2025年九年級中考數學二輪復習專題思想方法之面積法訓練

一、選擇題

1.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,A。是/BAC的平分線，

若點尸、0分別是A。和AC上的動點，則PC+尸。的最小值是()

20

A.4.8B.7C.—D.2.4

3

2.如圖，在菱形ABC。中，AC=8,BD=6.E1是CD邊上一動點，過點E分別作EP_LOC

于點REGLOD于點G,連接FG,則FG的最小值為()

A.2.4B.3C.4.8D.4

3.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2,2。是邊AC上的高.點E,F

分別在邊AB,BC上(不與端點重合)，5.DELDF.設四邊形。E2F的面積為

4.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形ABCD中間陰影部分是一個小正方形

EFGH,這樣就組成一個“趙爽弦圖”.若10,AE=8,則正方形E尸G8的面積為()

A.4B.8C.12D.16

第1題圖第2題圖第4題圖

5.如圖1,在邊長為。的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a>b),把剩下部分沿圖

1中的虛線剪開后重新拼成一個梯形(如圖2),利用這兩幅圖形面積，可以驗證的乘法

公式是()

A.(?-b)2=a2-2ab+lrB.(a+6)2=a2+2ab+b2

C.a(a+6)=a2+abD.(a+6)(a-b~)=a1-b1

4G3

6.如圖’已知在△ABC中'點G是中線AH上一點，且購=i，

點。、E分別在邊A3、AC上，。石經過點G.那么下列結論中，錯誤的是（）

A.如果AD=33O,那么。E〃3C

B.如果點E與點C重合，那么AZ）：BD=3：2

ABAC

C.而+瓦的和是一個定值

AE

D.茄+茄的和是一個定值

7.如圖，點。、E分別是△ABC邊2C、AC上一點，BD=2CD,AE=CE,連接A。、BE

交于點R若△ABC的面積為12,則△BDF與△AEP的面積之差SABDF-S”EF等于（）

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，直線AB經過原點。，點C在y軸上，。為線段AB上一動點，若4（2,m），B

（-3,71）,C（0,-2）,AB=8,則CD長度的最小值為（）

555

A-c--

B.82D.4

A

E

B■C

第6題圖第8題圖

9.如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線5。上一點，且BE=BC,尸為CE上任一

點，尸。，5。于點。，PRLBE于點R,貝IJPQ+PH的值是（)

12

AYB.-cWD.-

2223

4

-

10.如圖，RtAABC中，ZACB=90°，/CAB=37°，AB=§,3BC=\,直線

MN經過點C,父邊AB于點。，分別過點A,5作AFLMN,BE1MN,垂足分別為E,

F,設線段BE,Ab的長度分別為力，d2,若直線MN從與C8重合位置開始順時針繞著

點C旋轉，至與CA重合時停止，在旋轉過程中，力+"2的最大值為（）

542

A.-B.1D.

333

第9題圖

二、填空題

11.如圖所示，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，設，=2,則這個正方形

的面積是.

圖1圖2

12.如圖，△ABC中，AB=AC,AO_LBC于點。，OE平分NAOC,交AC與點E,EF1AB

于點尸，且交A。于點G,若AG=2,BC=12,貝UAF=.

13.如圖，正方形ABCD邊長為12,E為BC上一點、,CE=4.動點

P,。從￡出發，分別向點8,C運動，且PE=2QE.若尸。和AQ

交于點F,連接BF,則BF的最小值為.

三、解答題

14.如圖1,在平面直角坐標系中，A(m，0),C(小0),〃<0,點8在第一象限，ZABC

=90°,AB=BC,8c與y軸交于點。.

(1)若m=4,n=-2,則點B的坐標為；

(2)如圖2,若根=a-2,”=4-a,連接并延長至點E,使得AE=2A。，當BE〃彳

軸時，求點A的坐標；

(3)如圖3,過點C作的平行線交延長線于點M,過點M作y軸的垂線，垂足

為點N,CN交AM于點F.CD+CO=AB,請連接AN后，探究AN,OD,A。三條線

段的數量關系.

