高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省合肥市普通高中六校聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知函數的圖象如圖所示，且為的導函數，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分別作出函數在的切線，則則有.故選：B2.已知函數的圖象上任意一點，在點處切線與軸分別相交于兩點，則的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】，則，，所以在點處的切線方程為，整理為，在x、y軸上的截距分別為，，所以的面積為.故選：C.3.已知函數.若函數在上單調遞減，則實數的最小值為（）A.0 B.3 C. D.【答案】C【解析】，令，得，令，若函數在上單調遞減，則，當時，，所以函數在上單調遞增，則，所以.故選：C4.以“奔跑合肥，科創未來”為主題的2023合肥馬拉松，于11月19日開跑，共有3萬余名跑者在濱湖新區縱情奔跑，本次賽事設置全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑（約8公里）等多個項目，社會各界踴躍參加志愿服務，現有甲、乙等5名大學生志愿者，通過培訓后，擬安排在全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑三個項目進行志愿者活動，則下列說法正確的是（）A.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有10種不同的分配方案B.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有15種不同的分配方案C.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法D.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有48種不同的站法【答案】D【解析】對于AB，不同的分配方案有種，故AB錯誤；對于CD，不同的站法有種，故C錯誤，D正確.故選：D.5.已知可導函數的導函數為，，若對任意的，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以在上單調遞增，又，所以，故不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為.故選：D6.若函數，既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，函數既有極大值，也有極小值，等價于一元二次方程在上有2個不同實根，則，解得，即實數a的取值范圍為.故選：B7.已知，，，那么的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以函數在上單調遞減，則，即，由，得，即，所以，即；令，則，所以函數在上單調遞減，則，即，又當時，，所以，所以，即，所以，所以.故選：A8.已知函數，，若，則的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】設，則有，解之得，，解之得，則有令，則令，則恒成立，則時，單調遞減，又，則時，，，單調遞增，時，，，單調遞減，則，則的最大值為0.故的最大值是0.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列求導運算正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B正確；C：若，則，故C正確；D：若，則，故D錯誤.故選：BC10.某學生在物理，化學，生物，政治，歷史，地理這六門課程中選擇三門作為選考科目，則下列說法正確的是（）A.若任意選擇三門課程，則總選法為B.若物理和歷史至少選一門，則總選法為C.若物理和歷史不能同時選，則總選法為D.若物理和歷史至少選一門且不能同時選，則總選法為【答案】ACD【解析】對于A．若任意選擇三門課程，選法總數為種，故A正確；對于B．若物理和歷史選一門，有種方法，其余兩門從剩余的4門中選2門，有種選法，若物理和歷史選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的4門中選1門，有種選法由分步乘法計數原理知，總數為種選法，故B錯誤；對于C．若物理和歷史不能同時選，選法總數為種，故C正確；對于D．由選項B的分析知，若物理和歷史至少選一門且不能同時選，有種選法，故D正確．故選：ACD．11.已知函數和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依此為，則以下說法正確的是（）A. B.C.成等差數列 D.成等比數列【答案】ABD【解析】對于AB，，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，于有，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數圖像如下圖所示：

由數形結合思想可知：當直線經過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，且，由，又，又當時，單調遞增，所以，又，又，又當時，單調遞減，所以，，，于是有，且，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，為了迎接五一國際勞動節，某學校安排同學們在A，B，C，D四塊區域植入花卉，現有4種不同花卉可供選擇，要求相鄰區域植入不同花卉，不同的植入方法有______（結果用數字作答）【答案】72【解析】區域有4種選擇，區域有3種選擇，A區域有3種選擇，B區域有2種選擇，由分步乘法計數原理可知，不同的植入方法共有種.故答案為：7213.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數：______.①；②當時，；③是奇函數.【答案】（答案不唯一）【解析】①由，即滿足；②對于，在上要使導函數恒成立，故，所以；③由②知：，注意定義域要關于原點對稱，滿足是奇函數；綜上，且，滿足上述要求.故答案為：（答案不唯一）14.設實數，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】由，構造函數，在為增函數，則即對不等式恒成立，則，構造函數令，得；令，得；在上單調遞增，在上單調遞減，，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數圖象在點處切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求函數極值.解：（1）由題意可得，．由，解之得經檢驗得時，有極大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，的值隨的變化情況如下表：00單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增函數值8由表可知的極大值為8，極小值為．16.北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.為了某次航天任務，準備從7名預備隊員中（其中男4人，女3人）中選擇4人作為航天員參加該次任務.（1）若至少有一名女航天員參加此次航天任務，共有多少種選法？（結果用數字作答）（2）若選中的4名航天員需分配到A，B，C三個實驗室去，其中每個實驗室至少一名航天員，共有多少種選派方式？（結果用數字作答）解：（1）由題意，分成3種情況討論：只有1名女性，共有種選法，有2名女性，共有種選法，有3名女性，共有種選法，所以共有種選法，即至少有一名女航天員參加此次航天任務，共有34種選法；（2）由題意，先選3名航天員，然后分為的兩組，然后分配到實驗室，共有種方法.所以每個實驗室至少一名航天員，共有1260種選派方式.17.設為實數，已知，.（1）求在區間的值域；（2）對于，，使得成立，求實數的取值范圍.解：（1）由，得，當時，，則時，；時，，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，函數在區間上的最小值為．又所以函數值域為（2），，使得成立，又在上單調遞增，函數在區間上的最小值為，又函數在區間上的最小值為，，解之得.故實數的取值范圍是．18已知，.（1）討論的單調性；（2）若對于定義域內任意恒成立，求取值范圍.