高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省開封市2023-2024學年高二下學期期末數學試題注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應的答題區域內，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則（）A. B. C.2 D.6【答案】B【解析】因為，，，所以，所以.故選：B.2.一批產品中次品率為，隨機抽取1件，定義，則（）A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095【答案】A【解析】.故選：A.3.已知等差數列中，，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】設公差，因為，，所以，所以.故選：B.4.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，所以函數在點處切線斜率，則切線方程為，即切線方程為，故選：D.5.已知的展開式中第3項與第6項的二項式系數相等，則這兩項的二項式系數是（）A.21 B.42 C.84 D.168【答案】A【解析】由，可得展開式通項公式為，因為的展開式中第3項與第6項的二項式系數相等，所以，解得，所以.故選：A.6.在圓上任意取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡方程是（當點經過圓與軸的交點時，規定點與點重合）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設點的坐標為，點的坐標為，依題意點在圓上，可得，所以點的軌跡方程為.故選：D.7.已知函數有兩個不同的極值點，，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數，所以，令，由題意得在上2個解，，故，解得：，經檢驗適合題意；故選：C.8.在棱長為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，延長，使得，由題意點在線段上（不包含端點），選取為基底，由題意，而，從而，，，所以，設，因為，所以，而，因為，設，則，，當且僅當，即，即時，的最小值為，所以當且僅當時，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.由成對樣本數據，且得到經驗回歸方程為，其中（單位：cm）為女生的身高，（單位：cm）為其父親的身高，則（）A.直線必經過點B.直線至少經過點，且中的一點C.已知父親的身高為，其女兒身高的估計值為D.兩位父親身高相差，則他們女兒的身高相差【答案】AC【解析】對于A：回歸直線必經過樣本中心點，故A正確；對于B：回歸直線可不過任意一點，且，故B錯誤；對于C：已知父親的身高為，其女兒身高的估計值為，故C正確；對于D：兩位父親的身高相差，則他們女兒的身高的估計值相差，故D錯誤.故選：AC.10.已知為等差數列的前n項和，為等比數列的前n項積，且，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對于A，設等差數列的公差為，等比數列的公比為，若，則，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.11.過拋物線上一點P作圓的切線，切點為A，B，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.可能取到3 D.可能取到4【答案】AD【解析】對于AB，圓的圓心為，半徑為，設，，要使最大，只需最大，即只需，等號成立當且僅當，所以的最大值為，的最大值為，故A正確，B錯誤；對于CD，由以上分析可知，的取值范圍是，的取值范圍是，顯然，，由等面積法有，所以，又的取值范圍是，所以的取值范圍是，故C錯誤，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓，則圓C的半徑_________．【答案】2【解析】由圓，整理可得：，則圓的半徑為.故答案為：2.13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，這意味著，所以.故答案為：.14.學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，2個集體節目分別安排在第1個和最后1個，還有3個音樂節目、2個舞蹈節目、1個小品節目，要求同類節目不能連續安排，則共有_________種不同的排法（填寫數字）．【答案】240【解析】第一步：2個集體節目共有種排法；第二步：設先后順序為第1，2，3，4，5，6，7，8場，第一類：將3個音樂節目排在第2，4，6場，再排剩下的節目共有種排法；第二類：將3個音樂節目排在第2，4，7場，再排剩下的節目共有種排法；第三類：將3個音樂節目排在第2，5，7場，再排剩下節目共有種排法；第四類：將3個音樂節目排在第3，5，7場，再排剩下的節目共有種排法；綜上所述，滿足題意的排法共有種.故答案為：240.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是，，且經過點．（1）求C的標準方程；（2）已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點，求l的方程．解：（1）由于橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，由橢圓的定義知，，可得，所以，所以橢圓的標準方程為:.（2）已知，所以，設直線方程為，由方程組消去，得，該方程的判別式，由，得，此時與有且只有一個公共點，所以的方程為:.16.已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入2個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）插入的數構成一個新數列，求該數列前項的和．解：（1）設數列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項公式是.（2）數列的通項公式為，記數列與前項的和分別為，則.17.在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知陽馬中，側棱底面；且，在的中點中選擇一個記為點，使得四面體為鱉臑．（1）確定點的位置，并證明四面體為鱉臑；（2）若底面是邊長為1的正方形，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）點是的中點，因為，所以，又因為底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面體為鱉臑；（2）如圖，分別以所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，則，設平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向量為，設平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.在11分制乒乓球比賽中，每贏一球得1分，當某局打成平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為p，乙發球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立．已知在某局雙方平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束，且．（1）求p的值；（2）求再打2個球甲新增的得分Y的分布列和均值；（3）記事件“，且甲獲勝”的概率為，求．解：（1）由題意可知，對應的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以，解之得.（2）的可能取值為0，1，2，的分布列為：，，，012所以.