15.已知點A(a,0),B(0,I),且(a+6)2+|Z?-4|=0.

(1)求直線AB的函數表達式；

(2)如圖，已知直線y=-2x與直線AB相交于點C,點尸為直線CO上一動點，若有

S^ACO=3S^ACP,請求出點尸的坐標；

(3)點T為平面內一動點，連接T。，將線段T。繞點T旋轉90°得到線段TQ.若點。

恰好落在直線上，且當OT取到最小值時，請求出點T的坐標.

16.如圖1,四邊形ABC。為正方形(四條邊都相等，四個內角都是90°),平行于y

軸.

(1)如圖1,已知2(-2,-3),正方形ABC。的邊長為4,直接寫出點A,C,。的

坐標；

1

(2)如圖2,已知0),C(b,0),P(^a,m),點。從C出發，以每秒2個單位

長度的速度在線段上運動，運動時間為t秒，若仍-1|+(m+t-4)2=0.

①當f=l時，求△BP。的面積；

②當SABPQ=gS^BPC時,求f的值.

17.折紙是我國傳統的民間藝術，通過折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過程還蘊

含著豐富的數學知識，在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開

展了數學活動.

(1)操作判斷：

在AD上選一點尸，沿BP折疊，使點A落在正方形內部的點M處，把紙片展平，過M

作E尸〃BC交AB、CD、BP于點E、F、N,連接尸M并延長交CO于點。，連接BQ,

如圖①，當E為A2中點時，APMN是三角形.

(2)遷移探究：

如圖②，若BE=5,且求正方形ABC￡＞的邊長.

(3)拓展應用：

MN1CO

如圖③，若亞直接寫出而的值為-----------------------

圖②圖③

18.如圖1,在平面直角坐標系中，直線/：y=號乂+百與無軸、y軸分別交于點A和點8,

點尸(m,n)是直線/上的一個動點.

(1)求△AOB的面積；

(2)記點P到無軸的距離為到y軸的距離為PN,當PN=2V5PM時，求點P的

坐標；

(3)如圖2,連接0P,過點尸作CP，。尸交y軸于點C,當點C在點B上方，且滿足

BCwg時，直接寫出根的取值范圍.

19.如圖，在平面直角坐標系中，點A(a,b),且a,6滿足(a+12)2+|/?-9|=0,將線段

A。向右平移至線段BC,A與B對應，。與C對應，其中點8落在y軸正半軸上.

(1)求出點3、C的坐標；

(2)若NAOC+NCDO=180°,/CDO+/OCD=90°

①求證：BCLCD-,

②求點。的坐標.

20.【閱讀理解】對一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式.例

如，由圖1可以得到完全平方公式：（x+y）2=/+2xy+y2,這樣的方法稱為“面積法”.

【解決問題】

（1）如圖2,利用上述“面積法”，可以得到數學等式：（a+6+c>=.

（2）利用（1）中所得到的等式，解決下面的問題：已知a+b+c=8,ab+bc+ac—lT.求

a2+Z>2+c2的值.

【應用遷移】如圖3,△ABC中，AB=AC,點。為底邊8C上任意一點，ON

±AC,CHLAB,垂足分別為N,H,連接AO.若0M=1.2,ON=2.5,利用上述“面

積法”，求C8的長.

圖1圖2圖3

參考答案

一、選擇題

題號12345678910

答案DAAADDBDAA

1.【解答］解：在A3上截取AE=AC=3,過點E作EQLAC于Q,交于P,

是/BAC的平分線，AE^AC,

；.C、E關于直線對稱，

:.PC=PE,

PC+PQ=PE+PQ=EQ,

?：EQ_LAC,

:?EQ的長是PC+PQ的最小值，

在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

11

SAABC=2^,BC=]x3x4=6,

VAE=AC=3,AB=5,

：.SAACE=|SAABC=媼

118?118

：.-AC-QE=—,即一x3?QE=——

2525

12

.,3=苦=2.4,

...PC+PQ的最小值是2.4,

故選：D.

