...wd......wd......wd...《概率論》第二章練習答案一、填空題：1．設隨機變量X的密度函數為f(x)=則用Y表示對X的3次獨立重復的觀察中事件(X≤)出現的次數，則P〔Y＝2〕＝。2.設連續型隨機變量的概率密度函數為：ax+b0<x<1f(x)=0其他且EX＝，則a=_____-2___________，b=_____2___________。3.隨機變量X在[10，22]上服從均勻分布，則EX=16，DX=124.設5.X的密度為P〔〕=P(X>)，則=,b=聯立解得：6．假設f(x)為連續型隨機變量X的分布密度，則＿＿1＿＿＿＿。7.設連續型隨機變量ξ的分布函數，則 P〔ξ=0.8〕=0；=0.99。8.某型號電子管，其壽命〔以小時記〕為一隨機變量，概率密度＝，某一個電子設備內配有3個這樣的電子管，則電子管使用150小時都不需要更換的概率為＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。x≥100∴(x)=0其它P〔≥150〕=1－F(150)=1－[P(≥150)]3=()3=9.設隨機變量X服從B〔n,p〕分布，EX＝1.6，DX＝1.28，則參數n＝___________，P＝_________________。EX=np=1.6DX=npq=1.28，解之得：n=8，p=0.210.設隨機變量x服從參數為〔2，p〕的二項分布，Y服從參數為〔4，p〕的二項分布，假設P〔X≥1〕＝，則P〔Y≥1〕＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。解：11.隨機變量X～N〔2，2〕，且P〔2＜X＜4〕=0.3，則P〔X＜0〕=＿＿0.2＿＿＿12.設隨機變量X服從參數為1的指數分布，則數學期望=___4/3________13.離散型隨機變量X服從參數為2的泊松分布，則隨機變量Z=3X－2的期望E(Z)＝3EX-2=3x2-2=4。14．設隨機變量X服從參數為的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)則E(X)=__2_______.D(X)=__2___________.∴15.假設隨機變量ξ服從參數λ=0.05的指數分布，則其概率密度函數為：；Eξ=20；Dξ=400。16.設某動物從出生活到10歲以上的概率為0.7，活到15歲以上的概率為0.2，則現齡為10歲的這種動物活到15歲以上的概率為17.某一站為300個用戶服務，在一小時內每一用戶使用的概率為0.01，則在一小時內有4個用戶使用的概率為P3(4)=0.168031解：一小時內使用的用戶數服從的泊松分布18通常在n比較大，p很小時，用泊松分布近似代替二項分布的公式，其期望為，方差為19．，則＝＿1.8＿＿＿＿，＝＿＿4＿＿＿＿?！矊標準化后查標準正態分布表〕二、單項選擇：1．設隨機變量X的密度函數為：f(x)=4x3,0<x<1f(x)=其他則使P(x>a)=P(x<a)成立的常數a=(A)〔其中0<a<1〕A． B． C． D．1－解：根據密度函數的非負可積性得到：2．設F1〔X〕與F2〔X〕分別為隨機變量X1與X2的分布函數，為使F〔X〕＝aF1(x)－bF2(x)是某一隨機變量的分布函數，在以下給它的各組值中應取〔A〕A．a=,b=－ B．a=,b=C．a=－,b= D．a=,b=－F(+)=aF1(+)-BF2(+)=13.隨機變量的分布函數為F〔x〕=A+Barctgx，則：〔B〕A、A=B=B、A=B=C、A=B=D、A=B=解：要熟悉arctgx的圖像4.設離散型隨機變量X僅取兩個可能值X1和X2，而且X1<X2，X取值X1的概率為0.6，又E〔X〕＝1.4，D〔X〕＝0.24，則X的分布律為 〔〕A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4①1.4=EX=0.6X1+0.4X2②DX=EX2-(EX)2聯系①、②解得X1=1，X2=25．現有10張獎券，其中8張為2元，2張為5元，今某人從中隨機地無放回取3張，則此人得獎金額的數學期望為 〔〕A．6元 B．12元 C．7.8元 D．9元設表示得獎金額，則其分布律為：6〔3張2元的〕9〔2張2元，1張5元的〕12〔1張2元，2張5元的〕P故期望值為：7.86.隨機變量X的概率分布是：X1234Pab則：〔D〕A、a=,b=B、a=,b=C、a=,b=D、a=,b=7.以下可作為密度函數的是：〔B〕A、B、C、D、依據密度函數的性質：進展判斷得出：B為正確答案8.設X的概率密度為，其分布函數F〔〕，則〔D〕成立。A、B、C、PD、P9.如果，而，則P〔〕=〔C〕A、B、C、0.875D、10.假設隨機變量X的可能取值充滿區間＿＿＿＿＿＿，那么Sinx可以作為一個隨機變量的概率密度函數。 〔B〕A．[0，] B．[0.5,] C．[0,1.5] D．[,1.5]依據密度函數的性質：進展判斷得出：B為正確答案11.某廠生產的產品次品率為5%，每天從生產的產品中抽5個檢驗，記X為出現次品的個數，則E(X)為＿＿＿＿。〔D〕A．0.75 B．0.2375 C．0.487 D．0.25此題X服從二項分布b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.2512.