－1)，利用根的分布可解得9.已知函數f(x)＝x2＋eq\f(2,x)，g(x)＝(eq\f(1,2))x－m.若?x1∈[1,2]，?x2∈[－1,1]使f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是_____.【知識點：利用導數求函數的最值】解：[－eq\f(5,2)，＋∞)要使?x1∈[1,2]，?x2∈[－1,1]，使f(x1)≥g(x2)，只需f(x)＝x2＋eq\f(2,x)在[1,2]上的最小值大于等于g(x)＝(eq\f(1,2))x－m在[－1,1]上的最小值.10.設函數f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).（1）若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；（2）求函數f(x)的單調區間與極值點.【知識點：函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性】解：（1）由已知可得f′(x)＝3x2－3a.因為曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y所以，即，解得a＝4，b＝24.（2）f′(x)＝3(x2－a)(a≠0).當時，f′(x)0，故函數f(x)在上單調遞增，此時f(x)沒有極值點.當a>0時，由f′(x)＝0，得x＝±eq\r(a).當x∈(－∞，－eq\r(a))時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈(－eq\r(a)，eq\r(a))時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x∈(eq\r(a)，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增.此時x＝－eq\r(a)是f(x)的極大值點，x＝eq\r(a)是f(x)的極小值點.11