2.【解答】解：連接。E,

:四邊形是菱形，

11

C.ACLBD,0D=^D=3,0C=jAC=4,

由勾股定理得CD=VOD2+OC2=V32+42=5,

又TEFLOC,EG.LOD,

???四邊形。尸EG為矩形，

：.GF=OE,

當OELCZ)時，OE值最小，

此時，SAOCD=0D=*:D?OE,

.八？OC-OD4x30/

■■OE=-CD-^—^2A'

.,.PG的最小值為2.4.

故選：A.

3.【解答】解：過。作DXLAB于X,如圖:

VZABC=90°,AB=4,BC=2,

：.AC=7AB2+BC2=2V5,

是邊AC上的高，

.八八AB-BC4x24V5

.?但^^=南=丁

/.CD=<BC2-BD2=竽，AD=AC-CD=等

AD-BD二半斐

：.DH=

AB

118411R164

S/\ADE=眇E?DH=尹x[=/，S/\BDE=^BE?DH=(4-x)xE=~^—尹;

?：NBDE=90°-ZBDF=ZCDF,ZDBE=90°-ZCBD=ZC,

:.叢BDEs叢CDF,

2A/5

.S^CDF_(CD)2-)2.

S^BDEBD

5

.i16441

??S^CDF—~^S/\BDE—

5=耳―/'

14

?'?y=S^ABC-SAADE-S^CDF=x2X4一尹-

隨x的增大而減小，且y與x的函數圖象為線段(不含端點)，

觀察各選項圖象可知，A符合題意；

故選：A.

4.【解答】解：直角三角形較短的直角邊為V102—82=6,

所以，正方形EFGH的面積=10X10-8X6+2X4=100-96=4.

故選：A.

5.【解答】解：圖1陰影部分的面積等于a2-序,

1

圖2梯形的面積是一(2Q+26)(a-Z?)=(〃+Z?)(a-b)

2

根據兩者陰影部分面積相等，可知Q+6)(a-b)=?2-b1

比較各選項，只有。符合題意

故選：D.

AE

6.【解答］解：設—=m,-=71,S/\ADG=S\,S/\AEG=S1,S^ABC=2S.

ABAC

1i

?.?根據三角形面積公式：-〃/z=5〃bsinC.

22

S1AGsinZ-DAG3s?^AE-AGsinZ-EAG3

=q=-m,=i=~nf

S^ABH---ABAHsin^BAH---4SLACH-AC-AHsin^CAH---4

1

?；BH=CH=^BC.

??S/^ABH=S/\ACH=/\ABC=S?

.S1+S2S—QE_3

(m+n).

-sS~4

S"DE^ADAEsin^DAE

--------1---------------=mn.

2S-ABACsinZ.BAC

2

m+n118

----=即一+_=

mn3mn3

114

當AD=35。，-=-=又因NZME=N8AC,則ZADE=ZABC.

mn3

J.DE//BC,選項A正確.

當點E與點C重合，"=1,則"z=W，即AD：AB=3：5.

：.AD：BD=3：2,選項5正確.

t一ABAC118」.A

由于——+——=-+-=選項C正確.

ADAEmn3

ADAEQ,

而+TZ=m+n=^mn,不是定值，選項D錯誤，符合題意.

ABAC3

故選：D.

7.【解答】解：,"△ABC=*BC?/?BC=%U/UC=12,

11

SAABC=2(BD+CD)?hBC=2(AE+CE)*/ZAC=12,

?；AE=CE=±AC，S4AEB=%E?/IAC,S叢BCE=±EC*/IAC,

??S/\AEB=S/^CEB=1S44BC=1X12=6,

BPS^AEF+SMBF=6@,

同理：?：BD=2CD,BD+CD=BC,

21

BD=QBC,SAABD=]BD?hBC,

.22

??S/\ABD='^SABC—wX128,

BPS^BDF+S^ABF=8@,

①一②得：SABDF-SAEF=(SABDF+S^ABF)-(SAAEF^SAABF)=8-6=2,

故選：B.

8.【解答］解：如圖：分別過點A、3作y軸的垂線，垂足分別為點E、點R設AABC

的邊A5上的高為工,

VA(2,m),B(-3,n),C(0,-2).

