17/171.5.3定積分的概念（名師：朱俊）一、教學目標1．核心素養(yǎng)通過定積分的概念的學習，提升分析問題、解決問題的能力、抽象概括能力和邏輯思維能力.2．學習目標（1）借助幾何直觀體會定積分的基本思想；（2）初步了解定積分的概念.3．學習重點定積分的概念與定積分的幾何意義4．學習難點定積分的概念二、教學設計（一）課前設計1．預習任務任務:預習教材P45—P48,完成相應練習題2．預習自測1.設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0，,2xx<0，))則eq\i\in(－1,1,)f(x)dx等于（）A．eq\i\in(－1,1,)x2dxB．eq\i\in(－1,1,)2xdC．eq\i\in(－1,0,)x2dx＋eq\i\in(0,1,)2xdxD．eq\i\in(－1,0,)2xdx＋eq\i\in(0,1,)x2dx答案：D2.定積分(－3)dx等（）A．－6B．6C．－3D．3答案：A3.已知t>0，若eq\i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8，則t＝（）A．1B．－2C．－2或4D．4答案：D（二）課堂設計1．知識回顧求曲邊梯形面積的步驟①分割：把區(qū)間[a，b]等分成個小區(qū)間；②近似代替：對每個小曲邊梯形“以直代曲”，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值；③求和：計算出個小矩形的面積之和，即為曲邊梯形面積的近似值；④取極限：求（即為曲邊梯形的面積）2．問題探究問題探究一什么是定積分？學生活動：閱讀課本相應內容，找到定積分的定義，并概括出求定積分的基本步驟：如果函數在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數在區(qū)間上的定積分，記做.即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數叫做被積函數，叫做積分變量，叫做被積式.問題探究二定積分的幾何意義．重點、難點知識★學生活動：定積分的定義和我們上節(jié)課所講的曲邊梯形的面積的求法有沒有相同之處？你能說明定積分的幾何意義嗎？定積分的定義與曲邊梯形面積的求法本質是相同的.如果在區(qū)間上連續(xù)且恒有，則定積分的幾何意義是由與所圍成的曲邊梯形的面積.問題探究三定積分的性質重點、難點知識★▲學生活動：根據定積分的幾何意義，論證定積分的性質定積分的性質：（1）(k為常數)（2）；（3）（其中）.性質（1）（2）稱為定積分的線性性質，性質（3）稱為定積分對積分區(qū)間的可加性.例1．計算定積分詳解：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為.即：點撥：從定積分的幾何意義出發(fā)解題3．課堂總結【知識梳理】1.定積分的定義：如果函數在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數在區(qū)間上的定積分，記做.即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數叫做被積函數，叫做積分變量，叫做被積式2.定積分的幾何意義：如果在區(qū)間上連續(xù)且恒有，則定積分的幾何意義是由與所圍成的曲邊梯形的面積3.定積分的性質：（1）(k為常數)（2）；（3）（其中）.性質（1）（2）稱為定積分的線性性質，性質（3）稱為定積分對積分區(qū)間的可加性.【重難點突破】（1）計算定積分過程中的兩個常用結論=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（其中，為常數，）.（2）定積分的概念=1\*GB3①定積分就是和式的極限，即表示當時，和式所趨向的定值.=2\*GB3②在計算定積分的過程中，為了計算的方便，我們常常將定義中的取為第（）個小區(qū)間的左端點或右端點.=3\*GB3③定積分的值只取決于被積函數與積分上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關，即.（3）定積分的幾何意義=1\*GB3①當對應的曲線位于軸上方時，定積分的值為正值，且等于曲邊圖形的面積；當對應的曲線位于軸下方時，定積分的值為負值，且等于曲邊圖形面積的相反數；當對應的曲線軸上、下方都有時，定積分等于曲邊圖形面積的代數和，即等于軸上方曲邊圖形的面積減去軸下方曲邊圖形的面積.=2\*GB3②定積分有很多實際意義，如：變速運動路程；變力做功.（4）根據定積分的幾何意義，易得以下性質：=1\*GB3①在區(qū)間上，若，則；=2\*GB3②在區(qū)間上，若，則；=3\*GB3③.（5）定積分的性質的推廣=1\*GB3①；=2\*GB3②（其中）.4．隨堂檢測1．定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A．與y＝f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關，與ξi的取法無關B．與y＝f(x)有關，與積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法無關C．與y＝f(x)和ξi的取法有關，與積分區(qū)間[a，b]無關D．與y＝f(x)、積分區(qū)間[a，b]、ξi的取法均無關答案：A解析：【知識點：定積分】定積分的大小僅與被積函數和積分的上、下限有關．2．下列結論中成立的個數是()①eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f((i－1)3,n3)·eq\f(1,n)；③eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)A．0B．1C．2D．3答案：C解析：【知識點：定積分】積分是一個極限的形式，根據積分的定義可知②③正確．3．定積分eq\i\in(1,3,)(－3)dx等于()A．－6B．6C．－3D．3答案：A解析：【知識點：定積分】eq\i\in(1,3,)3dx表示圖中陰影部分的面積S＝3×2＝6，eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝eq\a\vs4\al(－\i\in(1,3,))3dx＝－6.4．已知函數f(x)＝sin5x＋1，根據函數的性質、積分的性質和積分的幾何意義，探求f(x)dx的值，結果是()A.eq\f(1,6)＋eq\f(π,2)B．πC．1D．0答案：B解析：【知識點：定積分】(sin5x＋1)dx＝sin5xdx＋1dx，∵y＝sin5x在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上是奇函數，∴sin5xdx＝0.而1dx＝＝π，故f(x)dx＝π，故選B.5．設a＝eq\i\in(0,1,)xeq\f(1,3)dx，b＝eq\i\in(0,1,)x2dx，c＝eq\i\in(0,1,)x3dx，則a，b，c的大小關系是()A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＝b＞cD．a＞c＞b答案：B.解析：【知識點：定積分】根據定積分的幾何意義，易知eq\i\in(0,1,)x3dx＜eq\i\in(0,1,)x2dx＜eq\i\in(0,1,)xeq\f(1,3)dx，即a＞b＞c，故選B.