解：（1），；當時，，故在上單調遞增；當時，令，則，令，則，故在上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由題意知，即令，，則，，令，，則則在上單調遞增，由于，.所以存在，使得故在上單調遞減，在上單調遞增最小值為，由于滿足，則，兩邊取對數，又在上單調遞增，則有，則故，故．則19.英國數學家泰勒發現的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數都存在時，．注：表示的2階導數，即為的導數，表示的階導數，該公式也稱麥克勞林公式.（1）根據該公式估算的值，精確到小數點后兩位；（2）由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；（3）設，證明：.解：（1）令，則，，，，故，，，，，由麥克勞林公式可得，故．（2）結論：，證明如下：令，，則令，則，故在上單調遞增，，則故在上單調遞增，，即證得，故．（3）由（2）可得當時，，且由得，當且僅當時取等號，故當時，，，，而，即有，故而，即證得．安徽省合肥市普通高中六校聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知函數的圖象如圖所示，且為的導函數，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分別作出函數在的切線，則則有.故選：B2.已知函數的圖象上任意一點，在點處切線與軸分別相交于兩點，則的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】，則，，所以在點處的切線方程為，整理為，在x、y軸上的截距分別為，，所以的面積為.故選：C.3.已知函數.若函數在上單調遞減，則實數的最小值為（）A.0 B.3 C. D.【答案】C【解析】，令，得，令，若函數在上單調遞減，則，當時，，所以函數在上單調遞增，則，所以.故選：C4.以“奔跑合肥，科創未來”為主題的2023合肥馬拉松，于11月19日開跑，共有3萬余名跑者在濱湖新區縱情奔跑，本次賽事設置全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑（約8公里）等多個項目，社會各界踴躍參加志愿服務，現有甲、乙等5名大學生志愿者，通過培訓后，擬安排在全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑三個項目進行志愿者活動，則下列說法正確的是（）A.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有10種不同的分配方案B.若全程馬拉松項目必須安排3人，其余兩項各安排1人，則有15種不同的分配方案C.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法D.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有48種不同的站法【答案】D【解析】對于AB，不同的分配方案有種，故AB錯誤；對于CD，不同的站法有種，故C錯誤，D正確.故選：D.5.已知可導函數的導函數為，，若對任意的，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以在上單調遞增，又，所以，故不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為.故選：D6.若函數，既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，函數既有極大值，也有極小值，等價于一元二次方程在上有2個不同實根，則，解得，即實數a的取值范圍為.故選：B7.已知，，，那么的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以函數在上單調遞減，則，即，由，得，即，所以，即；令，則，所以函數在上單調遞減，則，即，又當時，，所以，所以，即，所以，所以.故選：A8.已知函數，，若，則的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】設，則有，解之得，，解之得，則有令，則令，則恒成立，則時，單調遞減，又，則時，，，單調遞增，時，，，單調遞減，則，則的最大值為0.故的最大值是0.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列求導運算正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B正確；C：若，則，故C正確；D：若，則，故D錯誤.故選：BC10.某學生在物理，化學，生物，政治，歷史，地理這六門課程中選擇三門作為選考科目，則下列說法正確的是（）A.若任意選擇三門課程，則總選法為B.若物理和歷史至少選一門，則總選法為C.若物理和歷史不能同時選，則總選法為D.若物理和歷史至少選一門且不能同時選，則總選法為【答案】ACD【解析】對于A．若任意選擇三門課程，選法總數為種，故A正確；對于B．若物理和歷史選一門，有種方法，其余兩門從剩余的4門中選2門，有種選法，若物理和歷史選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的4門中選1門，有種選法由分步乘法計數原理知，總數為種選法，故B錯誤；對于C．若物理和歷史不能同時選，選法總數為種，故C正確；對于D．由選項B的分析知，若物理和歷史至少選一門且不能同時選，有種選法，故D正確．故選：ACD．11.已知函數和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依此為，則以下說法正確的是（）A. B.C.成等差數列 D.成等比數列【答案】ABD【解析】對于AB，，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，于有，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數圖像如下圖所示：

由數形結合思想可知：當直線經過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，且，由，又，又當時，單調遞增，所以，又，又，又當時，單調遞減，所以，，，于是有，且，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，為了迎接五一國際勞動節，某學校安排同學們在A，B，C，D四塊區域植入花卉，現有4種不同花卉可供選擇，要求相鄰區域植入不同花卉，不同的植入方法有______（結果用數字作答）【答案】72【解析】區域有4種選擇，區域有3種選擇，A區域有3種選擇，B區域有2種選擇，由分步乘法計數原理可知，不同的植入方法共有種.故答案為：7213.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數：______.①；②當時，；③是奇函數.【答案】（答案不唯一）【解析】①由，即滿足；②對于，在上要使導函數恒成立，故，所以；③由②知：，注意定義域要關于原點對稱，滿足是奇函數；綜上，且，滿足上述要求.故答案為：（答案不唯一）14.設實數，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】由，構造函數，在為增函數，則即對不等式恒成立，則，構造函數令，得；令，得；在上單調遞增，在上單調遞減，，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數圖象在點處切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求函數極值.解：（1）由題意可得，．由，解之得經檢驗得時，有極大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，的值隨的變化情況如下表：00單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增函數值8由表可知的極大值為8，極小值為．16.北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.為了某次航天任務，準備從7名預備隊員中（其中男4人，女3人）中選擇4人作為航天員參加該次任務.（1）若至少有一名女航天員參加此次航天任務，共有多少種選法？（結果用數字作答）（2）若選中的4名航天員需分配到A，B，C三個實驗室去，其中每個實驗室至少一名航天員，共有多少種選派方式？（結果用數字作答）解：（1）由題意，分成3種情況討論：只有1名女性，共有種選法