（3）且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結束，且這個球的得分情況為：前個球是每兩球甲、乙各得1分，最后第個球均為甲得分；且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結束，且這個球的得分情況為：前個球是每兩球甲、乙各得1分，最后第個球均為甲得分.按照甲先發球，甲、乙各得1分的概率為，所以，且，所以是以為首項，以為公比的等比數列，所以.19.已知函數的定義域為D，其中．對于點，設．若在處取最小值，則稱點為M的“f最近點”．（1）若，，，求M的“f最近點”；（2）已知函數，，，證明：對任意，既是的“f最近點”，也是的“f最近點”．解：（1）當，，，，，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得最小值，又，所以M的“f最近點”為；（2）設設既是的“f最近點”，也是的“f最近點”，由題意，在處取最小值，所以對任意，，即①，，即②，由①+②得，，所以，所以，所以對任意，既是的“f最近點”，也是的“f最近點”.河南省開封市2023-2024學年高二下學期期末數學試題注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應的答題區域內，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則（）A. B. C.2 D.6【答案】B【解析】因為，，，所以，所以.故選：B.2.一批產品中次品率為，隨機抽取1件，定義，則（）A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095【答案】A【解析】.故選：A.3.已知等差數列中，，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】設公差，因為，，所以，所以.故選：B.4.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，所以函數在點處切線斜率，則切線方程為，即切線方程為，故選：D.5.已知的展開式中第3項與第6項的二項式系數相等，則這兩項的二項式系數是（）A.21 B.42 C.84 D.168【答案】A【解析】由，可得展開式通項公式為，因為的展開式中第3項與第6項的二項式系數相等，所以，解得，所以.故選：A.6.在圓上任意取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡方程是（當點經過圓與軸的交點時，規定點與點重合）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設點的坐標為，點的坐標為，依題意點在圓上，可得，所以點的軌跡方程為.故選：D.7.已知函數有兩個不同的極值點，，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數，所以，令，由題意得在上2個解，，故，解得：，經檢驗適合題意；故選：C.8.在棱長為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，延長，使得，由題意點在線段上（不包含端點），選取為基底，由題意，而，從而，，，所以，設，因為，所以，而，因為，設，則，，當且僅當，即，即時，的最小值為，所以當且僅當時，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.由成對樣本數據，且得到經驗回歸方程為，其中（單位：cm）為女生的身高，（單位：cm）為其父親的身高，則（）A.直線必經過點B.直線至少經過點，且中的一點C.已知父親的身高為，其女兒身高的估計值為D.兩位父親身高相差，則他們女兒的身高相差【答案】AC【解析】對于A：回歸直線必經過樣本中心點，故A正確；對于B：回歸直線可不過任意一點，且，故B錯誤；對于C：已知父親的身高為，其女兒身高的估計值為，故C正確；對于D：兩位父親的身高相差，則他們女兒的身高的估計值相差，故D錯誤.故選：AC.10.已知為等差數列的前n項和，為等比數列的前n項積，且，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對于A，設等差數列的公差為，等比數列的公比為，若，則，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.11.過拋物線上一點P作圓的切線，切點為A，B，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.可能取到3 D.可能取到4【答案】AD【解析】對于AB，圓的圓心為，半徑為，設，，要使最大，只需最大，即只需，等號成立當且僅當，所以的最大值為，的最大值為，故A正確，B錯誤；對于CD，由以上分析可知，的取值范圍是，的取值范圍是，顯然，，由等面積法有，所以，又的取值范圍是，所以的取值范圍是，故C錯誤，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓，則圓C的半徑_________．【答案】2【解析】由圓，整理可得：，則圓的半徑為.故答案為：2.13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，這意味著，所以.故答案為：.14.學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，2個集體節目分別安排在第1個和最后1個，還有3個音樂節目、2個舞蹈節目、1個小品節目，要求同類節目不能連續安排，則共有_________種不同的排法（填寫數字）．【答案】240【解析】第一步：2個集體節目共有種排法；第二步：設先后順序為第1，2，3，4，5，6，7，8場，第一類：將3個音樂節目排在第2，4，6場，再排剩下的節目共有種排法；第二類：將3個音樂節目排在第2，4，7場，再排剩下的節目共有種排法；第三類：將3個音樂節目排在第2，5，7場，再排剩下節目共有種排法；第四類：將3個音樂節目排在第3，5，7場，再排剩下的節目共有種排法；綜上所述，滿足題意的排法共有種.故答案為：240.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是，，且經過點．（1）求C的標準方程；（2）已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點，求l的方程．解：（1）由于橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，由橢圓的定義知，，可得，所以，所以橢圓的標準方程為:.（2）已知，所以，設直線方程為，由方程組消去，得，該方程的判別式，由，得，此時與有且只有一個公共點，所以的方程為:.16.已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入2個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）插入的數構成一個新數列，求該數列前項的和．解：（1）設數列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項公式是.（2）數列的通項公式為，記數列與前項的和分別為，則.17.在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知陽馬中，側棱底面；且，在的中點中選擇一個記為點，使得四面體為鱉臑．（1）確定點的位置，并證明四面體為鱉臑；（2）若底面是邊長為1的正方形，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）點是的中點，因為，所以，又因為底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面體為鱉臑；（2）如圖，分別以所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，則，設平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向