濱城高中聯盟2024-2025學年度下學期高二4月份考試數學試卷命題人：大連市第二十三中學劉金秋校對人：大連市第二十三中學孫艷姝一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A B. C. D.【答案】D【詳解】解：因為，，所以.故選：D.2.在某項測量中，測量結果服從正態分布（），若在內取值的概率為0.8，則在內取值的概率為（）A.0.9 B.0.8 C.0.3 D.0.1【答案】A【詳解】因為服從正態分布（），所以正態分布曲線關于對稱；又因為在內取值的概率為0.8，所以在內取值的概率為0.4，所以在內取值的概率為．故選：A3.已知離散型隨機變量的分布列如下，若，則（）02A. B.1 C. D.【答案】C【詳解】由題意知，解得，因為，所以，即，則，解得，所以，故選：C．4.在孟德爾豌豆試驗中，子二代的基因型為其中為顯性基因，為隱性基因，生物學中將和統一記為)，且這三種基因型的比為.如果在子二代中任意選取2株豌豆進行雜交試驗，那么子三代中基因為的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，則，，.在子二代中任取顆豌豆作為父本母本雜交，分以下三種情況討論：①若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；②若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；③若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為.綜上所述，.因此，子三代中基因型為是的概率是.故選：D.5.已知某條線路上有兩輛相鄰班次的（快速公交車），若準點到站的概率為，在B準點到站的前提下準點到站的概率為，在準點到站的前提下B不準點到站的概率為，則B準點到站的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】設事件為“準點到站”，事件為“準點到站”，依題意，，而，解得，而，則，而，解得.故選：B6.為了預測某地的經濟增長情況，某經濟學專家根據該地2023年1~6月的GDP的數據（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經驗回歸方程為，其中自變量指的是月的編號，其中部分數據如表所示：時間1月2月3月4月5月6月編號123456百億元11.1參考數據：.則下列說法不正確的是（）A.經驗回歸直線經過點B.C.根據該模型，該地2023年12月的GDP的預測值為14.4百億元D.相應于點的殘差為0.1【答案】D【詳解】選項A：由題意得：，因為，，所以，得，因此該經驗回歸直線經過樣本點的中心，故A正確；選項B：由A知，，得，故B正確；選項C：由B得，則當時，，故該地2023年12月的GDP的預測值為百億元，故C正確；選項D：當時，，相應于點的殘差為，故D錯誤，故選：D.7.公司選拔部門總監，根據投票數與業績評分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在選拔中脫穎而出.現在人事部、財務部與科研部要分別選擇人擔任部門總監，其余人隨機分別調到個部門中擔任項目經理，設事件{甲、乙兩人不在同一部門}，事件{甲擔任財務部部門總監}，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】由題知，，所以，故選：C.8.托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為B的全概率，假設甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有3個白球和2個紅球，現從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的是2個紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設從甲袋中取出2個球，其中紅球的個數為i個的事件為，從乙袋中取出2個球，其中白球的個數為2個的事件為B，由題意：①，；②，；③，.根據貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的是2個紅球的概率為：.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但選不全的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩名同學進行投籃比賽，甲每次命中概率為，乙每次命中概率為，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則（）A.兩人都命中的概率為 B.恰好有一人命中的概率為C.兩人都沒有命中的概率為 D.至少有一人命中的概率為【答案】ABD【詳解】設事件：甲投籃一次，命中；事件：乙投籃一次，命中.則事件，獨立.對A選項：由，故A正確；對B選項：由，故B正確；對C選項：由，故C錯誤；對D選項：由，故D正確.故選：ABD10.已知隨機事件、滿足：，，則下列選項正確的是（）A.若，則與相互獨立 B.若與相互獨立，則C.若與互斥，則 D.若，則【答案】ACD【詳解】對于A，，故與相互獨立，即A正確；對于B，若與相互獨立，則與也相互獨立，則，故B錯誤；對于C，若與互斥，則，，故C正確；對于D，由全概率公式可得，所以，故D正確；故選：ACD.11.泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述單位時間（或空間）內隨機事件發生的次數，其概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.當二項分布的很大而很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，且取二項分布的期望.假設每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產生嘧啶二體的概率均為0.0005，設大腸桿菌的基因組產生的嘧啶二體個數為表示經該種紫外線照射后產生個嘧啶二體的概率.已知近似服從泊松分布，當產生的嘧啶二體個數不小于1時，大腸桿菌就會死亡，則下列說法正確的有（）A.B.C.大腸桿菌經該種紫外線照射后，存活的概率為D.經該種紫外線照射后產生10個嘧啶二體的概率最大【答案】AC【詳解】對于A，因為，所以此時泊松分布滿足二項分布的近似的條件，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，當時，，當時，；當時，；故當或5時取最大值，D錯誤.故選:AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量服從兩點分布，其中，若，則______.【答案】##【詳解】根據兩點分布的特點得，則，根據方差的性質得，故答案為：.13.一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：，，，，，．現從盒子中逐一抽取卡片并判函數的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，設抽取次數為X，則的概率為___________．【答案】##0.8【詳解】易判斷，，為偶函數，所以寫有偶函數的卡片有3張，的取值范圍是．