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．定積分eq\i\in(0,1,)(2＋eq\r(1－x2))dx＝________.答案：解析：【知識點：定積分】原式＝eq\i\in(0,1,)2dx＋eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx.∵eq\i\in(0,1,)2dx＝2，eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,4)，∴eq\i\in(0,1,)(2＋eq\r(1－x2))dx＝eq\f(π,4)＋2.2．直線x＝1，x＝－1，y＝0及曲線y＝x3＋sinx圍成的平面圖形的面積可用定積分表示為________．答案：S＝2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx.解析：【知識點：定積分】因y＝x3＋sinx為奇函數，故eq\i\in(,0,)－1(x3＋sinx)dx＝－eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx＜0，所以S＝2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx.3.若y＝f(x)的圖象如圖所示，定義F(x)＝eq\i\in(0,x,)f(t)dt，x∈[0,1]，則下列對F(x)的性質描述正確的有________．(1)F(x)是[0,1]上的增函數；(2)F′(1)＝0；(3)F(x)是[0,1]上的減函數；(4)?x0∈[0,1]使得F(1)＝f(x0)．答案：(1)，(2)，(4)解析：【知識點：定積分】由定積分的幾何意義可知，F(xiàn)(x)表示圖中陰影部分的面積，且F(1)＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt為一個常數，當x逐漸增大時，陰影部分的面積也逐漸增大，所以F(x)為增函數，故(1)，(2)正確，(3)錯誤．由定積分的幾何意義可知，必然?x0∈[0,1]，使S1＝S2，此時矩形ABCO的面積與函數f(x)的圖象與坐標軸圍成的區(qū)域的面積相等，即F(1)＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt＝f(x0)，故(4)正確．所以對F(x)的性質描述正確的有(1)，(2)，(4)．4．用定積分表示下列陰影部分的面積(不要求計算)：答案：見解析解析：【知識點：定積分】(1)sinxdx.(2)eq\i\in(-4,2,)eq\i\in(,2,)－4eq\f(1,2)x2dx.(3)－eq\i\in(4,9,)－xeq\f(1,2)dx＝eq\i\in(4,9,)xeq\f(1,2)dx.5．已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.答案：見解析解析：【知識點：定積分】(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3(eq\i\in(0,1,)x3dx＋eq\i\in(1,2,)x3dx)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6(eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(2,4,)x2dx)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).能力型師生共研6．將和式的極限eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)(p＞0)表示成定積分為()A.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,x)dxB.eq\i\in(0,1,)xpdxC.eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))pdD.eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,n)))pdx答案：B解析：【知識點：定積分】令ξi＝eq\f(i,n)，f(x)＝xp，則eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)f(ξi)＝eq\i\in(0,1,)xpdx.7．將(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n))表示為定積分為________．答案：eq\i\in(0,1,)eq\f(1,1＋x)dx解析：【知識點：定積分】由定積分的定義(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n))＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(1,\f(i,n)＋1))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(n,n＋i))·eq\f(1,n)＝eq\i\in(0,1,)eq\f(1,1＋x)dx.8．設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))求eq\i\in(0,2,)f(x)dx.答案：見解析解析：【知識點：定積分】∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＋eq\i\in(1,2,)(－2x＋4)dx.又由定積分的幾何意義得eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\i\in(1,2,)(－2x＋4)dx＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).9．拋物線y＝eq\f(1,2)x2將圓面x2＋y2≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓面上均勻投點，這些點落在圖中陰影部分的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6π)，求eq\i\in(0,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx.答案：見解析解析：【知識點：定積分】解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝8，,y＝\f(1,2)x2，))得x＝±2.∴陰影部分的面積為eq\i\in(-2,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx.∵圓的面積為8π，∴由幾何概型可得陰影部分的面積是8π·(eq\f(1,4)＋eq\f(1,6π))＝2π＋eq\f(4,3).由定積分的幾何意義得eq\i\in(0,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx＝eq\f(1,2)eq\i\in(-2,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx＝π＋eq\f(2,3).