第二節平面向量基本定理及坐標表示A組基礎題組1.在平行四邊形ABCD中,AB=a,AC=b,DE=2EC,則BE=()A.b-13a B.b-2C.b-43a D.b+12.已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,則頂點D的坐標為()A.2,7C.(3,2) D.(1,3)3.在平面直角坐標系中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2aA.-2 B.-4 C.-3 D.-14.已知向量AC,AD和AB在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示,若AC=λAB+μAD(λ,μ∈R),則λ+μ等于()A.2 B.-2 C.3 D.-35.在平面直角坐標系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為坐標平面內第一象限內一點且∠AOC=π4,|OC|=2,若OC=λOA+μOBA.22 B.2 C.2 D.426.(2018貴州貴陽質檢)設向量a=(x,1),b=(4,x),若a,b方向相反,則實數x的值為.

7.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三個頂點A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點D的坐標為.

8.向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λμ=.9.如圖,以向量OA=a,OB=b為鄰邊作?OADB,BM=13BC,CN=13CD,用a,b表示OM,10.如圖,AB是圓O的直徑,C,D是圓O上的點,∠CBA=60°,∠ABD=45°,CD=xOA+yBC,求x+y的值.B組提升題組1.若α,β是一組基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(x,y)為向量γ在基底α、β下的坐標.現已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐標為(-2,2),則a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標為()A.(2,0) B.(0,-2)C.(-2,0) D.(0,2)2.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點.若AB=λAM+μAN,則λ+μ=.

3.如圖,G是△OAB的重心,P,Q分別是邊OA,OB上的動點,且P,G,Q三點共線.(1)設PG=λPQ,將OG用λ,OP,OQ表示;(2)設OP=xOA,OQ=yOB,求證:1x+14.如圖,在同一個平面內,向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tanα=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),求m+n的值.答案精解精析A組基礎題組1.C因為BE=AE-AB=AD+DE-AB,所以BE=BC-13AB=AC-AB+23AB-AB=AC-2.ABC=(4,3),設D(x,y),則AD=(x,y-2),∵BC=2AD,∴4=2∴x=2,y3.D∵a-12b=(3,1),∴a-(3,1)=1則b=(-4,2).∴2a+b=(-2,6).又(2a+b)∥c,∴-6=6x,x=-1.故選D.4.A如圖所示,建立平面直角坐標系,則AD=(1,0),AC=(2,-2),AB=(1,2).因為AC=λAB+μAD,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以2=λ+所以λ+μ=2.故選A.5.A因為C為第一象限內一點且|OC|=2,∠AOC=π4,所以C(2,2),又OC=λOA+μOB,所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=2,λ+μ=226.答案-2解析由題意得x2-1×4=0,解得x=±2.當x=2時,a=(2,1),b=(4,2),此時a,b方向相同,不符合題意,舍去;當x=-2時,a=(-2,1),b=(4,-2),此時a,b方向相反,符合題意.7.答案(2,4)解析∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,∴DC=2AB.設點D的坐標為(x,y),則DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),∵AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴4-x故點D的坐標為(2,4).8.答案4解析以向量a和b的交點為坐標原點建立如圖所示的坐標系,令每個小正方形的邊長為1個單位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).由c=λa+μb可得-1=解得λ=-29.解析∵BA=OA-OB=a-b,∴BM=13BC=16BA=∴OM=OB+BM=16a+5∵OD=a+b,∴ON=OC+13CD=12OD+16OD=∴MN=ON-OM=23a+23b-16a-56b=綜上,OM=16a+56b,ON=23a+23b,MN=10.解析解法一:如圖,過C作CE⊥OB于E.∵AB是圓O的直徑,C,D是圓O上的點,∠CBA=60°,∴E為OB的中點.連接OD,OC,則CE=32∴CE=CB+BE=-BC+12∴CD=CO+OD=OA-BC+23-BC+1∵CD=xOA+yBC,∴x+y=13+1+-1解法二:不妨設☉O的半徑為1,如圖,建立平面直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),D(0,1),C12∴CD=-12,1+3又CD=xOA+yBC,∴-12,∴-12∴x+y=3+33-3+23B組提升題組1.D由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).設a=xm+yn,則(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),∴-x+y=22.答案45解析解法一:連接AC.由AB=λAM+μAN,得AB=λ·12(AD+AC)+μ·12(AC+AB),則μ2-1AB+λ2AD+λ2+μ2AC=0,得μ又因為AB,AD不共線,所以由平面向量基本定理得14λ+所以λ+μ=45解法二:(回路法)連接MN并延長交AB的延長線于T,由已知易得AB=45∴45AT=AB=λAM+μ即AT=54λAM+54μ∵T,M,N三點共線,∴54λ+5∴λ+μ=453.解析(1)OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ-OP)=(1-λ)OP+λOQ.(2)證明:由(1)得OG=(1-λ)OP+λOQ=(1-λ)xOA+λyOB,因為G是△OAB的重心,所以OG=23OM=23×12(OA+OB)=而OA,OB不共線,所以(1-所以1x+1y=3,即1x4.解析解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=210,sinα=7∵OA與OC的夾角為α,∴210=OA∵OC=mOA+nOB,|OA|=|OB|=1,|OC|=2,∴210=m又∵OB與OC的夾角為45°,∴22=OB·OC又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=210×22-7210×∴OA·OB=|OA|·|OB|·cos∠AOB=-35將其代入①②得m-35n=1-35兩式相加得25m+25n=所以m+n=3.解法二:過C作CM∥OB,CN∥