，，所以．故答案為：14.如圖，電流通過元件的概率均為0.8，且各元件能否正常工作相互獨立，則電流能在E，F之間通過的概率是_____.【答案】0.7424【詳解】根據題意可知電流能通過的概率為，電流能通過的概率為，所以電流不能通過，且也不能通過的概率為，所以電流能通過的概率為，因為電流能通過的概率為，所以電流能在E，F之間通過的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.袋中有6個白球、2個黑球，從中隨機地連續抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都不放回，設取到黑球的個數為．（1）求的分布列；（2）求；（3）若摸出一個黑球得10分，摸出一個白球得5分，總分為分，求的值．【答案】（1）答案見解析（2）（3）【小問1詳解】由題意得，的可能取值為0，1，2，且，，，，所以的分布列如下．012【小問2詳解】因為，所以．【小問3詳解】由已知得，因為，所以，所以．16.某汽車公司研發了一款新能源汽車，并在出廠前對輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計這輛汽車單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）由頻率分布直方圖計算得樣本標準差的近似值為，根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似的服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本標準差.（i）利用該正態分布，求；（ii）假設某企業從該汽車公司購買了輛該款新能源汽車，記表示這輛新能源汽車中單次最大續航里程的車輛數，求；參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】（i）由題意可得，，則，所以，；（ii）由題意可知，，故.17.經觀測，長江中某魚類的產卵數與溫度有關，現將收集到的溫度（單位：）和產卵數的10組觀測數據作了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統計量表.36054.5136044384

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表中，，.（1）根據散點圖判斷，，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關于的回歸方程；（2）某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有5個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有6個魚卵，其中“死卵”有3個.現隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個數的分布列及數學期望.附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.【答案】（1）適宜作為與之間的回歸方程模型，（2）答案見解析，.小問1詳解】根據散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數函數的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型.令，則，，，所以，所以關于的回歸方程為.【小問2詳解】由題意設隨機挑選一批，取出兩個魚卵，其中“死卵”個數為，則的可能取值為，，，設“所取兩個魚卵來自第批”，所以，設“所取兩個魚卵有個‘死卵’”，由全概率公式得，，，所以取出“死卵”個數的分布列為012所以，所以取出“死卵”個數的數學期望為.18.中國男子籃球職業聯賽“簡稱CBA”半決賽采用“五局三勝制”，具體規則為比賽最多進行五場，當參賽的兩方有一方先贏得三場比賽，就由該方獲勝而比賽結束，每場比賽都需分出勝負.同時比賽采用主客場制，比賽先在A隊的主場進行兩場比賽，再移師B隊主場進行兩場比賽（有必要才進行第二場），如果需要第五場比賽，則回到A隊的主場進行，已知A隊在主場獲勝的概率為，在客場獲勝的概率為，假設每場比賽的結果相互獨立.（1）第一場比賽B隊在客場通過全隊的努力先贏了一場，賽后B隊的教練鼓勵自己的隊員說“勝利的天平已經向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊教練的話是否客觀正確；（2）每一場比賽，會給主辦方在門票，飲食，紀念品銷售等方面帶來綜合收益300萬元，設整個半決賽主辦方綜合收益為，求的分布列與期望，【答案】（1）從概率大小的角度判斷B隊教練的話是客觀正確的.（2）分布列見解析，萬元.小問1詳解】由題知，B隊獲勝的情況有三種，第一種情況，比賽三場獲勝，其概率為；第二種情況，比賽四場獲勝，則第二場或第三場B隊失敗，故其概率為；第三種情況，比賽五場獲勝，則B隊在第二場，第三場，第四場中贏得一場比賽，第五場比賽獲勝，其概率為，所以，B隊在第一場比賽獲勝的情況下，贏得比賽的概率為，所以，從概率大小的角度判斷B隊教練的話是客觀正確的.【小問2詳解】由題知，至少舉辦3場球賽，至多舉辦5場球賽，所以的可能取值為，所以，當舉辦3場球賽時，A隊獲勝的概率為，B隊獲勝的概率為，所以，；當舉辦4場球賽時，A隊獲勝的概率為，B隊獲勝的概率為，，所以，，所以，的分布列為：所以，萬元19.“分布式計算系統”是由多臺計算機組成的用以提高計算效率的計算機系統．在一個分布式計算系統中，若一次計算中發生故障的計算機數不超過總計算機數的，則稱這次計算是“優質計算”，某科技公司采購了一批共計臺計算機用于搭建分布式計算系統，每臺計算機的故障率均為．（1）若，，記為一次計算中正常運行的計算機數量，求的分布列和數學期望；（2）若，，請估計一次計算中正常運行的計算機數量最有可能是多少？（3）該科技公司決定再購入臺與（2）中完全相同的計算機組成新的分布式計算系統，請與（2）的分布式計算系統比較，判斷新的分布式計算系統完成一次“優質計算”的概率是否有提升？【答案】（1）分布列見解析，數學期望為（2）臺或臺（3）能得到提升【小問1詳解】由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，隨機變量的數學期望為.【小問2詳解】設由臺計