.*.AE=2,BF=3,OC=2；

設三角形ABC中AB邊上的高為x,

由SAABC=SAAOC+SABOC,

111

得一xABXx^4X2X2+4x2X3,

222

解得：ABXx=10f

VAB=8,

??X—~T9

當CDLAB時，CD有最小值為無，

，CD長度的最小值為

4

故選：D.

9.【解答]解：如圖，

連接AC,PB,AC交BD于O,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AC1BD,AC=&BC=&,

OC=%C=孝，

*.*S^BCE=SABPC+S^BPE,

111

：.-BE?OC=^BE?PR+^BC-PQ,

222y

VBC=BE,

：.BE?OC=BE?PR+BE*PQ,

/2

:?PR+PQ=OC=節,

故選：A.

10.【角用答】解：SMBC=S^BCD+S^ACD,

1ii

：.-ACXBC=4xCDXBE+^xCDXAF,

222

4

X1=CD(di+d2),

3

???CD取最小值時，力+"2取最大值，

當時，CD取最小值，

4Y

此時CD=空等1xl

-5-

3

445

---

353

故選：A.

二、填空題

H.【解答】解：由題意得：b(〃+2b)=(a+b)2,

整理得：c^+ab-廬=0,

?：a=2,

；.4+2b-d=。，

.,.b—V5+1或1—V5(舍去)，

...正方形的面積是(2+V5+1)2=]4+6遙.

故答案為：14+6V5.

12.【解答]解：如圖，連接BG,

E平分/AOC,

：.NEDC=NEDG,

'：AB^AC,AD±BC,

工NBAD=/CAD,BD=CD=^BC=6,ZCAD+ZC=90°,

VEF±AB,

：.ZBAD+ZAGF=90°,

又「NAGF=NDGE,

：.ZDGE=ZC,

在△DG石和△OCE1中，

BDC

ZDGE=乙C

Z.EDG=Z.EDC,

DE=DE

J.ADGE^ADCE(A4S),

：.DG=CD=6,

：.AD=AG+DG=2+6=8,

在RtAABD中,AB=VXD2+BD2=V82+62=10,

：SAABG=%B?GF=^AG'BD,

.廠廠AG-BD2x66

'?GF=R-=B=3

在RtAAGF中，AF=yjAG2-GF2=J22-(1)2=

一?，8

故答案為：—.

13.【解答］解：如圖，連接AC、BD交于點O,連接EO,

當點尸、。兩點與點E重合時，尸在點E處，當尸運動到點3處，點。運動到點。處,

此時尸在O處，所以點尸運動軌跡就是EO線段上，

當5/_LEO時，3尸有最小值.

延長EO交AZ）于點M,連接過〃作MK_LBC于點K,作BN工EO于點、N,

9

：0A=0C,ZMAO=ZECO,ZAOM=ZCOE9

：.AAOM^ACOE(ASA),

：.CE=AM=4f

???KE=BE-BK=4,

?：EM=yjMK2+KE2=4“U,

11

SNME=5EM?BN,

解得BN=玉普,

即BF最小值為竺”.

12V10

故答案為:

5

三、解答題

14.【解答】解：（1）過點B作AC的垂線，垂足為G.

,：ZABC^9Q°,AB=BC,則△ABC是等腰直角三角形.

.?.AG=CG=BG=竿==3.

.".XB=XA-AG=4-3=1,yB=BG=3.

...點B的坐標（1,3）.

故答案為：（1,3）.

（2）根據題意可知，BE//AC,。為AE中點.

設BE與y軸交于點H.

COCDAD

由平行線分線段成比例可得,=—=1,C0=-xcyBH=XB.

BHBDDE

XA+Xr1

??XB~~-xc=A2"=L

?\XA=XB+CXB-xc)=3.

故點A坐標為(3,0).

(3)如圖，連接BN,

根據題意N8CA=45°,NCOD=90°,

.?.△C。。是等腰直角三角形，即CO=O￡>.

CD+CO=CD+OD=AB.

；AB=BC=CD+BD,

：.OD=BD.

又YOKM,BD±AB,

平分NA4C.