設X服從二項分布，假設〔n＋1〕P不是整數，則K取何值時，P〔X＝K〕最大 〔D〕A．K＝〔n＋1〕P B．K＝〔n＋1〕P－iC．K＝nPD．K＝[〔n＋1〕P]解：根據二項分布的正態近似知，當X接近于EX=np時取到最大值，由于〔n＋1〕P不是整數，因此需要尋找最接近np的整數。13．設X服從泊松分布，假設不是整數，則K取何值時，P〔X＝K〕最大 〔B〕A． B．[] C．－1 D．＋1解：根據二項分布的泊松近似，以及泊松分布的正態近似知：當EX=時取到最大值，因為不是整數，而K必須為整數，因此需要對取整14.，Y=2X－1，則Y~〔C〕A、N〔0，1〕B、N〔1，4〕C、N〔-1，4〕D、N〔-1，3〕15.隨機變量X服從參數為2的指數分布，則其標準差為：〔C〕A．2 B．1/4 C．1/2 D．隨機變量的參數為2，即方差為1/4，標準差則為1/216．當滿足以下〔〕條件時，二項分布以正態分布為極限分布更準確?！睤〕A．n〔二項分布的泊松近似〕B．C．D．17.設～,，，則和的概率分別為[C]A.0.0228,0.1587B.0.3413,0.4772C.0.1587,0.0228D.0.8413,0.97725三、計算題：1.設隨機變量X的密度函數是連續型函數，其密度函數為：f(x)=AX0＜X≤1f(x)=B－X1＜X≤2其它試求：〔1〕常數A、B?！?〕分布函數F〔x〕〔3〕P〔＜〕解：〔1〕由X為連續型隨機變量，①同時：②①、②式聯系解得：A=1，B=2〔2〕當;當;當x>2時，F(x)=1.〔3〕2.設X~=，求：①P〔〕②F〔〕解：①②③3.設隨機變量X的密度函數為：ax0<x<2f(x)=cx+b2≤x≤4其他EX＝2，P〔1<X<3〕＝，求a、b、c的值解：〔1〕①②③4．假定在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X〔單位：t〕,X服從[2000,4000]上的均勻分布，設每出售這種商品1t，可為國家掙得外匯3萬元，但假設銷售不出而囤積于倉庫，則每噸需浪費保養費1萬元，問應組織多少貨源，才能使國家的收益最大解：Y：每年該商品的出口量R：收益 X的密度函數：-，∴y=3500時，利益最大5．設某種商品每周的需求量X服從區間[10，30]上均勻分布，而經銷商店進貨量為[10，30]中的某一整數，商店每銷售一單位商品可獲利500元，假設供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元，假設供不應求，則可從外部調劑供應，此時一單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最小進貨量解：設進貨量為a,則利潤為：即：-7.52+350+5250≥9280解得：20≤≤26∴取最小=21上式：6.某高級鏡片制造廠試制成功新鏡頭，準備出口試銷，廠方的檢測設備與國外的檢測設備仍有一定的差距，為此，廠方面臨一個決策問題：①直接進口，②租用設備，③與外商合資。不同的經營方式所需的固定成本和每件的可變成本如表：自制進口租賃合資固定成本〔萬元〕1204064200每件可變成本〔元〕601008040產品出口價為200元/件，如果暢銷可銷3.5萬件，中等可銷2.5萬件，滯銷只售0.8萬件，按以往經歷，暢銷的可能性為0.2，中等的為0.7，滯銷的為0.1，請為該廠作出最優決策。解：設銷量，，，，銷量暢銷3.5萬件中等銷售2.5萬件滯銷0.8萬件概率0.20.70.1最優決策的含義是：利潤最大化總成本=固定成本+銷售量*可變成本為最優方案，即租用設備。7.某書店希望訂購最新出版的好書，根據以往的經歷，新書銷售量規律如下：需求量〔本〕50100150200概率20%40%30%10%假定每本新書的訂購價為4元，銷售價為6元，剩書的處理價為2元，試確定該書店訂購新書的數量。解：分析：當訂貨量大于需求量時，則多出的每本處理后虧損2元；當訂貨量小于需求量的時候，則賣出去一本就可以獲利2元。針對不同的需求量和訂貨量的收益表如下：訂需求量y收益50100150200概率y150y2100y3150y42000.20.40.30.11001001001000200200200-100100300300-2000200400故訂100本較合理。8.假設連續型隨機變量X的概率是EX＝0.5，DX＝0.15，求系數a,b,c。解：解方程組得：9.五件商品中有兩件次品，從中任取三件。設ξ為取到的次品數，求ξ的分布律、數學期望和方差。解：ξ的分布律為ξ012P1/106/103/10Eξ=1.2；Dξ=0.3610.某次抽樣調查結果說明，考生的外語成績〔百分制〕近似服從正態分布，平均成績72分，96分的以上的占考生總數的2.3%，試求考生的外語成績在60至84分之間的概率。解：X~N〔72,2〕s 即：11.假設一電路有3個不同種電氣元件，其工作狀態相互獨立，且無故障工作時間都服從參數為>0的指數分布，當三包元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作，試求電路正常工作的時間的概率分布。解：設Xi表示第i個電氣之元件無故障工作的時間，i=1,2,3,則X1X2X3獨立且同分布，分布函數為：設G〔t〕是T的分布函數。當t<0時，G〔t〕=012.設從一批材料中任取一件測出這種材料的強度X