探究型多維突破10．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3x∈[－2，2]，,2xx∈[2，π]，,cosxx∈[π，2π].))則________．答案：見解析解析：【知識點：定積分】由定積分的幾何意義知eq\i\in(－2,2,)x3dx＝0，eq\i\in(2,π,)2xdx＝eq\f((π－2)(2π＋4),2)＝π2－4，由于關于對稱，故，由定積分的性質得eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,2,)x3dx＋eq\i\in(2,π,)2xdx＋＝π2－4.11．設y＝f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx.先產生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數出其中滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點數N1，那么由隨機模擬方法可得積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值為________________．答案：見解析解析：【知識點：定積分】因為0≤f(x)≤1且由積分的定義知：eq\i\in(0,1,)f(x)dx是由直線x＝0，x＝1及曲線y＝f(x)與x軸所圍成的面積．又產生的隨機數對在如圖所示的正方形內，正方形面積為1，且滿足yi≤f(xi)的有N1個點，即在函數f(x)的圖象上及圖象下方有N1個點，所以用幾何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上與x軸圍成的面積為eq\f(N1,N)×1＝eq\f(N1,N)，即eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\f(N1,N).自助餐1．已知eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，則eq\i\in(a,b,)6f(x)dx等于（）A．6B．6(b－a)C．36D．不確定答案：C解析：【知識點：定積分】2．等于（）A．B．C．D．答案：C解析：【知識點：定積分】3．設連續(xù)函數f(x)>0，則當a<b時，定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的符號（）A．一定是正的B．一定是負的C．當0<a<b時是正的D．以上都不對答案：A解析：【知識點：定積分】4．若eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝1，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝－3，則eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝（）A．2B．－3C．－1D．4答案：C解析：【知識點：定積分】5．設a＝xeq\s\up6(\f(1,3))dx，b＝x2dx，c＝x3dx，則a，b，c的大小關系是（）A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＝b＞cD．a＞c＞b答案：B解析：【知識點：定積分】根據定積分的幾何意義，易知x3dx＜x2dx＜xeq\s\up6(\f(1,3))dx，即a＞b＞c.6．由曲線y=x2-1，直線x=0，x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)可表示為（）A.B.C.D.答案：B解析：【知識點：定積分】由定積分的幾何意義知，陰影部分的面積為7．eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝____________.答案：12解析：【知識點：定積分】A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△MBC＝eq\f(1,2)×4×8＝16，∴eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝16－4＝128．已知f(x)是一次函數，其圖象過點(3,4)且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1，則f(x)的解析式為_________________．答案：f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5)解析：【知識點：定積分】設f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)圖象過(3,4)點，∴3a＋b又eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax＋b)dx＝aeq\i\in(0,1,)xdx＋eq\i\in(0,1,)bdx＝eq\f(1,2)a＋b＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝4，,\f(1,2)a＋b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,5)，,b＝\f(2,5).))∴f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5).9．定積分eq\i\in(－3,3,)(eq\r(9－x2)－x3)dx的值為________．答案：解析：【知識點：定積分】如圖，由定積分的幾何意義，得eq\i\in(－3,3,)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(π×32,2)＝eq\f(9π,2)，eq\i\in(－3,3,)x3dx＝0.由定積分的性質，得eq\i\in(－3,3,)(eq\r(9－x2)－x3)dx＝eq\i\in(－3,3,)eq\r(9－x2)dx－eq\i\in(－3,3,)x3dx＝eq\f(9π,2).10．已知f(x)=x,x∈[0,2),4-x,答案：見解析解析：【知識點：定積分】23(4-x)dx=12×(1+2)×1=32，35(52所以05f(x)dx=02xdx+23(4-x)dx+35(5211．求定積分eq\i\in(0,1,)x3dx的值.答案：見解析解析：【知識點：定積分】分割區(qū)間[0,1]，則第個區(qū)間為，且每個小區(qū)間的長度，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))3·eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))3·eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))3·eq\f(1,n).＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\