由MN±y軸可得MN//AC,則ZAMN；根據MC//AB可得ZAMC,

：./AMN=ZAMC^ZCAM,即AM也是NCAfN的平分線.

由于DN和CD是點D到NCMN兩邊的距離，則CD=DN.

在△COD和△A?。中，CZ)=N，NCDO=NNDB,OD=BD,則△COD之△N8ZXSAS).

:./NBD=/COD=90°,

:./NBD+NDBA=18O°,即ABN三點共線.

四邊形ACMN是平行四邊形

由NAA/C=NCAM可得AC=CM,故四邊形ACMN是菱形.

線段CN和AM互相垂直平分.

易得△AON是等腰直角三角形，AO=NO.

在△CNO和△DA。中，AO=NO,/CON=/DOA=90°,DO=CO,則△CNO0ZkZM。

(SAS),

：.AD=NC.

"：SMCD=|AOOD=^AD-CF,AC=AN,CF=

：.AN-OD^AD-^AD=^AD2,即ALTAIAN'OD.

故AN,OD,A。三條線段的數量關系為A￡)2=2AN?OD

15.【解答】解:(I)(67+6)2+|fe-4|=0,

a+6=0fb-4=0,

解得a=-6,Z?=4,

???A(-6,0),B(0,4),

設直線AB的函數表達式為y=kx+b,

?(—6k+b=0

**th=4

解得｝卜=3,

3=4

直線AB的函數表達式為k|x+4；

y=-2x3

(2)由7多+4得*=-2,

7=3

3

C(-2?3),

1

S^ACO=2x6X3=9,

?SAACO=3SAACP，

當尸在AC下方時，如圖:

??S/^APO=S/\ACO-S/\ACP=9-3=6,

1

A-x6Xyp=6,

解得yp=2,

在y=-2x中，令y=2得x=-l,

：.P(-1,2)；

當尸在AC上方時，如圖：

1

同理可得X6X/=12,

解得yp=4,

在y=-2%中，令y=4得x=-2,

：.P(-2,4)；

綜上所述，P的坐標為(-1,2)或(-2,4)；

(3)當丁在0C右側時，過T作MN_Lx軸于過。作QN_LMN于N,如圖:

:將線段TO繞點T旋轉90°得到線段TQ,

070=90°,QT=OT,

.-.△ero是等腰直角三角形，

：.OT=^OQ,

.?.當。。最小時,OT最小，

此時OQ_LAB,

\"AB=yj0A2+0B2=2V13,

.八八0A-0B4x612713

2

由A(-6,0),B(0,4)知直線AB解析式為產jx+4,

、2

設Q(機，-m+4),

.I242-一、212聞

..Im2+(2m+4)2=_]3,

解得m=—爸

7436

:'Q(一石石)，

:將線段TO繞點T旋轉90°得到線段TQ,

.?.NQTO=90°,QT=OT,

：.ZQTN=90°-ZOTM=ZTOM,

：NN=/M=90°,

：./\QNT^/\TMO(A4S),

:.QN=TM,NT=OM,

z24

TX

up---J-q

設

5(\貝n1

TA6L3

‘Jn3-

vqp

--一-

13-

65

p---

得1

解3

-3o

-

q1-

3

63W

?T--\

「1

：317；

13L3

當T在0C左側時，同理可得T(一駕，—),

1313

一630QQ6

的坐標為(一，一)或T(一.，一)?

13131313

16.【解答】解：(1)??,四邊形A3CD是邊長為4的正方形，

：.AB=BC=CD=AD=4,ABLBC,AB//CD,

,：B(-2,-3),

?'?A(-2,-3+4),C(-2+4,-3),D(-2+4,-3+4),

即A(-2,1),C(2,-3),D(2,1)；

答：點A,C,。的坐標分別為A(-2,1),C(2,-3),D(2,1).

(2)：7a+2+\b-1|+(TTI+t—4)2=0,

.*.47+2=0,且b-l=0,m+t-4=0,

'.a--2,b=l,m=4-t,

：.B(-2,0),C(1,0),P(-1,4-r),

：.0B=2,OC=L

：.BC=OBWC=3,

即正方形的邊長為3,D(1,3),

①當￡=1時，m=3,CQ=2t=2,

：.P(-1,3),Q(1,2),

J點尸在AD上，如圖3,連接尸C,

圖3

111

???SZ\BPQ=SZ\BCP+SAQCP-SZ\BCQ=]X3X3+2X2X|-1一1|一2、3乂2=3.5；

答：尸。的面積為3.5.

②由①得：P(-1,4-力，

CQ=2t,

2

?:S/\BPQ=SABPC+SAQCP-S/\BCQ=qS^BPC,

1

:?￡4BCP+S4QCP-SABCQ=Q9

1111

BP-X-X3X(4-0+Jx2rX|-1-i|-AX3X2z=0,

4

解得u-

3

24

即當S^BpQUqS^BPC時，，的值為

。D

24

答：當SABPQ=《S"PC時，/的值為丁

17?【解答】解：(1)??,四邊形ABC。為正方形，

ZA=90°,AD//BC,

根據折疊的性質可得，NAPB=/MPB,ZA=ZBMP=90°,

,:EF〃BC,

：.EF//AD,

：.ZAPN=NPNM,

：.NMPN=/PNM,

:.MN=MP,

YE為AB的中點，EN//AP,

為3尸的中點，PN-BP,

1

:,MN=^BP,

:,PN=MN=MP,

△PMN為等邊三角形；

故答案為：等邊；

(2),?,四邊形ABC。為正方形，

：.AB=BC=CD.ZA=ZC=90°,

根據折疊的性質可得，AB=BM,ZA=ZBMP=90°,

:?BM=BC,ZBMQ=ZC=90°,

,：BQ=BQ9

：.RtABMQ^RtABCQ(HL),

：.MQ=CQ,

■:EF〃BC,

???四邊形防C尸為矩形，

：.BE=CF=5,BC=EF,NMFQ=NBEM=90°,

AZFMQ+ZFQM=90°,

'：ZBMQ=90°,

ZFMQ+ZEMB=90°,

：.ZFQM=ZEMB,

:?AMFQs叢BEM,

.MFFQ

,?BE-EM"

；?BE?FQ=MF?EM,

'：ME9MF=10,

；?BE/FQ=\b,

：.5FQ=1Q,即尸。=2,

???CQ=CF-FQ=5-2=3,

：.MQ=CQ=3,

在RtAMFQ中，MF=JMQ2-FQ2=V32-22=V5,

:.ME=1^o=25

:.EF=ME+MF=2V5+逐=3層,

:.BC=EF=3V5,即正方形48。的邊長為3強；

(3)設.MN=a,

??-fc+^MN1

?石c=一，

BCn

:?BC=〃.MN=na,

:?PA=PM=MN=a,PD=(n-1)a,

設CQ=xf則DQ=na-x,

,**S四邊形A3MP+S四邊形5CQM+S4P￡)Q=S正方形ABC。,

2s△A3P+2s△BCQ+S△尸OQ=S正方形ABC。,

1112

，2x?na+2x]?ia?%+2(TI—l)a?(na—%)=(na),

整理得:na+nx+x=n2a,

.71—1

X——rrr,YLCL,

n+1

.「八n—1

??CQ=―丁?na,

上n+1

n-i

??絲=h7rm=3

*BCnan+1

TL—1

故答案為：--

n+1

18.【解答】解：(1)在中，令x=0得y=W,令y=0得x=-3,

.1.A(-3,0),B(0,V3),

；Q=3,OB=V3,

??SAAOB=x3xv3——■2~；

，，,3V3

AA(9B的面積為—^―；

(2)；點P(m,n)是直線/上的一個動點，

V3廠

.".PCm,—

3

,/點P到x軸的距離為PM,到y軸的距離為PN,

V3廠

：.PM=\—m+V3\,PN^\m\,

,:PN=2有PM,

r-V3廠

\m\=2\3x|—m+v3|,

LV3t—?t—V3

.*.m=2v3X(—m+y3)或m=-2百X(—m+y3),

33

解得m=-6或m—-2,

：.P